1、 阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载1X3.5 带电粒子在磁场中的运动（三）执笔人：德州二中 王秀香【学习目标】 极值、多解问题【自主学习】一、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：注意下列结论，再借助数学方法分析：1、刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。2、当速度 v 一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。3、注意圆周运动中有关对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。二、洛仑兹力的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速
2、圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面。（1）带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。（2）磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑感应强度方向不确定而形成的多解。（3）临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过 180从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解。阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家
3、教学习 资料下载2（4）运动的重复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。【典型例题】1、求带电粒子在有界磁场中运动的速度例 1、如图所示，宽为 d 的有界匀强磁场的边界为PQ、MN ，一个质量为 m，带电量为-q 的微粒子沿图示方向以速度 v0 垂直射入磁场，磁感应强度为 B，要使粒子不能从边界 MN 射出，粒子的入射速度 v0的最大值是多大？2、求带电粒子通过磁场的最大偏转角例 2、如图所示，r=10cm 的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟 y 轴在坐标 O 处相切，磁感应强度 B=0.332T，方向垂直纸面向外，在 O处有一放射源 S，可沿纸
4、面向各个方向射出速率均为 v=3.2106m/s 的 粒子，已知m a=6.6410-27kg，q=3.210-19C，则 粒子通过磁场最大偏转角等于多少？例 3、某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直它阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载3的运动平面，电子所受电场力恰是磁场对它的作用力的 3 倍，若电子电荷量为 e，质量为 m，磁感应强度为 B，那么，电子运动的可能角速度是（ ）A、4eB/m B、3 eB/m C、2 eB/m D、eB/m【针对训练】1、如图所示一带电质点，质量为 m，电量为 q，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y
5、轴上的 a 点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v 射出，可在适当的地方加一个垂直于 xy 平面、磁感强度为 B 的匀强磁场，若此磁场仅分布在一圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径（粒子重力不计） 。2、在真空中，半径 r=310-2m 的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感强度B=0.2T，一个带正电的粒子，以初速度 v0=106m/s 从磁场边界上直径 ab 的一端 a 射入磁场，已知该粒子的比荷 108C/kg，不计粒子重力，求：q（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时 v
6、0 方向与 ab 的夹角 及粒子的最大偏转角 。阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载43、在 xoy 平面内，x 轴上方存在磁感应强度为 0.5T 的匀强磁场，方向如图，一 粒子（电荷量与质量的比值为 5.0107C/kg）以 5.0106m/s 的速度从 O 点射入磁场中，其运动方向在 xoy 平面内。经一段时间 粒子从图中的 A 点飞出磁场，已知 OA 之间的距离为 20 cm，求 粒子在磁场中的运动时间。 （计算结果保留两位有效数字）2【能力训练】1、如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域内具有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁
7、场的外边缘，设环状磁场的内半径 R1=0.5m，外半径 R2=1.0m，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被束缚的带电粒子的荷质比为 4107C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：mq（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载52、M、N 两极板相距为 d，板长均为 5d，两板未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度 v 射入板间，为了使电子都不从板间穿出，求磁感应强度 B 的范围。3、如图所示一足够长的矩形区域
8、abcd 内充满磁感应强度为 B，垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域 ad 边的中点 O 处，垂直磁场射入一速度方向与 ad 边夹角 30，大小为 v0的带正电粒子，已知粒子质量为 m，电量为 q，ad 边长为 l，重力影响不计。（1）试求粒子能从 ab 边上射出磁场的 v0 的大小范围。（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？ a bcdO30阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载64、图为氢原子核外电子绕核作匀速圆周运动（逆时针方向）的示意图，电子绕核运动可等效地看作环形电流。设此环形电流在通过圆心并垂直圆面的轴线上一点 P 处产生的磁感强度的大小为 B1，现在沿
9、垂直于轨道平面的方向加一磁感强度 B0 的外来磁场，这时设电子的轨道半径没变，而它的速度发生变化。若用 B2 表示此时环形电流在 P 点产生的磁感强度大小，则 B0 的方向（ ）A、垂直于纸面向里时， B2B 1B、垂直于纸面向外时，B 2B 1C、垂直于纸面向里时，B 2B 1D、垂直于纸面向外时，B 2B 1【学后反思】 _ 。+阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载7参考答案：典型例题例 1、解析：为了使带电粒子入射时不从边界 MN 射出，则有临界轨迹与 MN 相切，如图所示。设粒子做圆周运动的轨道半径为 R，则有 Bqv0=m ，由几何v2关系得 Rcos60+
10、R=d，解得入射粒子的最大速度 v0= 。m3dBq2例 2、解析：设粒子在洛伦兹力作用下的轨道为 R，则有Bqv=m ，所以 R=0.2m，在图中，虽然 粒子进Rv0 入磁场的速度方向不同，但入射点及轨道半径是确定的，若使粒子飞出磁场有最大偏转角，应使粒子在磁场走过圆弧最长，或对应的弦最长。显然最大弦长为磁场圆的直径，如图所示，由几何关系得sin ，所以最大偏转角等于 2 =60。21Rr例 3、解析：由于本题中没有明确磁场方向和电子的环绕方向，所以电子受洛伦兹力的方向有两种可能，一种可能是 F 电 与 F 洛 同时指向圆心，如图（1） 、 （2） ，另一种是F 洛 背离圆心，如图（3） 、
11、 （4） ，所以此题必有两个解。在（1） 、 （2）情况下：F+F =m r，又 F=3F=3evB 阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载84evB=m r2又v= r meB4在图（3） 、 （4）情况下F- F=m r，又 F=3F=3evB22evB=m r 又v= r meB2正确答案：AC针对训练1、解析：设带电质点在洛伦兹力作用下的轨道半径为 R，则 qvB=m ，由题意知，质点在v2磁场区域中的轨道为半径 R 的 圆周，该段圆弧应41与入射速度方向，出射速度的方向相切。过 a 点作平行于 x 轴的直线，过 b 点做平行于 y 轴的直线，则与这两条直线相距
12、均为 R 的点 O就是轨道圆的圆心，如图所示。显然 MN 两点既是轨道圆上的点，也是磁场圆上的点，所以 MN 是磁场圆的一条弦。在以 MN 为弦的所有圆中以 MN 为直径的圆最小。由几何关系得，最小圆的半径 r= ，磁场区域为图中的实线qB2mvR21MN2图。2、解析：（1）粒子射入磁场后，由于不计重力，所以洛伦兹力充当圆周运动需要的向心力，根据牛顿第二定律有： Rvq2=510-2m。qBvR阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载9（2）粒子在圆形磁场区域轨迹为一段半径 R=5cm 的圆弧，要使偏转角最大，就要求这段圆弧对应的弧最长，即为场区的直径，粒子运动轨迹的圆
13、心 O在 ab 弦中垂线上，如图所示。由几何关系可知： 6.0Rrsin37而最大偏转角 742正确答案：R=510 -2m =37 =743、解：以 粒子为研究对象，在磁场中运动时，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得Bqv=m Rv2所以 R= 2.01.50qB76粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期T= s0.2s10.5v276（1）若 粒子沿甲图所示方向射入，设AO 1B 为 ，则2AOsin1 解得 4 粒子在磁场中运动的圆心角23 粒子在磁场中的运动时间为 T=1.910-7s2t1阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载10（2） 粒子沿乙图所示方向射入，设AO
14、1C 为 ，则2AOCsin解： 4 粒子在磁场中运动的圆心角2 粒子在磁场中的运动时间为 t2= 0.6310-7sT能力训练1、解析：（1）若粒子沿半径方向射入磁场，设运行半径为 r，由 qvB= 得 v=rmv2，由此可见要使速度最大，只需半径最大即可。mqvB当运动轨迹恰好与外圆相切时（如图所示）半径最大，由图中的几何关系得R12+r2=(R2-r)2联立上面的速度表达式并代入数据可得 v=1.5107m/s。此速度即为沿环状半径方向射入的粒子不能穿越磁场的最大速度。（2）粒子沿内圆切线方向射入磁场，轨迹与外圆相切，此时轨迹半径 r最短（如图所示） ，则有 m25.0R12要使所有粒子
15、都不能穿越磁场区域，必须满足 rqBv代入数据得 107m/s，即为所有粒子都不能穿越磁场的最大速度。0.1qBrv方法指导：带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：注意下列结论，再借助数学方法分析：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切（2）当速度 v 一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载11中运动的时间越长（3）注意圆周运动中有关对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿经向射入的粒子，必沿径向射出。2、解析：要使电子都不从板间穿
16、出，只要靠近上板的电子不能射出，便满足要求。临界轨迹如图。洛仑兹力提供向心力qvB= ，故：Rmv2B= q圆心为 O1 时，R 1= ，此时 B1=2dqdmv2圆心为 O2 时，R 22=(R2-d)2+(5d)2，得 R2=13d此时 B2= qd13mv那必须满足：R 1RR 2 也就是 B qd13vv3、简析：（1）找临界轨迹如图，因入射方向确定，圆心定都在一条线上，轨迹与ab 边相切时，圆心为 O1，R 1= -R1cos60，得 R1= ，轨迹与 cd 边相切时，圆心为 O22LL由几何知识得：R2= 30cotsL又：R= ，得：v 0=qBmqR故范围： L30（2）经分析由 ad 边射出的粒子时间相等且最长 T= qBm2圆心角 =360-60=300阳光家教网 http:/ 家教学习资料 更多家教学习 资料下载12所以 t= qB3m5T604、BC
