1、濮阳市 2018 届高三毕业班第一次模拟考试数学(理科)一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,所以 ，故选 C.2. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位， 表示复数 的共轭复数，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ， ，即 ，即 ，故选 A.3. 如图所示的长方形的长为 2，宽为 1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为(
2、 )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设飞鸟图案的面积为 ，那么 ，几 ，故选 B.4. 函数 的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以函数是偶函数，关于 轴对称，排除 A.D，当 时， ，排除 B，故选 C.5. 设 ，若 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以原式等于 而 ，又因为 ，所以 ，可求得，那么 ，那么 ，故选 B.6. 设点 是 ，表示的区域 内任一点，点 是区域 关于直线 的对称区域 内的任一点，则 的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点 与点 关于直线 的对
3、称点 间的距离最大，最大距离就是点 到直线 距离的 2 倍，联立 ，解得： ，点 到直线 的距离 ，那么 ，故选 D.7. 已知三棱锥 中， 与 是边长为 2 的等边三角形且二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ， ， ，连接 ，点 是三棱锥 的外接球的球心，因为棱长都是 2，所以 ，所以在 中， ，那么外接球的表面积是 ，故选 D.【点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.8.
4、执行如图所示的程序框图(其中 表示 等于 除以 10 的余数)，则输出的 为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】 时，第一次进入循环， 时，第二次进入循环， 时，第三次进入循环， ， 时，第四次进入循环，当 时，第五次进入循环， 时，第六次进入循环，由此可知此循环的周期为 6，当 时，第 2016 次进入循环，所以此时 ，退出循环，输出的 值等于 8，故选 D.9. 某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱
5、， ，故选 A.10. 已知双曲线 ， 是左焦点， ， 是右支上两个动点，则 的最小值是( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 16【答案】C【解析】 ，所以，当且仅当 三点共线时等号成立，故选C.11. 已知 中， ， ， 成等比数列，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可知 ，即 ， ，即 ， ，原式等于 ，设 即原式等于 ，函数是增函数，当 时，函数等于 0，当 时，函数等于 ,所以原式的取值范围是 ，故选 B.【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为 ，再利用余弦定理求角 的取值范围，二是将 转化为 的函数，最后利用函数的单调性求解，本题考查
6、的三角函数的知识点非常全面，而且运用转化与化归的思想，属于难题了.12. 已知 且 ，若当 时，不等式 恒成立，则 的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】原式等价于 ，两边取自然对数得 ，令 ，则 时， 因为 当 时，即 时， 单调递增，当 时， 与 矛盾；当 时，即 时，令 ，解得 ， 单调递增， 时， 单调递减，若 ，即 ，当 时， 单调递增， ，矛盾；若 ，即 ，当 时， 递减， ，成立，综上， ，最小值为 ，故选 A.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立的问题，可以通过变形将不等式整理为需要研究的函数，比如本题设 ，讨论 的取值范围，使函数满足 ，转化为求函数
7、的单调性，根据单调性可求得函数的最值.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 正三角形 的边长为 1， 是其重心，则 _.【答案】【解析】 且两向量的夹角为 ，即 故填： 14. 的展开式中， 的系数为_.【答案】56【解析】原式其中 只可能出现在 的展开式中，所以 的系数是 ,故填：56.15. 已知椭圆 ， 和 是椭圆的左、右焦点，过 的直线交椭圆于， 两点，若 的内切圆半径为 1， ， ，则椭圆离心率为_.【答案】【解析】设 周长为 ，则 ，又，则 ，又 ，则 ，故填： . 16. 先将函数 的图象上的各点向左平移 个单位，再将各点的横坐标变为原来的 倍(其
8、中 )，得到函数 的图象，若 在区间 上单调递增，则 的最大值为_.【答案】9【解析】 在区间 上单调递增，所以有 ，即 由 可得 ，当 时， ，所以正整数 的最大值是 9.【点睛】本题考查了三角函数的图像变换，以及根据函数的性质求解参数的最值，当图像是先平移再伸缩时，注意是 前的系数改变，与 无关，函数在 上单调递增，即先求的范围，其是函数 单调递增区间的子集，求出 的范围，确定最值.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 是等差数列， ， ， .(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 为递增数列，数列 满足 ，求数列 的
9、前 项和 .【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质，可知 ，解出 ，得到数列的通项公式；（2）根据（1）可知 ，求得 ， ，采用错位相减法求和.试题解析：(1)由题意得 ，所以 ，时， ，公差 ，所以 ，时， ，公差 ，所以 .(2)若数列 为递增数列，则 ，所以 ， ，所以 ，所以，所以 .18. 为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考” ，该城市某出租车公司共 200 名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2)从这 200 名司机中任选两人，设这两人参加送考
10、次数之差的绝对值为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.【答案】(1)2.3；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数/200；（2）该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加 1 次，另一个参加 2 次送考”为事件 ， “这两人中一人参加 2次，另一人参加 3 次送考”为事件 ， “这两人中一人参加 1 次，另一人参加 3 次送考”为事件 ， “这两人参加次数相同”为事件 . ，根据事件列式求分布列和数学期望.试题解析：由图可知，参加送考次数为 1 次，2 次，3 次的司机人数分别为 20，100，80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：.(2)从该公
11、司任选两名司机，记“这两人中一人参加 1 次，另一个参加 2 次送考”为事件 ，“这两人中一人参加 2 次，另一人参加 3 次送考”为事件 ， “这两人中一人参加 1 次，另一人参加 3 次送考”为事件 ， “这两人参加次数相同”为事件 .则 ，.的分布列：0 1 2的数学期望 .19. 如图，正方形 中， ， 与 交于 点，现将 沿 折起得到三棱锥 ， ， 分别是 ， 的中点.(1)求证： ；(2)若三棱锥 的最大体积为 ，当三棱锥 的体积为 ，且二面角 为锐角时，求二面角 的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）要证明线线垂直，一般需证明线面垂直，易证 ，即 平面 ；（2） 是二面角 的平面角，根据 ，可知， 是等边三角形， 平面 ，以 为原点， 所在直线为 轴，过且平行于 的直线为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角.试题解析：(1)依题意易知 ， ， ， 平面 ，又 平面 ， .(2)当体积最大时三棱锥 的高为 ，当体积为 时，高为 ，中， ，作 于 ， ， ， 为等边三角形， 与 重合，即 平面 .以 为原点， 所在直线为 轴，过 且平行于 的直线为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
