1、论 文版傅 里叶变换及其应用徐小蓉摘 要 ： 在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用 。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念 、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分 。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用 。最后对本文所讨论的内容进行了总结 。关 键 词 ： 傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理一 、傅 里 叶 变 换在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人
2、们常常采用所谓变换的方法来达到目的 。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算 。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一 。傅里叶变换是积分变换中常见的一种变换，它是一种对连续时间函数的积分变换，即通过某种积分变换，把一个函数化成另一个函数，同时还具有对称形式的逆变换 。它通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究 。它既能简化计算，如求解微分方程，化卷积为乘积等等，又具有非常特殊的物理意义，不仅在数学的许多分支中，而且在自然科学和各种工程技术中都有着广泛
3、的应用，因此它已成为不可缺少的运算工具 。1.1 傅里叶变换的提出及发展1804 年，法国科学家 J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究 。他在题为热的解析理论 一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解 。在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法 。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理 、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶变换的起源 。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换 。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分 。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续
4、傅里叶变换和离散傅里叶变换 。1傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究 。最初，傅立叶分析是作为热过程的解析分的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征 。“任意 ”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类 。利用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：（ 1）傅里叶变换是线性算子 ,若赋予适当的范数 ,它还是酉算子；（ 2）傅里叶变换的逆变换容易求出 ,而且形式与正变换非常类似；（ 3）正弦基函数是微分运算的本征函数 ,从而
5、使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解 。在线性时不变的物理系统内 ,频率是个不变的性质 , 从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；（ 4）著名的卷积定理指出 :傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算 , 从而提供了计算卷积的一种简单手段；（ 5）离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出 (其算法称为快速傅里叶变换算法 (FFT)。正是由于上述的良好性质 ,傅里叶变换在物理学 、数论 、组合数学 、信号处理 、概率 、统计 、密码学 、声学 、光学等领域都有着广泛的应用 。1.2 傅里叶变换的基本概念由傅里叶级数知，一个周期函数
6、可以展开成为傅里叶级数，而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于无穷大转化而来 。根据这个思路，我们可以得到傅里叶积分公式及傅里叶积分公式成立的充分条件 傅里叶积分定理 。定理 2.1 傅里叶积分定理 1如果 在 上的任一有限区间满足狄利克雷条件，且在 上绝对可积，即则( )f t ( , )? ?( , )? ?| ( )| 0bc4c5c1? ?c1c2Im( )2azb? ? ?G1G2 G3G4G5G6G7G8G9GAGBGCGD GE?c2c3c4c4c1? ?c1c2( )c3c4e dx eb?c2c1?c1c2c3c5c5c5c6c7c6c4c1? ?c31( ) (
7、)2c2eB x dt x Rtc1? ?c1c2c3c31( ) ( ) ( )(4 )c4c4c4c5eu x f y dydt x Rt? ? ?教 育 战 线 139论 文版例 2.2（热传导方程的基本解）对任意 ，且考虑下面热传导方程的初始问题 。（ 2.21）解：对（ 2.21）中的方程两边关于空间变量 分别作傅里叶变换，有解得（其中 是 的函数）把 代入上式得 ，所以有则有。根据例 2.1 的求解方法可知所以根据卷积的性质，可得偏微分方程（ 2.20）的解为上面求解偏微分方程中用到的思想 , 实际上就是开始时使用傅里叶变换，将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，解出这个常微分
8、方程的问题的解，然后利用傅里叶逆变换求出原问题的解 。三 、总 结傅里叶变换是一种特殊的积分变换 。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分 。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换 。它通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究 。在几乎所有利用傅里叶变换表示和分析物理过程的领域里都可以发现傅里叶变换的实部和虚部之间或者幅度和相位之间在某些情况下存在着一定的关系，这些关系虽在不同的领域有不同的名称但通常都称之为希尔伯特变换关系 。傅里叶变换及希尔伯特变换是两种非常重要的变换，它们之间有着许多联系，性质上也有许多共同之处
9、 。同时这两种变换在数学领域及应用领域都有非常广泛的用途 。在数学领域，我们可以用傅里叶变换来解一些偏微分方程 。另外，傅里叶变换开创了信号频谱分析法的先河 。经验表明，频谱分析法透过信号的幅值和均值等表象，深入地抓住信号变化的本质 。对频率进行分析和处理，在实际应用中往往比时域分析更为有效，遗憾的是，傅里叶频率是用全局的正弦波定义的，因而它与时间无关 。但实际中又往往很容易感觉到频率随时间的变化 。人们相信，这种变化频率现象的背后应该隐藏着相应的数学模型和规律，揭示出这种数学模型和规律对人们的生产和生活将会十分有益 。因而瞬时频率很早以来就成为人们热衷的研究课题 。然而在真正研究时，人们才发
10、现这一课题的研究并非预料那样容易 。虽然通过时频联合的研究可以间接解决其中许多问题，而且可以使研究难度大为降低，但时频分析固有的缺陷难以达到人们的最大愿望 频率随时间精确或极其精确变化的规律 。傅里叶变换对这类问题的研究有着不可或缺的意义 。参 考 文 献 ：1 李红著 .复变函数与积分变换 .北京：高等教育出版社， 19992 奥本海姆 ,谢弗 ,董士嘉 ,杨耀增著 . 数字信号处理 .第二版 . 北京：科学出版社 ,19803 布雷斯韦尔 ,张建 .傅里叶变换及其应用 .叶图版 .西安：西安交通大学出版社， 20054 潘文杰著 .傅里叶分析及其应用 .第 1 版 . 北京：北京大学出版社
11、， 20005 俞卞章著 . 数字信号处理 . 第 1 版 . 西安 :西北工业大学出版社， 19946 胡广书著 . 数字信号处理：理论，算法及实现，第 1 版 . 北京：清华大学出版社， 1997( 作 者 单 位 : 长 沙 航 空 职 业 技 术 学 院 )c1x R?0, )t ? ?( , ) ( , ) 0 (0, )( , ) ( ) 0c1c2u x t u x t Ru x t g x R t? ? ? ? ? ? ? ?G1 G2G1 G2xc1( , ) ( , ) 0 ( , ) ( ) 0u y t y u y tu y t g y t? ? ?G1G2G3G4G5G6G6G1 G5( )c2u y b ec1? ? b x( , 0) ( )u y g y? ( )b g yc1?( , ) ( )u y t g y e? ?c1( ) ( , )( , ) ( )(2 )c2c3g x F x tu x t g y e?c3? ? ? ? ? ?c1( , )F y t ec2?G1G2? ?c1c2c21 1( , )(2 ) (2 )c1c3c4c3c3c5c5c6F x t e e dy et? ? ?1( , ) ( ) ( , 0)(4 )c4c3c5u x t e g y dy x R tt? ? ?教 育 战 线140
