1、考试成绩录入软件 Excel 登分王下载地址 http:/ Excel 登分王12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量 ，当 =xi 的概率为 P（ =xi）=Pi（i=1，2， ，n，） ，则称 E =x i pi 为 的数学期望，反映了 的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E 由 的分布列唯一确定.2.方差：称 D =（x iE ） 2pi 为随机变量 的均方差，简称方差. 叫标准差，D反映了 的离散程度.3.性质：（1）E（a +b）= aE +b，D（a +b）=a 2D （a、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若 B（
2、n，p） ，则 E =np，D =npq（q=1p）.D 表示 对 E 的平均偏离程度， D 越大表示平均偏离程度越大，说明 的取值越分散.二、例题剖析【例 1】 设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求 E 、D . 1 0 1P 212q q2拓展提高既要会由分布列求 E 、D ，也要会由 E 、D 求分布列，进行逆向思维 .如：若 是离散型随机变量，P（ =x1）= ，P（ =x2）= ，且 x1x2，又知 E = ，D =53557.求 的分布列.256解：依题意 只取 2 个值 x1 与 x2，于是有E = x1+ x2= ，357D = x12+ x22E 2= .56从而得
3、方程组 .13,721【例 2】 人寿保险中（某一年龄段） ，在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付 3 万元，出现非意外死亡则赔付 1 万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是 p1，非意外死亡的概率为 p2，则 a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例 3】 把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求 E 、D .特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的. =2 时，此时有两种情况：有 2 个空盒子，每个盒子投 2 个球；1 个盒子投 3 个球，另 1 个盒子投 1 个球.【例 4】 若随机变量 A 在一次试验中发
4、生的概率为 p（0p1） ，用随机变量 表示A 在 1 次试验中发生的次数.考试成绩录入软件 Excel 登分王下载地址 http:/ Excel 登分王（1）求方差 D 的最大值；（2）求 的最大值.E1【例 5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为 1 的球 1 个，号数为 2 的球 2 个，号数为 3 的球 3 个，号数为 n 的球 n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量 ，求 的概率分布和期望.【例 6】 （湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止
5、。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.三、同步练习 g3.1098 离散型随机变量的期望值和方差1.设服从二项分布 B（n，p）的随机变量 的期望和方差分别是 2.4 与 1.44，则二项分布的参数 n、p 的值为 BA.n=4， p=0.6 B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.12.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，命中后的剩余子弹数目 的期望为 CA.2.44 B.3.376
6、C.2.376 D.2.43.设投掷 1 颗骰子的点数为 ，则 BA.E =3.5，D =3.52 B.E =3.5，D = 1235C.E =3.5，D =3.5 D.E =3.5，D = 64.设导弹发射的事故率为 0.01，若发射 10 次，其出事故的次数为 ，则下列结论正确的是 AA.E =0.1 B.D =0.1C.P（ =k）=0.01 k0.9910k D.P（ =k）=C 0.99k0.0110k105.已知 B（n，p） ，且 E =7，D =6，则 p 等于 AA. B. C. D.71615146.一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0
7、.02.设发病的牛的头数为 ，则 D 等于 CA.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.8047.有 两 台 自 动 包 装 机 甲 与 乙 ， 包 装 重 量 分 别 为 随 机 变 量 1、 2， 已 知E 1=E 2， D 1 D 2，则自动包装机_乙_的质量较好 .8.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p=_ _时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_ 5_.考试成绩录入软件 Excel 登分王下载地址 http:/ Excel 登分王9.甲从学校乘车回家，途中有 3 个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，则甲回家途中遇红
8、灯次数的期望为_1.2_.5210.一次单元测试由 50 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中恰有 1 个是正确答案.每题选择正确得 2 分，不选或错选得 0 分，满分是 100 分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.11.袋中有 4 只红球，3 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球.设取到一只红球得 2 分，取到一只黑球得 1 分，试求得分 的概率分布和数学期望.12.一 台 设 备 由 三 大 部 件 组 成 ， 在 设 备 运 转 中 ， 各 部 件 需 要 调 整 的 概 率 相 应 为0.10， 0.20 和 0.30.假 设 各 部 件 的
9、状 态 相 互 独 立 ， 以 表 示 同 时 需 要 调 整 的 部 件 数 ， 试 求 的 数 学 期 望 E 和 方 差 D .13.将数字 1，2，3，4 任意排成一列，如果数字 k 恰好出现在第 k 个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.14.（辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为 A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲 、P 乙 ；（）已知一件产品的利润如表二所示，用、 分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求 、 的分布列及E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y 为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）z
