1、十 一 推 理 问 题 有 根 有 据 ， 还 其 庐 山 真 面目解 数 学 问 题 总 有 一 个 分 析 推 理 过 程 。 有 些 问 题 有 一 定 的 解 题 规 律 和原 理，但在数学竞赛中，往往遇到这样一类问题，它没有一定的解题规律和原 理 ， 好 像 与 数 学 没 有 直 接 联 系 ， 它 要 求 我 们 根 据 所 给 条 件 ， 进 行 合 理 的 推理 ， 作出正确的判断，这种判断推理问题，叫做逻辑推理问题。解答这类问题对 于培养小学生初步的逻辑思维能力有着独特的意义。有根有据的推理过程，就是逻辑推理过程，下面我们通过具体例子，介 绍解决这类问题的基本技巧和方法。逻
2、辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错，如何从较繁杂的条 件中选准突破口，层层分析，一步步向结论靠近，这是解决问题的关键。同 时也采用列表的方法把错综复杂，眼花缭乱的条件变得一目了然。然后再根 据题目的条件用逻辑推理的方法，不断地否定和排除不可能存在的情况，从 而得出正确的结论。例1小 刘 、 小 张 和 小 徐 在 一 起 ， 一 位 是 工 人 ， 一 位 是 农 民 ， 一 位 是 战 士 。 现在只知道：（1）小徐比战士年龄大；（2）小刘和农民不同岁；（3）农民比小张年龄小； 你能确定谁是工人，谁是农民，谁是战士吗？ 解：由条件（1）推出：小徐不是战士； 由条件（2）推出：小刘不是
3、农民； 由条件（3）推出：小张也不是农民。 把上面二点的分析填入表内：ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0176_1.bmp 从最后的表中看出：小刘是战士，小张是工人，小徐是农民。例 2 三个书包，有一个装着两个红球，另一个装着两个白球，还有一 个装着一个红球一个白球。可是，书包外面的标签都贴错了，标签上写着的 字与书包里球的颜色不一样。你能不能只从一个书包里摸出一个球，就能说 出这三个书包装的是什么颜色的球？解：错误标签的书包内装的球可分两种情况：错误的标签 一红一白 两红 两白书包内的球 1 两红 两白 一红一白2 两白 一红一白 两红先在错误标签为“一红一白”
4、的书包中摸出一球，就可以说出各书包装 的是什么颜色的球。（1） 如果摸出的是红球， 根据上表所示， 这个书包中实际上是两个红球， 标签 “两 红 ”的 书 包 装 的 是 两 个 白 球 ， 标 签 “两 白 ”的 书 包 装 的 一 红 一 白 球 。（2） 如 果 摸 出 的 是 白 球 ， 这 个 书 包 装 的 是 两 个 白 球 ， 标 签 “两 红 ”的 书 包装的是一红一白球，标签“两白”的书包装的是两个红球。例3 李 敏 、 陈 超 、 张 波 三 位 老 师 ， 在 语 文 、 数 学 、 政 治 、 地 理 、 音 乐 、美术六门课中每人教两门，现知道：（1）政治和数学老师
5、是邻居；（2）陈超最年轻；（3）李敏经常对地理和数学老师谈论小说；（4）地理老师比语文老师年龄大；（5）陈超、音乐老师、语文老师三人经常一起去游泳。 问：李敏，陈超、张波三位老师各教哪两门课？ 解 ： 由 条 件 （5） 推 出 ： 陈 超 不 教音 乐 和 语 文 （教音乐和语文是两位老师）； 由条件 （3） 推 出 ： 李 敏 不 教 数 学 和 地 理 （教数学和地理 是 两 位 老 师 ） ； 由条件 （2） （4） 推 出 ： 陈 超 不 教 地 理 （ 教 地 理 和 语 文 是 两 位 老 师 ） 。 根据、可列表如下，并从表中可以看出张波教地理。ewc MVIMAGE,MVIM
6、AGE, !16000100_0178_1.bmp从最后的表中看出：李敏教语文、政治，陈超教数学、美术，张波教地 理、音乐。例 4 下面三块正方体六个面，都是按相同规律涂有红、黄、蓝、白、 黑、绿六种颜色。请辨别一下涂黄色的对面涂的是什么颜色？涂白色的对面 涂的是什么颜色？涂红色的对面涂的是什么颜色？（洛阳市1988年小学生数学竞赛题）ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0179_1.bmp 解：如果直接思考黄色的对面是什么颜色较为困难，不妨换一个角度，间接地思考黄色的对面不是什么颜色。 从图（A）可知，黄色的对面不是白色和黑色； 从图（C）可知，黄色的对面不是蓝色和
7、红色。 把上面分析结果填入表内，简明直观地看到黄色的对面一定是绿色。 同理，从图（A）、（B）可推出白色的对面一定是蓝色。剩下的黑色对面一定是红色。并列表如下：黄白红 黄 蓝 白 黑 绿图A 图C 图A 图B 黑 图A 本题的思考方法是先把不可能的都排除，最后剩下的就是要找的结果。 对于有些推理问题可先假设某一结果成立：并以此为依据，层层推理， 若推理导致矛盾，即否定最初假设，再重新提出假设，直到符合要求为止。 例 5 张三、李四、王五三名同学中有一名同学在别人都不在时为集体做好事，事后老师问三人，是谁做的好事： 张三说：是李四。李四说：不是我。王五说：不是我。 如果知道他们三人中有两个人说的
8、是假话，有一个人说的是真话，请问是谁做的好事？（北京市海淀区1987年小学生第二届智慧杯数学竞赛试题） 解 ： 分 析 推理 的 结 论 ， 心 须 符 合 “三 人 中 只 有 一 人 说 了 真 话 ”这 一 条 件 。 根据题意答案有三个可能：（1） 如 果 是 张 三 做 的 好 事 ， 那 么 张 三 说 的 “是 李 四 ”是 假 话 ， 李 四 说 的“不是我”是真话，王五说的“不是我”也是真话，这样有两人说真话，与 两人说假话，一人说真话的条件矛盾。所以不是张三做的好事。（2） 如 果 是 李 四 做 的 好 事 ， 那 么 张 三 说 的 “是 李 四 ”是 真 话 ， 李
9、四 说 的“不是我”是假话，王五说的“不是我”是真话，与两人说假话，一人说真 话的条件相矛盾。所以不是李四做的好事。（3） 如 果 是 王 五 做 的 好 事 ， 那 么 张 三 说 的 “是 李 四 ”是 假 话 ， 李 四 说 的“不是我”是真话，王五说的“不是我”是假话，符合题目“只有一人说真 话”的条件。所以是王五做的好事。例 6 一位老师有三白两黑五顶帽子，让三个学生看了，然后要三个学 生闭上眼睛，替每人戴上一顶白帽子，把两顶黑帽子藏起来，最后让他们睁 开眼睛，由看看别人头上戴的帽子来判断自己所戴帽子的颜色。这三个学生犹豫了一下，然后一个学生说出自己戴的是白帽子，他是怎 样判断的呢？
10、解：这个学生想，三人戴的帽子只可能下列三种情况：（1）二黑一白；（2）一黑二白；（3）三白。 如果是第一种情况，那么戴白帽子的人一定会看到别人头上已有两顶黑帽子，就会脱口而出地说出自己戴的是白帽子，但没有人立即回答，可见不 是第一种情况。如 果 是 第 二 种 情 况 ， 其 中 一 个 戴 白 帽 子 的 人 （ 不 妨 设 甲 ） 看 到 一 黑 一 白 ， 他（甲）就会想：假如自己戴的是黑帽子，那么戴白帽子的人（不妨设乙） 一定会脱口而出地说他（乙）自己戴的是白帽子，这样在第二种情况下，既 然（乙）没有说自己戴的是白帽子，甲就可以推断他自己戴的是白帽子，他 就应该说出自己戴的是白帽子。现
11、在既然没有回答，都犹豫了一下，可见第 二种情况不存在。否定了第一、二种情况后，只可能三人都戴着白帽子。 所以，过了一会儿一个学生说他头上戴的是白帽子。 当然，进行这样的推理，要能得出正确的结论，要善于综合运用各种规律和方法，还要注意学会判断别人的心理状态，才能作出正确的判断。例7 在一次数学竞赛中， A、 B、 C、 D、 E五位同学分别得了前五名 （没 有并列同一名次的）。关于各人的名次，大家作出了下面猜测：A说：“第二名是D，第三名是B。” B说：“第二名是C，第四名是E。”C 说：“第一名是 E，第五名是 A。” D 说：“第三名是 C，第四名是 A。” E说：“第二名是B，第五名是D。
12、”可是，每人都只猜对了一半。请研究一下，他们的名次如何？ 解：ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0183_1.bmp假设A说的 “第二名是D” 真 ， 则 A说的 “第三名是B” 假 ， 从 而E说的“第二名是B” 真 。 由 表 （1） 看 出 第 二 名 有 两 人 ， 与 题 目 的 条 件 “没有并列 同一名次”矛盾。所以第二名不是D。从表 （2） 中 可 以 看 出 ： 第 一 名E， 第 二 名C， 第 三 名B， 第 四 名A， 第 五 名D。经检验上述结果是正确的，这里注意检查的事项是：（1）横向检查每人猜中只能一个名次。（2）纵向检查每个名次有且仅
13、有一个人得到。 注意，如果先假设再推理，假设情况应不重不漏，才能把问题解答得严密、完整。 有些数学竞赛题数量关系比较隐蔽，我们根据具体问题巧妙设计和使用表 格 ， 找 到 已 知 条 件 间 的 相 互 关 系 ， 并 发 现 隐 含 问 题 ， 从 而 使 问 题 真 相 大 白 ， 显露出事物的庐山真面目。例 8 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛 一盘。到现在为止，甲已经赛了4 盘，乙赛了3 盘，丙赛了2 盘，丁赛了 1 盘。问小强已经赛了几盘？（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题） 解：这道题的数量关系比较隐蔽，如果我们把各人已经赛的盘数填入设计好的表格内，就很
14、容易看出小强已经赛了几盘。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0184_1.bmp甲和乙赛了 1 盘，就在表中“甲”与“乙”交叉的那一格里打“”， 丁没有和丙比赛过，就在“丁”和“丙”交叉的那一格里打“”。根据条 件分析，填好表格后，就能一目了然的看出小强与甲和乙各赛了 1 盘，共赛 了2盘。例9某市举行家庭普法学习竞赛有五个家庭进入决（每家2名成员决 赛 时 ，进 行 四 项 比 赛 ， 每 项 比 赛 各 家 出 一 名 成 员 参 赛 。 第 一 项 参 赛 的 是 吴 、 孙 、 赵 、李 、 王 ； 第 二 项 参 赛 的 是 郑 、 孙 、 吴 、 李 、
15、 周 ； 第 三 项 参 赛 的 是 赵 、 张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王。另外，刘某因故四 项均未参加。问谁和谁是同一个家庭的？（小学生数学报1987 年小学生数学邀请赛六年制五年级试题） 解：这道题条件多而错综复杂，使人眼花缭乱，现列表整理如下： 条 件 : 5个 家 庭 吴 、 孙 、 赵 、 李 、 王 每 家 2人 郑 、 周 、 张 、 钱 、 刘 刘某因故未参加 比赛四项问题：谁和谁是同一个家庭？从表中可以看出，吴参赛4次，刘某因故未参加，可知吴和刘是一个家 庭 ； 孙 和 钱 是 一 家 人 ； 赵 和 周 是 一 家 人 ； 李 和 张 是 一 家 人 ；
16、 王 和 郑 是 一 家 人 。练习十一1.1号、2 号、3 号、4 号运动员取得了运动会 800米赛跑的前四名。小 记者来采访他们各自的名次。 1号说： “3号 在 我 前 面 冲 向 终 点 。 ”另 一 个 得 第三名的运动员说：“1 号不是第 4 名。”小裁判员说：“他们的号码与他 们的名次都不相同。”你知道他们的名次吗？2.甲、乙、丙三人，他们是跳伞、田径、游泳运动员， 已知：（1）乙从未上过天。（2）跳伞运动员已得到过两次冠军。（3）丙从未拿过金牌，他经常与田径运动员下跳棋。 请你根据上述情况判断这三人各是什么运动员？3.一个正方体，每个面上分别写上A、 B、C、 D、E、 F，
17、你 能 根 据 这 个 正 方体不同的摆法，求出相对两个面的字母各是什么？ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0186_1.bmp4.有A、B、C三个合唱队，每个合唱队有一个指挥，他们是小辉、小英（女）、小芳（女）；王老师、张老师、李老师分别给三个队伴奏。已知：A队和王老师的队分别都是女指挥。B队的女指挥不是小英。李老师不给C队伴奏。由此判断：A队的指挥是（ ），伴奏是（ ） B队的指挥是（ ），伴奏是（ ）C队的指挥是（ ），伴奏是（ ）（1988年长春市小学四年级数学邀请赛）5.一天，到四年级六班上课的有赵老师，钱老师和李老师。但不知道他 们每人上什么课，只知道这
18、三门课是语文，数学和外语。另外还知道赵老师 上课全部用汉语，外语老师是一个同学的哥哥，李老师是女教师，她向数学 老师问了一个问题。请你想一想这三位老师各上的是什么课？6.同住一间寝室的 A、 B、 C、 D 四 名 女 大 学 生 ， 正 在 听 一 组 乐 曲 ， 她 们 当 中有一人在修指甲；一个人在做头发；一个人在化妆；另一个人在看书，已 知：（1）A不在修指甲，也不在看书；（2）B不在化妆，也不在修指甲；（3）如果A不在化妆，那么C不在修指甲；（4）D不在看书，也不在修指甲。 问他们各自在做什么？7.小东、小兰、小英读书的学校是一中、二中、三中，他们各自爱好游 泳，篮球、排球中的一项体
19、育运动，但谁爱哪项运动，在哪个学校读书还不 清楚。只知道（1）小东不在一中；（2）小兰不在二中；（3）爱好排球的不在三中；（4）爱游泳的在一中；（5）爱游泳的不是小兰。 你能帮助弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗?8.有红、黄、蓝三个盒子，两个盒子是空的，一个盒子放了乒乓球，每 个盒子盖上都写了一句话：红盒上写着“乒乓球不在这里” 黄盒上写着“乒乓球不在这里” 蓝盒上写着“乒乓球在红盒里” 不过，其中只有一句话是真的，想一想：乒乓球究竟在哪个盒子里？9.有三名工人，一名是电工，一名是车工，一名是钳工。又知道下面的 三种说法只有一种是对的：（1）甲是车工；（2）乙不是车工；（3）丙不是钳
20、工。 请问：他们各是什么工种？10.某同学在校外做了一件好事，老师找了与这件事有关的甲、乙、丙、 丁四人。甲说：是乙做的。 乙说：是丁做的。 丙说：不是我做的。 丁说：乙说得不对。这四人中只有一人说了实话。问这件好事是谁做的？11.甲、乙、丙，丁四位同学的运动衫上印了不同的号码。 赵说：甲是2号，乙是3号。钱说：丙是 4 号，乙是 2 号。 孙说：丁是 2 号，丙是 3 号。 李说：丁是1号，乙是3号。又知道赵、钱、孙、李每人都只说对一半。那么丙的号码是号号。（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛初赛试题）12.我国有 “三 山 五 岳 ”之 说 ， 其 中 五 岳 是 指 ： 东 岳 泰 山
21、 、 南 岳 衡 山 、 西 岳华山，北岳恒山和中岳嵩山。一位老师拿出这五座山岳的图片，并在图片 上标出数字，他让五位学生来辨别，每人说出两个。学生回答如下：甲：2 是泰山，3 是华山。 乙：4 是衡山，2 是嵩山。 丙：1是衡山，5是恒山。丁：4是恒山，3是嵩山。 戊：2是华山，5是泰山。老师发现五个学生都只说对了一半，那么正确的说法应该是什么呢？13.红 、 黄 、 蓝 、 白 、 紫 五 种 颜 色 的 珠 子 各 一 颗 ， 用 纸 包 着 ， 在 桌 上 排 成 一行。有A、B、C、D、E五个人猜各包里的珠子的颜色，每人只能猜两色。A 猜：第二包是紫的；第三包是黄的。 B 猜：第二包是蓝的；第四包是红的。 C 猜：第一包是红的；第五包是白的。 D 猜：第三包是蓝的；第四包是白的。 E猜：第二包是黄的；第五包是紫的。猜完了，打开各个纸包一看，每人都猜对了一种，并且每包只有一人猜 对。判断他们各猜对了哪一种颜色的珠子？14.A、B、C、D 四个篮球队一起进行比赛，每两队都要比赛一场，到现 在为止，A已赛了3场，B赛了2场，D赛了1场，问C赛了几场？15.甲 、 乙 、 丙 、 丁 比 赛 乒 乓 球 ， 每 两 个 人 要 赛 一 场 ， 结 果 甲 胜 了 丁 ， 并 且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场？（首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）
