1、例析有关极限中的误区湖北省优秀学科教师黄冈学术带头人黄冈名师 黄冈骨干高级教师 黄冈师范学院硕士生导师黄冈市中考命题审题组成员黄梅首届名师 黄梅十佳教师国家奥赛优秀辅导员 中国奥赛一级教练员 黄梅一中 王卫华 刘玉芳 赵立胜 章丽邮编 435500 13329948839极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生出来的，我国古代数学家刘微曾利用圆内接正多边形来求圆面积的方法即割圆术，就是极限思想在几何上的运用由于极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，借助极限法，人们可以从有限认识无限，从不变认识变，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确，对提高辩证的逻辑思维具有特殊的
2、意义，故极限法在实际中有着广泛的应用深刻理解极限的定义，正确应用极限的四则运算法则，有助于提高同学们的思维能力和转化能力可是在实际学习过程中，由于一些同学对极限的定义、运算法则缺乏深刻的、全面的认识，因而经常会犯错误下面就谈谈处理极限问题时学生常常出现的一些问题，以有助于同学们正确理解极限1对定义认识不清例 1 计算 2limx错解: =0x剖析：错解错在对函数极限(当 )的概念理解不透彻， 是双向的，0x 2x它同样包括了 与 都存在且相等时， 存在这样对函数的2x2limx定义域也就有一定的要求了当 时函数定义域一定包含子集2，即在 2 附近有定义，否则没有极限2,0合理联想：据 时函数极
3、限的定义，计算 与 ，观0x2lix2lix察它们是否相等，从而判断 是否存在，或者观察函数 在2limx附近是否有定义，若无定义则极限不存在，若有定义则再利用 时函2x 0数极限的定义求解正解一：因为 =0， 不存在2limx2lix所以 ， 不存在2lix正解二：因为 中 ，即函数 的定义域为 ，它在2,的左侧无定义所以 不存在2lix二对分段函数在分段点处的极限认识不清而致错例 2如果 ，计算 01,.fx1limxf错解: 1limxf剖析：错解错在对 时函数极限的概念理解不正确， 不一定0x 0limxf等于 ， 时， 的极限是函数在 点处的局部性质，只需观察0fx0f 0x与 是否
4、存在，相等即可0lix0lixf合理联想：正确理解 时函数极限的概念，观察 与0x 0lixf是否存在且相等，从而判断 是否存在，同时要注意到0limxf 0limxf是分段函数，在不同的 的取值范围内解析表达式不同正解一: ， ，11li0,lixxff11lilixxff不存在1lixf正解二：利用分段函数 的图象，观察 时, 值的,1.fx1xfx变化情况解答同解法一(略)点评：讨论分段函数在分段点处的极限时，一般都必须考虑左、右极限；此外，对于函数在那些没有定义的点处，有时必须考虑左、右极限根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理： A.xflim成 立 的 充 分 必 要 条 件
5、是xflim定 理 ： 000 xA三盲目运用类比思想，缺乏必要的分类讨论而致错例 3 已知 ，求 sin00co1axbfx0limxf错解一: ， ， 不存00lim,li2xxfbf00lilixxff0limxf在错解二: 0lixff剖析：错解一中 是字母系数， 与 的关系是未知的，故不能盲目判断,abb2，得 不存在；错解二中， 时， 的极限值不一定是其函2b0limxf0xfx数值 ，应利用函数极限的定义判断f合理联想：注意到 是字母系数，它的取值是未知的，它可以等于 2 也可b以不等于 2，从而对 的值要进行分类讨论，从而得到正确答案正解: ，00li,li2xxff当 时，
6、， ，bm0lim2xf当 时， ， 不存在200lilixxff02lixbf不 存 在四忽略函数的值域而致误例 4计算 01limcosx错解: ，有 ； ， 故当 时，0x10x或 .值不确定，所以 无极限1cos0sxcos 01limcosx剖析：在以上解答构思里，对 的值域认知不到位，只分析了 及1x x的值域，忽略了 的值域，从而引发失误1x1cosx合理联想：联想复合函数 的值域，用区间节套的思想探求极限csx的值01limcosx正解：因为 ，且 ，所以总存在小正数 ，对1cscosxx0limx，有 ，即 0x1o00lix五漠视运算法则成立的条件而致错例 5若 ， ，求
7、lim258nablim42nablim32nab错解：根据题意得： ，解之得 li5li842nnab 9li14nb914lim32lilim35nnnab剖析：本解法的错误在于（1）知识上的错误表现为没有验证n 与n 极限的存在性就使用极限运算法则；没有证明或证明不了n 与n 极限的存在性；还不会变通使用（如借用待定系数法）极限运算法则（2）逻辑上的错误表现为逻辑上的“不能推出”：跳过n 与n 极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”（3）心理上的错误表现为“潜在假设”，默认n 与n 极限的存在性，既未想到要证明，更未给出证明由于在已知条件下，
8、n 与n 的极限确实存在，所以学生的错误属于“对而不全”，缺少了关键步骤合理联想：联想数列极限四则运算法则存在的条件，将所求极限的数列用已知条件中有极限的数列表示，从而利用法则进行运算正解一(观察法)： ，25432nnnablim32linnnnab118li5li452nnab解法二：不妨设 ，1234nnab， ，解之12123245nnnabab12435得 12以下解答同解法一(略)13254nnnababab点评：某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的如果平时练习中限定条件的问题练少了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维若极限式各项中，有一项或几项的极
9、限不存在，就不能直接利用函数极限的四则运算法则来做解法二是利用方程的思想，借助于待定系数法，将未知数列 用已知数列 ， 线性表示，从而利用数32nab25nab4n列极限的运算法则求解例 6求 2limn错解一: ，2lilimnn, .2li,linn2li0n错解二: 不存在， 不存在， 不存2limnlin2linn在错解三： 222lilimnnn， ，2limn2li,linnli1n简析：两个数列都有根限，才有其和与差、积与商四则运算法则，但反之不成立忽视这一条件会导致理论上的错误，从而出现错解一、错解二和错解三求无穷数列和（积）的极限时，应遵循“先求数列和（积）”、“后取极限”的
10、原则，否则就会出错合理联想：联想数列极限的运算法则，对数列做合理的变形，分子和分母同除以 n 的最高次幂正解： 222limlinnnn22lili1nn点评：求 型的数列的极限时，往往需对数列进行合理变,形对“ ”型数列的极限，一般处理方法是化差为和，对“ ”型极限的处理方法是：分子和分母同除以趋向于无穷最快的项，对“ ”型则化为或型处理例 7在等比数列 里，已知 ，公比 ，前 n 项和为 ，各项和na1a1qnS为 ，则极限 的值必是 ( )S12limnnSSA. B. C. D.2错解：因为 1212li limnn nS ，所以选 C常 量剖析：在以上的解题构思里，思维受阻原因主要有
11、两个，其一，对极限四则运算法则的约束条件：运算次数有限认知不到位；其二，对的 n 个被减数项与减数项里的 n 个 S 的相似性程度递增认识12nSS不足，误得 错解错在将12limS 12 limlin只适用于有限个数列加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围数学中的公式、法则、定理等，大都有一定的适用范围，不注意这一点，思维就是不严密的，就有导致错误的可能，这一点，我们必须引起足够的重视合理联想：把被取极限的项适当重组为，并用等比数列的前 n1212nSSS nS项和公式恒等变形，在排除运用极限四则运算法则的障碍后，合理计算简约式的极限值正
12、解：因为 ，12 12limlimn nn n S 且 ，所以，1nqS1212li linnn nqSS 故选择 A六不能借助极限思想巧解图象题例 8给出下列图象其中可能为函数 的图象是fxabxcdabcR()(,)432分析：这道题是我校的一道模拟试题，得分率很低，各种答案都有，许多学生做这道题时感到无从下手，我通过与部分学生交谈知道，大部分学生都是猜想结果，虽然有一些学生想到求函数的导数 ，但仍然yxabxc432不知如何处理其实，这道题若从极限角度考虑，问题便迎刃而解当时， 时图象是上升的，排除，再令xyx,所 以 ， 当a=b=c=0，y0 不是恒成立的，排除，选可见，在学习中我们要认真钻研教材，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明，挖掘对极限思想内涵的理解，掌握学习规律，只有这样才能正确理解极限并运用极限思想巧解题
