1、Ch5 大数定律与中心极限定理, 依概率收敛,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，若存在 0, 使得,则称Xn 依概率收敛于X. 可记为, 大数定律,设Xn为随机变量序列，,几个常用的大数定律,1.切比雪夫大数定律,设Xn 为独立随机变量序列，若E(Xk ) ，D(Xk )C，C为正数, k=1, 2, , (称Xn 为方差一致有界), 则Xn 服从大数定律。即,推论2 若Xn 为独立随机变量序列, 满足马尔可夫条件：,则Xn 服从大数定律。,推论1 若Xn 为独立同分布随机变量序列，且 E(Xk )= , D(Xk )= ， k=1, 2, 则Xn 服从大数定律。,2. 伯努里大数定律,设X
2、n 为独立随机变量序列, 且Xk B(n, pk ), 0 pk 1, k=1, 2, 则Xn 服从大数定律。,3. 辛钦大数定律,若Xn 为独立同分布随机变量序列, 且E(Xk )= , k=1, 2, 则Xn 服从大数定律。,大数定律说的是：对于随机变量序列Xn ，只要它满足一定的条件，即有,大数定律可以用来说明频率的稳定性。, 依分布收敛,设Xn 为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在 F(x)的连续点，有,则称 X n 依分布收敛于X. 可记为, 中心极限定理,几个常用的中心极限定理,1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)
3、,设 Xn 为独立同分布随机变量序列，若E(Xk ) = ，D(Xk )= ，k=1, 2, , 则Xn 满足中心极限定理。,2.李雅普诺夫中心极限定理(Liapunov),设Xn 为独立随机变量序列，若E(Xk )= k，,3. 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace),设随机变量n(n=1, 2, .)服从参数为n, p(0 p 1)的二项分布，则,对于独立同分布 r.v.序列Xn ，大数定律给出了前n项算术平均值所遵循的规律; 而中心极限定理则在n充分大时, 给出了Xn 前n项之和落在某区间(a, b的近似概率，事实上,例 在一家保险公司里有10000个人参加
4、寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各是多少？,例 某单位的电话交换机下设200部分机，经调查每部分机一天内只有5%的时间使用外线。设各分机使用外线与否相互独立，试问要装多少条外线，可使每部分机使用外线时有外线可供使用的概率不少于90%。,例 一船舶在某海区航行,巳知每受一次波浪冲 击,纵摇角大于3度的概率为p=1/3,若船舶遭受 了90000次波浪冲击,问其中有2950030500次 纵摇角大于3度的概率是多少?,
