1、国内图书分类号：O241.83国际图书分类号：51理学硕士学位论文Volterra 积分方程组的精确解研导究 生：师： 张 艳 敏文 松 龙 教 授申 请 学 位：学 科、 专 业：所 在 单 位：答 辩 日 期：授予学位单位：理学硕士计算数学数学系2006 年 6 月哈尔滨工业大学Classied Index: O241.83U.D.C: 51Thesis for the Master Degree in ScienceThe Exact Solution for the System of theVolterra Integral EquationsCandidate:Supervisor
2、:Academic Degree Applied for:Specialty:Afliation:Date of Defence:Degree-Conferring-Institution:Yanmin ZhangProf. Songlong WenMaster of ScienceComputational MathematicsDepartment of MathematicsJune, 2006Harbin Institute of Technologyl哈尔滨工业大学硕士学位论文摘 要本文主要研究 Volterra积分方程组的求解问题，并利用再生核方法给出了其精确解的表达式，具有重要的
3、理论意义和应用价值。第一章，介绍了线性算子及其数值求解的历史以及再生核理论发展的历史。第二章，主要介绍了再生核的定义和基本性质以及再生核空间，特别是W21空间，并用新的方法证明了它的完备性。第三章，首先介绍了线性有界算子及其共轭算子的相关理论，并利用投影算子在 W21空间上给出了线性方程组解的表达式。第四章，在 W21空间中，利用再生核给出了 Volterra积分方程组：ui(x) +nj=1axkij(x, t)uj(t) = fi(x) i = 1, 2, , n的精确解。当已知 fi(xl)nl=1时，从精确解直接得到近似解 um。而近似解um在节点 xlnl=1处精确满足方程。并且当
4、xl =1在 a, b 上稠密时，近似解 um一致收敛于真解。关键词再生核；算子方程；完全规范直交系；Volterra 积分方程组Il哈尔滨工业大学硕士学位论文AbstractIn this paper, we mainly discuss how to solve the system of the Volterra integralequations, then we use the reproducing kernel method to give the representation of theexact solution . We will see that It has impo
5、rtant theory signicance and applicationvalue.First chapter : We introduce the history of the linear operator equation and itsnumerical solutions. Meanwhile, introduce the history of the development of the re-producing kernel theory.Second chapter : We mainly discuss the denition of the reproducing k
6、ernel andits elementary properties. After that , we introduce the reproducing kernel space.Third chapter : We introduce the relative theory of linear bounded operator andadjoint operator. Then we will use the projective operator give the representation ofthe system of linear equations in W21 space .
7、Forth chapter : An exact representation of the solution u(x) for the system of theVolterra integral equationsui(x) +nj=1axkij(x, t)uj(t) = fi(x) i = 1, 2, , nhas been given in the reproducing kernel space W21 . When fi(xl)nl=1are known , theapproximate solution um can be constructed by the exact sol
8、ution directly . If xl =1is dense on a, b,um will uniformly converge to u(x).Key words Reproducing Kernel , Operator Equation , Complete Orthonormal Sys-tem , System of the Volterra Integral Equations II 哈尔滨工业大学硕士学位论文目 录摘 要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IAbstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .第 1章绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1连续线性算子方程的理论简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2连续线性算子方程数值求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3再生核理论的产生和发展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4本文要做的工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .第 2章再生核基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1再生核的定义及基本性质 . . .
12、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II11247992.2再生核空间 W21a, b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13第3章线性方程组解的表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1有界线性算子的相关理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153.2线性方程组转化为 W21a, b 空间中的算子方程 . . . . . . . .
14、. . . . . . . . . . . . . . . 163.3线性方程组解的表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20第4章 Volterra积分方程组的精确解 . .
15、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1关于 Volterra积分方程组的若干引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2关于共轭算子的若干结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3积分方程组精确解的表示 . . . . . .
16、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4近似解的表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5数值算例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17、. . . . . . . . . . . . . . . . . 334.6本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 III 哈尔滨工业大学硕士学位论文结 论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18、 . . . . . . . . . . . . . . . . 36参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 . . . . . . .
19、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41哈尔滨工业大学硕士学位涉密论文管理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41致谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42IV哈尔滨
20、工业大学硕士学位论文第 1章 绪论随着科学技术的发展，人们进一步提出各种各样的方程及方程组，如线性方程 (组) 和非线性方程 (组) ，微分方程 (组)，积分方程 (组)和微分 -积分方程 (组) 等。所以，如何求解这些有实际意义的方程及方程组也就变得越来越重要了。人们自然希望抽象出这些方程 (组)的共性，把它们描述成统一的形式。以便从理论上探讨和研究这些方程解的存在性，唯一性以及求解的数值方法。这种统一的形式就是算子方程。在抽象空间上，表示为算子形式。算子方程近似解理论的特点是广泛应用泛函分析的方法于方程数值原理的研究，这为方程的数值求解提供了有力的工具。算子方程分为线性算子方程和非线性算子
21、方程。本文主要就是利用线性有界算子来研究 Volterra积分方程组的求解问题。Volterra型积分方程一直是数学界颇为感兴趣的课题，由于应用数学中许多高阶微分、积分方程、隐形式方程等可通过适当变量替换转化为微分、积分方程组，因此对于方程组的研究有一定的理论意义和应用价值。本文将在再生核空间中求解 Volterra积分方程组，利用线性有界算子及其共轭算子对其进行精确求解，并给出适合在计算机上计算的求近似解的方法。1.1连续线性算子方程的理论简介连续线性算子方程的常见形式有线性方程组，积分方程，微分方程及积分 -微分方程等。注意到：1. 1904年，D.Hilbert1发现了常微分方程两点边值
22、问题与积分方程的关系；2. 1950年，Bergman利用再生核方法建立了线性椭圆型偏微分方程和积分方程的联系为椭圆型偏微分方程边值问题的数值求解提供了有效的方法；所以，研究连续线性算子方程的重要途径之一是研究连续线性积分算子方程。常用的线性积分算子方程有以下两种类型：su(s) +a(s, t)u(t)dt = f(s)1(1-1)哈尔滨工业大学硕士学位论文bu(s) + (s, t)u(t)dt = f(s) (1-2)a其中(s, t) L2E E, f(s) L2E, E = a, b 。方程 (1-1)叫做第二类 Volterra方程，方程 (1-2)叫做第二类 Fredholm方程
23、。1900年前后，Fredholm2 3通过把线性积分方程看作是“无穷维”线性代数方程组的方法，获得了 Fredholm第一，第二和第三定理。比较古老的算法有逐次逼近法，重叠核法等。近来又有 Golberg4提出的具有半退化核的边界初值法，Shijun5提出的迭代修正法。实用的数值算法还有： Chatelin6的射影迭代法，Jablonshi,Zdzislaw7 的样条函数法，Han Guoqiang8的离散 -伽略金迭代法。D.Hilbert和 E.Schmidt在 Fredholm理论基础上，针对具有对称核的第二种 Fredholm积分方程进行了详细的研究，建立了 Hilbert-Schm
24、idt理论 9。设 X,Y为 Banach空间，T : X Y 为有界线性算子，考虑算子方程Tu = f u X, f Y (1-3)所谓算子方程 (1-3)的不适定性，是指下述三个条件不能全部满足：1)逆算子在整个 Y上有定义；2)逆算子为单值的；3)逆算子在 Y上是连续的。关于不适定线性算子方程，目前已有许多解法，其中主要的解法有A.H.T正规法和 B.K.拟解法 10。几年来又有新的正规化方法 11，渐进正规化方法，松弛迭代法。但每种方法都是在假定1),2),3)中某些条件成立的情况下对方程 (1-3)展开讨论的。而在没有假定1),2),3)中任何一条成立的前提下，崔明根等在 W21中给
25、出了第一类不适定算子方程的解析解及近似解；闫玉斌，李春利在 L2中讨论了第一类不适定算子方程的解析解及近似解。1.2连续线性算子方程数值求解随着泛函分析和算子理论研究的深入，人们对线性算子方程 (1-3)的数值求解问题有了清楚地认识。2哈尔滨工业大学硕士学位论文算子方程的数值求解大致分为两类：逐次逼近法和有限维逼近。各种类型的迭代法属于前者；投影法（包括 Galerkin型方法，最小二乘法，配置法等），求解微分方程和积分方程的有限差分法和有限元素法属于后者。下面分别简述如下：迭代法的常见形式是un+1 = F (un)迭代格式的收敛性是指：un u，这里 u为方程 (1-3)的真解。用迭代法求
26、方程解的关键问题是：如何选取迭代格式 F才能保证迭代的收敛性和收敛速度。一种常用的有效的迭代法是牛顿法 12.有限维逼近的核心是用有限维空间的近似方程来代替原方程，从而用近似方程的解来逼近原方程的解。对于方程 (1-3)，我们通常按某种方法选取X, Y的有限维子空间序列 Xn和 Yn，以及 X到 Xn的映射 Pn和 Y到Yn的映射 Qn，以(QnT )un = Qnf, un Xn (1-4)作为 (1-3)的近似方程。因为 Xn，Y n，Pn，Qn构造方式多种多样，所以我们就得到了各种不同的数值方法。对于大多数近似求解方法，Pn和 Qn是线性算子。如果 Pn和 Qn是线性投影算子，就得到了一
27、般的投影法。当X = Y, Xn = Yn, Pn = Qn时，就是通常的 Galerkin法。特别地，在 Hilbert空间中取 Pn为 X X n的正交投影算子，就得到了正交伽略金法。当T为微分算子或积分算子，所用的投影空间为样条函数空间时，就是有限元法。配置法比前几种要复杂一些。设 X, Y为某区域上的函数空间，xini=1 , lini=1为 Yn的基底，Qn : Y Y n为插值投影算子n则近似方程 (1-4)为Qnv(x) =i=1v(xi)li(x),v Y它等价于n(T un)(xi)li(x) =i=1(T un)(xi) = f(xi),3nf(xi)li(x)i=1i =
28、 1, 2, , n和 ii=1 分别为 X 和 Y 的完全坐标序列， Xn = span1, 2, , n，ix y哈尔滨工业大学硕士学位论文令 un =ni=1inli，则上式变为：njn(T lj)(xi) = f(xi), i = 1, 2, , n (1-5)j=1于是，求解方程 (1-4)，只需由方程 (1-5)解出 jnnj=1，这就是配置法。简单地说，配置法就是取 Qn为插值投影算子，从而将求解算子方程 (1-4)转化为求解线性方程组 (1-5)这样一种求解方法。若 X, Y为 Hilbert空间，i =1Yn = span1, 2, , n ,Pn, Qn为正交投影算子，则近
29、似方程 (1-4)等价于(T un f)Yn (T un f, i) = 0, i = 1, 2, , n (1-6)若 T为线性算子， i = T i,则为最小二乘法，因为此时 (1-6)与求 un Xn使得 T un f极小的问题等价。求解偏微分方程定解问题常用的数值方法有差分法和有限元素法。差分法采取各种各样的方法把偏微分方程定解问题离散化。它包含两个主要问题：一是差分格式的选择，不同的差分格式的收敛速度，稳定性和精度都不相同。如何构造高精度，稳定，收敛速度快的格式是差分法的一个重要课题。二是区域的离散化问题，不同的区域离散化方法对方程的求解，解得精度，稳定性和收敛性都有不同的影响。有限
30、元法是求解微分方程的一种有效的数值方法，它是在古典的 R-G法的基础上采用分片多项式插值的技巧而形成的一种新的适应性很强的数值方法。线性方程组的求解问题是目前结果最为丰富的一门理论。由于许多实际问题都可以转化为线性方程组的求解问题，因此线性方程组的求解方法也得到了深入的发展。1.3再生核理论的产生和发展再生核这个概念是 Bergman1319在研究下述微分方程的求解问题2u2 +2u2 +(x, y)ux +(x, y)uy +(x, y)u = 04哈尔滨工业大学硕士学位论文(其中： (x, y), (x, y), (x, y) C2(),是有界区域， (x, y), (x, y), (x,
31、 y)是内的实解析函数）时提出的。再生核理论总体上可分为两方面。一方面产生于积分理论，那时的核被认定是定积分算子的连续核。这个理论是由 J.Mercer以“正定核” 的名词提出来的 20，在 20世纪 20年代，被其他对积分方程感兴趣的学者们引用。Mercer发现所有正定积分方程的连续核具有性质nK(yi, yj)ij 0 (1-7)i,j=1在 20世纪 30年代，E.H.Moore也发现了同样的性质。Moore讨论的是定义在抽象集合 E上的性质 (1-7)式的核函数 K(x, y)，在一般的分析中以正定”Hermitian 矩阵” 的名词应用在广义积分方程中，他证明了对每一个正定的Herm
32、itian矩阵，对应一个函数族，形成具有内积为 (f, g) 的 Hilbert空间，且在此空间中的核具有再生性f(y) = (f(x), K(x, y) (1-8)他的这种发展将再生核的两种说法连接起来了，这一理论也被 S.Bochner在 20世纪 30年代以” 正定函数 ”的名词提出 21。Bochner研究的是具有实变量x的连续函数 (x)，令核 K(x, y) =(x y)，则此核函数 K(x, y) 具有性质 (1-7)式，并将此核应用到 Fourier变换理论中。另一方面是 20世纪初，由 S.Zaremba在讨论关于调和双调和函数的边值问题时提出的 22。Zaremba 是一个
33、在特殊情况下引入与一个函数族相对应的核，并证明此核的再生性 (1-8)式。在 20世纪三四十年代，所讨论的核大都是 Bergman核。Bergman给出了与一元或多元调和函数，分析函数相对应的核是作为平方度量中的正交函数系中的核给出的。即定义在区域 D上具有平方度量|f|2dD的一元或多元解析函数的核，并发现了这些核的再生性 23。这些核在一元或多元复函数理论中得到了许多重要应用。Bergman将 Zaremba引用再生核5哈尔滨工业大学硕士学位论文解决边值问题的思想进一步深入，证明了再生核是解决椭圆型偏微分方程边值问题的非常有用的工具。联系到 Hada-mard的各种方法的运用，建立了再生核
34、与不同区域上微分方程解之间的关系。对于偏微分方程，在一定区域上解析的核证明是与相应 Neuman和 Green函数完全不同的函数。再与再生核在偏微分方程中的应用相对应，又得到了再生核与分析函数的 Bergman核之间的关系，同时多连通区域上的保角映射中的再生核的应用作为重要的映射函数也得到了很大的进展，且被 Bergman核简单地表达出来 23,24。1943年，N.Aronszajn概括前人的工作，形成了包括特例 Bergman核函数在内的系统的再生核理论 25。再生核理论为每一个特殊例子研究奠定了基础，而且大大简化了一些证明过程。在这个理论中，函数族的核函数的再生性起着重要的作用。同时也证
35、明了再生核同样具有正定的 Hermitian矩阵性质，这又将两种说法再次统一起来。后来，国内外许多学者在再生核方面的研究做了大量的工作总结出许多再生核的构造方法，以及在再生核空间中利用核函数的再生性求解方程的近似解。文献 26在量子化的 Hilbert空间中构造再生核，转化使哈密尔顿量子化的能量算子，并且使李代数成为具有半范数的显式拟微分算子。文献 27研究 SUp,q空间中一族全纯的离散序列的表示，以及对再生核参数 v的解析连续性进行了讨论。文献 28运用次高斯过程的定义，把次稳定过程定义为均衡稳定的尺度混合过程，并研究他的无穷可分性。这严格依赖于稳定过程产生的 L空间的子空间 H(R) 的
36、几何性质。这个空间在次高斯过程的意义下，可看作是一个再生核空间，并研究了该空间的的唯一表达方式及一些几何性质。文献 29对两个变量的再生核给出了一般化的定义，并概括了相应的理论。文献 30对 Cn上的一类没有特殊要求的 Bergman空间，给出其上再生核的精确表达式。文献 31研究了 Carathodory函数构成的具有再生核的Hilbert空间，并在其上研究了时间问题。文献 32运用再生核 Hilbert空间的方法，为球上解析的压缩的函数子类构造了一种 Schur型运算法则，又讨论了其上的 Nevanlinna-Pick插值问题。文献 33利用一般性的结构定理例证了再生核空间与正交多项式全体
37、的关系。文献 34中证明了 Favard型定理，即对一列文献中提到的循环所产生的核函数 kn(z, w)，一定在单位球上存在度量，使得 kn是 Ln的再生核，并且这个度量在一定条件下是唯一的。文献35运用定义在 Cn中的有界均衡区域上的解析函数构成的 Hilbert空间的理论，构造了 Bergman核。该核在算子理论中起着越来越重要的作用。文献中还列出了该核所构造的 Hilbert空间中的几个积分公式。6哈尔滨工业大学硕士学位论文1970年，F.M.Larkin给出了具有再生核的 Hilbert函数空间中的最佳逼近原则 36。1974年，M.M.Chawla又给出了具有再生核的 Hilbert
38、函数空间具有多项式精度的最佳逼近规则 37，1986年崔明根 3840开始从事再生核空间的逼近论及数值方法的研究，首先给出了一个再生核空间 W21a, b。在文献38中证明了 W21a, b 是一个具有再生核的 Hilbert空间，给出了再生核的有限表达式，并构造了一个新的插值迭代公式来讨论大范围展开和离散函数的逼近问题。给出了最佳插值逼近算子的解析表达式，研究了一维的第一类、第二类 Fredholm积分方程与适定和不适定算子方程的求解问题 41以及最佳数值原函数等问题。张艳英 42在二维矩形区域 D = a, b a, b R2上定义了再生核空间 W21(D)，并讨论了多元插值，给出了多元插
39、值公式。在文献43中进一步给出了一种计算多元插值迭代公式。吴勃英 44给出了再生核空间 W22(D) 和该空间再生核的近似表达式，在文献 45中给出了第一类算子方程的近似解。阎玉斌 46给出了再生核空间W21a, +)， W21(, +)，并在其上讨论了广义积分方程的精确解。阎玉斌、崔明根又研究了一类算子方程 Au = f的解的表示 47。李云辉、崔明根48 进一步在再生核空间 W210, +) 中给出了一类积分微分方程的精确解。文松龙、崔明根 49,50给出了再生核空间 W (a, b a, b) 及其再生核，并在其上讨论了最佳插值，方程求解等问题。目前，李春利 51又利用再生核空间的良好性
40、质求解非线性算子方程，并给出其精确解的表示。再生核技巧与其他方向结合产生了许多新的理论和算法。例如在信号处理，随机过程处理，估计理论，小波变换有许多应用的例子。总之，再生核空间是研究数值分析的比较理想的空间框架。再生核理论有着丰富而又深刻的研究内容。对该理论的深入研究必将对其他一些学科产生重大意义和影响。1.4本文要做的工作本文主要研究 Volterra积分方程组的再生核解法，利用线性算子及其共轭算子对其进行精确求解。具体分为以下三部分内容：第一部分简单介绍再生核的定义和性质，以及再生核空间 W21a, b，并利用新的方法证明 W21a, b 空间关于 Sobolev范数是完备的。第二部分讨论
41、线性方程组的求解问题，首先给出有界线性算子及共轭算7哈尔滨工业大学硕士学位论文子的相关理论，又将线性方程组转化为 W21a, b 空间中的算子方程，再利用共轭算子和投影算子给出算子方程解的表达式。第三部分讨论 Volterra积分方程组n xui(x) + j=1 akij(x, t)uj(t) = fi(x) i = 1, 2, , n (1-9)的精确解，先利用 W21空间中的算子组：x(Kiju)(x) = kij(x, t)u(t)dt (i, j = 1, 2, , n) (1-10)a将其转化为算子方程 (I + K)u = f，在积分核函数 k(x, t) 满足一定的条件下，此算
42、子方程属于再生核空间，于是我们可以利用再生核方法得到其精确解的表达式。最后给出数值算例，通过算例得出利用再生核方法求解的有效性。8哈尔滨工业大学硕士学位论文第 2章 再生核基本理论2.1再生核的定义及基本性质定义 2.1设 H是 Hilbert函数空间，其元素是抽象集合 B上的实值或复值函数。把内积定义为(f, g) = (f(t), g(t)t (f, g H)设 K(t, s) 是二元函数，t, s B。如果对任何 s B，K(t, s ) 作为 t的函数是H中的元素，而且对任何 s B及 f H，有f(s) = (f(t), K(t, s)t则称 K(t, s) 是 Hilbert函数空
43、间 H的再生核。再生核的基本性质:1. (唯一性 )如果 Hilbert函数空间 H有再生核 K(t, s)，则此再生核是唯一的。2. (存在准则 ) Hilbert函数空间 H有再生核的充分必要条件是：对任一s B, f f(s) 都是 H上的有界泛函。3.设 K(t, s) 是 Hilbert函数空间 H的再生核，则max |f(t)| =f =1K(t, t) = K(s, t) s这里范数是由内积引入的： s1= (, )s2。4.设 Hilbert函数空间存在再生核 K(t, s)，则当 fn f (弱)时，必有fn f ( 逐点)；又如果 K(t, s) 在 E B上有界，那么 f
44、(t)n f (t) (在 E上一致)。9|i| |gi(t)| K(t, t) 2 ( |i|2) 21哈尔滨工业大学硕士学位论文5.再生核是正定的，即对 s1, s2, sN B及复数 1, 2, N，总有K(si, sj)ij 0i j6.设 K(t, s) 是 Hilbert函数空间 H的再生核，则有K(t, t) 0, K(t, s) = K(s, t)|K(t, s)|2 K(s, s) K(t, t)7.设函数 K(t, s) 在抽象集合 B上是正定的，那么可以构造一个 B上的Hilbert函数空间 H，它以 K(t, s) 为其再生核。8.设 H是 Hilbert函数空间，H1
45、是其子空间，K(t, s ) 是子空间 H1的再生核，h H则公式f(s) = (h(t), K(t, s)t给出 H中元素 h在子空间 H1上的投影。9.设 K(t, s) 是 Hilbert函数空间 H的再生核，则其所有的闭线性子空间均以 K(t, s) 为再生核。10.设 K(t, s) 是 Hilbert函数空间 H的再生核，gi 是 H中的正交系，i是满足条件 i=1 |i|2 0，存在m m 0，当 (ii) mX(u v )X(u v)得到 mX(u v ) = 0。即 X(u v) 是零集，同理可得 X(u 0 存在 N，当 m n N时，有(ab |um(t) un(t)|2
46、dt +ab 1L2由控制收敛定理，令 m 得(ab 2ab 1因此 un(t) u(t) W21a, b 。即 W21空间是完备的。定理证毕。W21a, b 空间再生核的表达式： ex+y+e2a+2b(x+y)+e2a(yx)+e2b+(yx)2(e2be2a) (y x)Fx(y) =ex+y+e2a+2b(x+y)+e2a+(yx)+e2b(yx)2(e2be2a) (y x)或者利用双曲函数的记号，写成Fx(y) = 12 sinh(b a) cosh(x + y b a) + cosh(|x y| b + a)2.3本章小结本章主要介绍再生核的定义和基本性质以及再生核空间。 13
47、哈尔滨工业大学硕士学位论文再生核空间是研究数值分析的比较理想的空间框架。再生核空间之所以有这样好的数值表现力是因为在这个空间有一个函数 Rx(y) 使得对固定的 x和相应的空间中的函数 u(y) 通过内积表现出再生性：u(x ) = (u(y), Rx(y)，于是对数值分析中最基本的取值运算 u(xi) ，也就是说对取值泛函 Iiu = u(xi)有一个连续的表示 u(xi) = (u(y), Rxi(y) 。这种离散的取值问题的连续表现形式正是使追求各类数值问题的最佳化成为可能。在此泛函分析工具并不是花架子，而是实实在在的分析工具。不论在建立理论框架，还是在建立数值算法时都离不开它。尤其是共
48、轭算子 A的作用发挥得淋漓尽致，讨论求解方程问题时都要具体的表现共轭算子算法，而再生核空间为实现这种表现提供了一个最为理想的框架。 14 nui 2) 2 ，那么此乘积空间是 Banach 空间，特别取 Xi =规定范数 u = (记1 1 1A = : Anjuj) Aijuj 2) 2 2 uj 2) 2AijAij 2) u哈尔滨工业大学硕士学位论文第 3章 线性方程组解的表示3.1有界线性算子的相关理论设 Xin1是一组 Banach空间，作乘积空间：nXi = u = (u1, u2, , un)T |ui Xi, i = 1, 2, , ni=11i=1nW2 , i = 1, 2, , n，则 W2 = Xi是 Hilbert空间。对 u, v W2，其n i=1 nn内积为 (u, v) = (ui, vi), ui, vi Xi。i=1设 Aij是 Xj到 Xi
