1、 用心 爱心 专心 118 号编辑 - 1 -本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考向量在轴上的射影的应用四川省汶川县威州中学校 邓炜新教材分别在高一、高二介绍了向量的有关概念（高一平面，高二空间） ，这对使用代数方法解决几何问题，提供了一个非常好的工具。课本中（高中第二册（下 B） ）对向量在轴上的射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用过它以外，其它应用几乎没有涉及。本文就它在求距离等方面的应用问题进行了探索。使各种距离有了统一的求法。对于正射影，课文中是这样加以定义的：（P33）已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量（如图） 。作点 A 在 上的射影 A/，作点
2、B 在 上的射影 B/，Alel l l则 叫做向量 在轴 上或 方向上的正射影，简称射影。课文中还给出了如下公式： /Beab,cos/（一）求点到平面的距离：如图，点 P 为平面 ABC 外一点，设向量 平面 ABC，则显然斜线段 PA（或 PB、PC）确定的向量 （或 、a PAB）在 上的射影的绝对值就是点 P 到平面 ABC 的距离。利用这一事实，我们可以将点 P 到平面 ABC 的距离问题，Ca转化为先求平面 ABC 的法向量 的单位向量 ，然后求 在向量 算上的射影 ，它的绝对值即是点 P 到平面ePAeeaABC 的距离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题。【例 1】已正方形 A
3、BCD 的边长为 4，E、F 分别是边 AB、AD 的中点，GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC=2，求点 B到平面 EFG 的距离。解：建立如图所示的直角坐标系 Cxyz，则 B（4，0，0） ，G（0，0，2） ，E（4，2，0） ，F（2，4，0） ； =（4，2，2） ， =（2，4，2） ， =（0，2，0） 。GFBE设 平面 GEF，则显然 不与 z 轴垂直，故可设 =（x，y，1） ，aaa则由 平面 GEF 024GE同理有： yxFA/ B/AB lPA BCaA BCDEFGxyz用心 爱心 专心 118 号编辑 - 2 -解之得： ， 。故 = ，和它同方向的单
4、位向量为 。31xya1,33,1e显然， 在 上的射影的绝对值即点 B 到平面 GEF 的距离 d。BEe点 B 到平面 GEF 的距离是：123,10,2d【例 2】如图，ABC 是正三角形，AA 1、CC 1都垂直于平面 ABC，且 AA1=CC1=AB=a，E 为 CC1的中点，求点 C 到平面A1BE 的距离。解：建立如图所示的直角坐标系 Cxyz，则有B ，A 1（0，a，a） ，E ，C（0，0，0）,23a2,a = ， = ， = 。1,B,3E2,a设 平面 A1BE，则显然 不与 z 轴垂直，故可设 =（x，y，1） ，aa则由 平面 A1BE 02311 aBA同理有：
5、 2yaxEa解之得： ， 。故 = ，和它同方向的单位向量为 。23x1y1,3 2,13e显然， 在 上的射影的绝对值即点 C 到平面 A1BE 的距离 d。CEe点 B 到平面 A1BE 的距离是：。42,32,0aad二、求直线到与它平行的平面的距离、两平行平面之间的距离：利用上面求到平面的距离的思路，很自然地有了下面两种结论：1、如图，要求直线 到与它平行的平面 的距离，只需求出平面的单位法向量 ，然后分别在直线和平面上任找一leABCEA1 C1xyz用心 爱心 专心 118 号编辑 - 3 -点 A 和 B，则 在上 的射影的绝对值就是直线到平面的距离 ，由射影计算公式立即可得：
6、e deABd2、类似地，要求两平行平面 、 之间的距离，我们只要分别在这两个平面内任取一点 A、B，求出 在平面 （或平面 ）的法向量 上的射影，利用上述公式，立即得出两个平行平面 、 之间的距离。a 【例 3】在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别为有向直线 A1B 和 AC 上的点，且 A1M = x A1B, AN = x AC（x1）求证：(1)MN平面 BB1C1C。(2)求 MN 到平面 BB1C1C 的距离。证明：（1）如图，A 1B = AC， A 1M = AN， ，xxBCxANMN11N1 CBM1（2）建立如图所示的直角坐标系 Dxyz，易
7、得 A1（1，0，1） ，B（1，1，0）, 。而平面 BB1C1C 的单位法向量为 ，故 MN 到平面),(11 xBAxM xB, 0,1jBB1C1C 的距离即 在 上的射影的绝对值，故所求距离为：jxjd【例 4】如图， ABCDA 1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，M、N、P、Q、R、S 分别是所在棱的中点。（1）求证：平面 PMN平面 QRS；（2）求平面 PMN 与平面 QRS 间的距离。解答：（1）略；（2）建立如图所示的直角坐标系 Dxyz，则 A1（a，0，a） ，C(0，a，0),R ，M 。易得0,2a2,a为平面 MPN 和 QRS 的法向量，和它同方向的的单位向
8、量是 ，两平行平面 PMN 和aCA,1 1,3eQRS 间的距离即向量 在 上的射影的绝对值。即：2,aRMe平面平面 平面NMA BCDA1 B1C1D1xyzleABHHABe用心 爱心 专心 118 号编辑 - 4 -aeRMd32三、求两条异面直线间的距离：如图，直线 a 和 b 是两条异面直线现在我们来求它们之间的距离。过直线 a 引平面 与 b 平行，则问题转化为求直线 a 和与它平行的平面 之间的距离。在直线 a 和 b 上分别引向量 和 ，利用求直线与平面间的距离方法。得到下面的结论：b首先求出平面 垂的单位法向量（即与 和 垂直的单位向量 ） ，然后在直线 a 和 b 上任
9、取两点 A 和 B，求出be在 上的射影，它的绝对值即是两条异面直线 a 与 b 的距离。ABe【例 5】如图，在长方体 AC1中，AB= a，BC= b，AA 1= c，求异面直线 A1C 与 BD 之间的距离。解：建立如图所示的直角坐标系 Dxyz，则 D（0，0，0） ，B（b，a，0） ，C（0，a，0） ，A1（b，0，c） ， =（b，a，0） ， =（b，a，c） 。1（b，0，0）C设 ， ，则显然 与 A1C 和 DBDBCA1的公垂线平行，面 B、C 分别位于两条异面直线A1C 和 DB 上，故 在 上的射影的绝对值即两异面直线 A1C 和 DB 间的距离。显然， 不与 z
10、 轴垂直，故可设a a=（x，y，1） ，由 和 可得： 解之得： 故有DA10caybx acybx2，和它同方向的单位向量为：,2acb，所求距离为：2224,bce 2224bacaeCBd【例 6】如图，设ABC 是边长为 的正三角形，PC平面 ABC，PC=2，E、D 分别为 BC、AB 的中点，求 PE 和 CD的距离。NMA BCDA1B1C1D1xyzPQRSA BCDA1 B1C1D1xyzCABDExyzP C BADyxH用心 爱心 专心 118 号编辑 - 5 -解：建立如图所示的直角坐标系 Cxyz，则 P（0，0，2） ，E ，如右图，可求得 CD= ，DH= ，C
11、H=0,262，D ，故有：230,236， 。设 ，且 ，它的坐标为 （x，y，z） ，则显然有,PE0,236DaCDa解之得： ，它的一个单位向量为 。0236yxz ya, 31,62e又由前面的解法知： 在上的射影的绝对值就是两条异面直线 PE 和 CD 间的距离，即2,0CP。3ePd此外，利用向量在轴上的射影，我们还可以解决以下问题：求点到直线的距离：即先求这一点到直线上任意一点的向量在这条直线上的射影，再使用勾股定理即可解；求两条平行线间的距离：即先在这两条直线各任取两点，求出由这两点所确定的向量在其中一条直线上的射影，最后使用勾股定理求解；求直线和平面间的夹角：即先使用向量求出直线上任意一点到平面的距离，再使用直角三角形中的正弦之定义，即可解决直线与平面的夹角问题，还可以得到相关公式，即向量 与平面 的夹角满足：AB， （ 为平面 的单位法向量）ABesin求二面角的大小：只需求出二面角的两个半平面的单位法向量 和 ，则利用公式1e2求出两向量 、 的夹角，显然，二面角与其或其补角相等，计算时视其实际情况而定。 （说明：2121,cosee1e2在 上的射影即 ） ，总之，向量在轴上的射影以及单位向量的应用，远不止这些。比如，将其用在平面几何1221的有关计算与证明中，有时也会起到奇效，有兴趣者不妨一试。
