1、概率论与数理统计 Probability & Statistics 袁永生 教授,概率统计课程特点,1.新概念相对比较多；避免概念性错误。2.实用性强；注意结合生活经验及在各领域的广泛应用。3.渗透性: 与其他学科结合可产生许多新的学科和研究方向。例如：信息论、系统论、控制论、可靠性理论、平差分析、生物统计、水文统计、 数量经济等等。,本课堂相关基本要求,课上注意听； 课后认真尽快作业。,第一章 随机事件与概率,高等数学训练逻辑思维； 线性代数训练抽象思维。 概率统计训练随机思维。,1.1 绪论,两个具体现象：,I. 一枚六面均标有“ ”的正方体, 抛掷一次。 II. 一枚骰子，抛掷一次。,现
2、象本质: 开始的条件就能确定最后的结果。 确定性现象 如 现象本质: 开始的条件不能确定最后的结果。 不确定性现象 如,笛卡儿：有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时，我们就应去探索什么是最可能的。在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验后，其结果又呈现某种规律性的现象称为随机现象。,1.2 随机试验与随机事件,E1：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数；,E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面 (H)、反面 (T) 出现的情况；,E3：记录测量两点距离是产生的误差；,E4：早上7：30在校食堂某摊位前排队买早点的人数。,综上随机试验有以下特点：,1.在相同条件下，可重复
3、进行;,2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果;,3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。,具有上述三个特点的试验称为随机试验，记为E。, 样本空间,随机试验E的所有可能试验结果组成的集合称为样本空间，记为。,样本点：,组成样本空间的元素，即随机试验E的每个可能结果，记为。, 随机事件,试验E的样本空间的子集称为E的随机事件，简称事件，记为A、B等。,即试验E的部分试验结果组成的集合为随机事件。,在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。,基本事件：,由一个样本点构成的单点集。,必然事件：,在每次试验中总是发生的事件。,也记为。,不可能事件：,在每次试验中都
4、不发生的事件。,也记为。, 事件之间的关系,1. 包含关系,A B,“ A发生必导致B发生”,A B, AB 且 BA,2. 和事件,AB,“ A与B至少一个发生”,3. 积事件,ABAB,“ A与B同时发生”,4. 差事件,AB,“ A发生但B不发生”,例 在E2中，事件1，3，B=0，3，问若一次试验 中正面出现 1 次， AB，AB，AB分别是否发生？ 正面出现 3 次， AB，AB，AB又分别是否发生？,5. 互不相容或互斥,AB,A、B互不相容或互斥,Notes：基本事件是两两互不相容的事件,6. 对立事件或逆事件,AB,且 AB,A与B互为逆事件或对立事件, 事件与集合对应关系类比
5、,概率论,集合论,样本空间 ,事件 子集,事件A发生 A,事件A不发生 A,事件A发生导致事件B发生 AB,概率论 集合论 事件A与B至少有一个发生 AB 事件A与B同时发生 AB(或AB) 事件A发生而B不发生 AB 事件A与B互不相容 AB, 事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA,2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC),3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AB)(BC),4、对偶(De Morgan)律：,可推广,例 试把ABC 表示成三个两两互不相容事件的和。, 频率与概率,定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复
6、试验中出现的频率，记为fn(A).,频率的性质,(1) 非负性：,(2) 规范性：,(3) 有限可加性：,fn(A) 0；,fn()1；,即 fn(A) nA/n.,例 为了确定某类种子的发芽率，从大批这类种子中抽出若干批作发芽试验，其结果如下 种子粒数 25 130 310 700 1500 2000 3000 发芽粒数 24 116 282 639 1339 1806 2715 发芽率 0.96 0.89 0.91 0.89 0.893 0.903 0.905,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐趋向一个定值。,相关问题：,发芽率计算公式？,如何理解重复试验？,频率的特征频率的
7、稳定性。,定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：,(1)非负性：,(2)规范性：,(3) 可列可加性：,设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即Ai Aj，(ij ), i , j1, 2, , 有,P( A1 A2 ) P(A1)P(A2)+.,则称P(A)为事件A发生的概率。,对任一事件A，有P(A) 0；,P()1；,概率的实质：,“集合函数”解释； 相关问题：,概率的性质,(1) P()0；,设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即Ai Aj ，(ij ), i , j1, 2, , n ,则有,(2) 有
8、限可加性：,P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+P(An );,(3) 单调不减性：,若事件B A，,则P(B)P(A) ,且 P(BA)P(B)P(A)；,(4) 互补性：,对 “概率” 的几何理解：,(5) 加法公式：,对任意两事件A、B，有,P(AB)P(A)P(B)P(AB),上式可推广到任意n个事件A1, A2, , An的情形；,(6) 可分性：,对任意两事件A、B，有, 古典概型(等可能概率),特征：,10 样本空间的元素只有有限个；,20 试验中每个基本事件发生的可能性相同；,有限性：,满足上述两个特征的试验称为等可能概型（或古典概型）。,等可能性：,样本空间1,
9、 2 , , n ;,P( i )1/n, (i1, 2, , n).,古典概型中事件发生概率计算公式推导,设事件A中包含k个样本点(基本事件),P(A),例 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任取 n 件，问这 n 件中恰有 k( kD)件次品的概率是多少？,例 将 3 只球随机地放到 4 个杯子中去，试求每个杯子中球的最大个数为 1 的概率。,放回抽样：,不放回抽样：,例 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？,实际推断原理：,概率很小的事件，在一次试验中可以认为是几乎不发生的。当然在多次重复之后又几乎是
10、必然的。,留意区别概率很小的事件，与概率为零的事件。, 条件概率,定义 设A、B是中的两个事件，且P(B) 0，称,引例 某班有100人，其中男生60人，女生40人，考试及格95人，其中男生58人，女生37人。 记A：任取一人考试及格；B：任取一人为男生 求：（1）任取一人考试及格的概率；（2）任取一男生考试及格的概率。,为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。,Notes：,20 条件概率P(A|B)也是概率。它也具有概率所具有的一切性质。,比如：,i ) 0 P(A|B) 1；,i i) P( |B) =1；,iii)设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，则,10 条件概率的计算除
11、了按上式计算之外，也可在缩减的样本空间B里直接计算。,还有：,P(A1A2 |B)P(A1 |B)P(A2 |B)P(A1A2 |B),等等, 乘法公式,上式还可推广到三个事件的情形：,P(ABC),P(C|AB),P(B|A),P(A),一般的，有下列公式：,P(A1A2An) P(An|A1An1) . P(A2|A1) P(A1)， 其中 P(A1A2An) 0，n2,例 已知在10只电子管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率（1）两只都是正品；（2）第二次取出的是次品。,一般的，有如下定义,定义 事件组B1，B2，Bn (n可为)，称为样本空间的一个
12、划分(或完备事件组)，若满足：, 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,对 “划分” 的直观理解,定理 设B1，, Bn是的一个划分，且P(Bi )0， (i1，n)，则对任何事件A，有,全概率公式,对 “划分” 本质的直观理解： 影响事件A发生的全部事件组。,例 某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售, 已知其中有三箱已变酸，若你去购买第六箱（已售出五箱),求：你碰巧买到已变酸牛奶的概率。,定理 设B1, Bn是的一个划分，且P(Bi ) 0，(i1，n)，则对任何事件A, P(A) 0, 有,贝叶斯公式或逆概率公式,例 某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售, 已知其中有三箱已变酸，若你去购买第六
13、箱（已售出五箱),求： （1）你碰巧买到已变酸牛奶的概率； （2）若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶，求已售出的五箱中恰好有两箱是已变酸牛奶的概率。,例 设有白球与黑球各 4 只，从中任取 4 只放入甲盒，余下的 4 只放入乙盒，然后分别在两盒中各任取 1 球，颜色正好相同，试问放入甲盒的 4 只球中有几只白球的概率最大？并求出此概率值。, 事件的独立性,定义 设A、B是两事件，若P(A)P(A|B) 则称事件A与B相互独立。,上式等价于：P(AB)P(A)P(B),定理 以下命题等价：,两个事件的独立性,多个事件的独立性,定义 若三个事件A、B、C满足： (1) P(AB)=P(A)P(B),
14、 P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C,若在此基础上还满足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C,两两相互独立；,相互独立。,P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)P(A)P(B)P(C),两两独立,相互独立,相互独立,两两相互独立,例 一射手对同一目标独立地进行3次射击，若至少命中1 次的概率是26/27，则该射手的命中率是多少？,例 抛掷四个硬币，求均出现正面的概率？, 贝努里(Bernoulli)概型,1. 只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常
15、记为E。,若记A“ 成功”，其概率常用pP(A)表示。,E也叫做“ 成功失败试验”。,2. 把E重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里试验，记为E n。,3. 把E重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为E 。,以上三种贝努里试验统称为贝努里概型,例 某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售, 已知其中有三箱已变酸，若你去购买第六箱（已售出五箱),求：（1）你碰巧买到已变酸牛奶的概率；（2）若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶，求已售出的五箱中恰好有两箱是已变酸牛奶的概率。 例 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1，一顾客
16、欲购买一箱玻璃杯，购买时售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。0.94，0.85,例 同时掷两个均匀的骰子，问两个骰子点数之和为 5 的结果，出现在它们的点数之和为 7 的结果之前的概率是多少？ 例 设有白球与黑球各 4 只，从中任取 4 只放入甲盒，余下的 4 只放入乙盒，然后分别在两盒中各任取 1 球，颜色正好相同，试问放入甲盒的 4 只球中有几只白球的概率最大？并求出此概率值。,例 已知二维随机变量（X，Y）在三角形区域D=(x，y)0x1- y，0y1 上服从均匀分布,（
17、1）写出X与Y的联合密度函数f(x，y);（2）求边缘密度函数fX (x)，fY (y)；（3）求Z=X+Y的密度函数；（4）求PYX；（5）求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)及cov(X，Y) 例 设随机变量（X，Y）的联合密度函数为,求:（1）常数C;（2）边缘密度函数fX (x)，fY (y) ;（3）fXY(xy)，fYX(yx);（4）Z=X+Y的密度函数;（5）M=max(X，Y）和N= min(X，Y）的密度函数；（6）PX+Y1.,例 设随机变量X与Y相互独立，且同服从 0，1 上的均匀分布，试求： Z=X-Y的分布函数与密度函数； 设U=X+Y，V=X-Y，求（U，V）
18、的联合密度函数； 求（U，V）关于U和关于V的边缘密度函数； 求U与V的相关系数。,例 设有 N 个人，每个人将自己的帽子扔进屋子中央，把帽子充分混合后，每个人再随机地从中选取一顶，试求选中自己帽子的人数的数学期望与方差。 例 假设有自动线加工的某种零件内径X（单位:mm)服从正态分布N(，1)，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系,问平均内径取何值时，零件销售的平均利润最大？,例 设随机变量X的密度函数为,求:（1）X的数学期望E(X) 及方差D(X) ;（2）X与X的协方差，并问X与X是否相关；（3）X与X是否相互独立？为什么?,例 一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从一批这种元件中随机地抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时)，已知该种元件寿命服从标准差=100（小时）的正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格？,
