1、GRE 数学 sub 的准备2007-01-03 22:38:21 来自: Credo|无法加新小组因此弃 五. 如何准备 1.备考资料 Cracking the GRE Math Test, 2nd Edition 这本书是我复习时使用的主要参考书。书中涵盖了考试中出现的近 90%的内容，每章结束之后，都有 Content Review 的题目进行复习。最后还附了一套仿真题。我认为这是一本不可多得的 sub 备考资料。这本书不贵，在 Amazon 上卖 12 美元，地址如下： http:/ . 103-3798320-3132649 ETS 出版的 Practicing to Take th
2、e Mathematics Test GRE， 3rdEdtion 就不用买了，太贵了（140 多美元，只有两套真题。而且书中的一套题目可以在 ETS 的网站上下载。另一套是谁也没见过的真题） 官方真题 目前能得到的官方真题只有 97 年和 93 年的。97 年的真题是在 free practice book 中免费提供的，我已经上传到精华区了，文件名是 Math.pdf。不过这套题目难度偏低，属于高考难度。另外一套 93 年的真题其实是 Practicing to Take the Mathematics Test Gre, 2nd Edition，目前没有电子版，有盗版小贩卖。我当时没有做
3、这套题目。如果想做的话，可以找 cyclewalker 复印，他买了。 （提示：以后 ETS 可能会在官方网站放出包含新的真题的 Free Practice Book） REA6 套仿真题 这就是臭名昭著的那 6 套题目。正如 GFinger 所说，题目又偏又难，偏的题目就直接跳过吧（其实做一做也可以，我就都做了）。题目难的好处是让大家对于真实的考试有所准备，最近几年的题目难度有上升的趋势。大家还是认真地把这 6 套题目做一下吧。（提示：题目我也已经上传了，是寄托天下网友的扫描版，不过打印出来效果还可以） 03 年和 04 年的回忆题 03 年的回忆题我是从寄托天下上下载的，已经上传。04 年
4、的回忆题是 GFinger 师兄提供的，师兄辛苦了，呵呵。回忆题由于其不完整性，只能用于临考前摸清 ETS 的最新出题动向，不能用来模考。不过 ETS 的题目重复使用率很高，大家还是认真看看这些题目。 （提示：北大数院 97 级编了一本如何准备 GRE 数学专项考试，由世图出版，里面的内容全部来自于 REA 的 6 套仿真题和 93 年的真题，所以不推荐大家购买） 2.考试内容 下面列一下 sub 考试的大致范围。 按照 ETS 的说法，sub 考试中 50%是微积分方面的题目，25%是线性代数的题目，剩下的 25%是其他基本数学内容。 Sub 考试总的原则是记住基本定义、定理和结论，不要管证
5、明，更不要去记太复杂的内容。 （提示：下面我给出了一些我认为比较经典的参考书，一般来说书中的内容都是大大超过了考试内容。如果在平时做题时碰到书中索引查不到的概念，可以到这里查询：） （以下内容参考了寄托天下妙手空空的文章） 高中知识 各种三角诱导公式，和，差，倍，半公式与和差化积，积化和差公式，平面解析几何。 说明：Cracking the GRE Math Test 里面第一章就是复习高中知识，我看内容基本差不多了，大家也就不用另外找书复习了。 数学分析 极限，连续的概念，单变量微积分（求导法则，积分法则，微商），多边量微积分及其应用，曲线及曲面积分，场论初步。 参考书：张筑生先生的 3 册
6、数学分析新讲 ，Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 说明：Cracking the GRE Math Test 用了两章来复习数学分析，基本够了。我只是另外看了一些场论的公式以及 Fourier 分析的一点内容。不过 sub 中有一些数学分析方面的题目很灵活，要你判断一个命题是否正确，对于错误选项如果想不出反例来就有些麻烦了，大家要注意。 微分方程 基本概念，各种方程的基本解法。 参考书：Wolfgang Walter, Ordinary Differential Equations 说明：以 Cracking the GRE
7、Math Test 中的相关章节为主，一般不难。 线性代数 普通代数，艾森斯坦因法则，行列式，向量空间，多变量方程组解法，特征多项式及特征向量，线形变换及正交变换，度量空间。 参考书：镇系之宝，张贤科老师的高等代数学，Seymour Lipschutz 的 Theory and Problems of Linear Algebra 说明：Cracking the GRE Math Test 这本书里面的东西也差不多够了，不过鉴于 sub 越来越难，大家还是回去翻翻张老师的书吧。 初等数论 欧几里得算法，同余式的相关公式，欧拉-费马定理。 参考书：冯老师的整数与多项式 说明：以 Cracking
8、 the GRE Math Test 相关章节为主。 抽象代数 群论及环域的基本概念及运算法则。 参考书：冯老师的近世代数引论 说明：抽象代数的内容最近几年越来越多，今年考试中考到了极大理想。还好我在做 REA 的题目的时候碰到了高斯整环的题目，所以回去好好翻了翻书。大家要认真准备这一部分的内容。 离散数学 命题逻辑，图论初步（基本概念，表示法，邻接 and 关联距阵，基本运算定理如 V+F-E=2），集合论（注意了解一下偏序的概念）。 参考书：J. A. Bondy and U.S.R. Murty，Graph theory with applications 说明：逻辑的题目比较简单，也就
9、是命题逻辑的基本运算，最多再加上真值表，随便找一本离散数学的书看看基本概念就行了。集合论的题目也比较简单。不过由于系里面没有开图论的课，所以大家还是好好看书，Bondy 这本书看看第一章就行了。 数值分析 高斯迭代法，插值法等基本运算法则。 参考书：李庆扬等的数值计算原理 说明：内容很少，我考试的时候没见过。 实变函数 可数性概念，可测，可积的概念，度量空间，内积等概念。 说明：以 Cracking the GRE Math Test 相关章节为主。 拓扑学 邻域系，可数性公理，紧集的概念，基本拓扑性质。 参考书：J. R. Munkres, Topology 说明：重点，近几年的分量越来越大
10、。以 Cracking the GRE Math Test 相关章节为主，不过据说考过 foundamental group，大家还是好好看看书。 复变函数 基本概念，解析性（共厄调和的概念），柯西积分定理，Taylor多分析你做过的为数不多的 ETS 式的题.另外官方有一套模考题,这是主要的参考标准.关于这套题, 以后还会说的. ” 我很赞同。补充一句，从这次考试看 1 陈题极端重要 2 数学分析非常重要，由于是概念和基本计算 3 概率论、抽代、实分析和拓朴非常少 4 注意一些基础语汇，如 consistent 要知道意思 第二部分 背景及复习历程 事实上，我很清楚自己的数学水平。高中时 h
11、itomine 坐在我旁边，他是差一点点就进国家队的人，差距不言而喻。最要命的是经济类数学全都是浅尝即止，高等数学重计算轻概念（这个问题最为严重），线性代数甚至都不涉及线性变换这一最最核心的观念，概率论的考试难度更是更小，只和一般的书后习题匹配。所以刚开始的时候 hitomine 花了老大老大的功夫给我讲数学学科的基本架构，映射、连续这种最最核心且基本的概念；他讲的很生动，而且因为超过一般数学系硕士生（并不夸张）水平，深入浅出，既充分考虑到我的无知，又能用最前沿最核心的观念给我讲基础知识，比如拓朴与分析的对较和对应，代数系统、态射等概念的建立，讲抽代基础的时候，更是把整个代数体系融成一体，使我
12、对线性代数的本质和矩阵所表述的映射观念有了基本的感性认识。对于非数学专业的学生来说，这是自学很难达成的一件事，往往要等看过许多书之后方能有一个初步的感觉。所以我很幸运。 这个过程大概有二十天，把高等代数、抽象代数的基本概念，考试涉及的复数函数内容（最简单的部分）和拓朴的一点点皮基础简明扼要地讲给我听。之后我花了二周多装备 8T，他则北上读书去了。 后面的一个月，我把 hitomine 留给我的一堆书浏览了一遍，精读了北大 “蓝”的抽代讲义（写的真好）和香港大学的一本拓朴讲义（因为是英文写的，而且写得比较易懂），做了数十页 A4 的笔记；向 yuanyuan 和 froggy 借来数分和姚慕生的
13、高代。其间又去旁听数学系的拓朴课，老师很好，但因为我实在没时间做功课，后来渐渐跟不上，听不懂了（这个拓朴好象只考了一道罢）。 最后一个月，开始做 REA 的六套题。对这些题的批评非常多，对他们的评论我赞同。从根本上来说，这些题目与考试完全殊途，很多偏的概念根本没必要知道（比如 laplace 积分变换）。但我必须说，这六套题对我帮助很大，至少，它们让我基本恢复到了高中时的数学计算水平（这个感觉可能大学里早丢了，这才慢慢捡起来）。我花了很大的功夫，大部分题目都弄懂了，做了五六十页的 A4 笔记。当然，这个过程仍然少不了 hitomine 的帮助，在后面的附录里，你们会看到 hitomine 的回
14、答有多么认真。最后的三套题（两套真题一套 cracking 题）加上 03 回忆题至关重要，事实上今年很多很多题就是前两年的题。考前那晚我让 hitomine 做一份 0304 答案给我参考，他真的非常够兄弟。可惜因为题目表述问题，很多题没有追究下去，不然也许能考得更好。 第三部分 教材和网络资源 教材前辈们讲的很多，请参看： http:/ topological space 1.2 Examples: discrete topology; trivial topology 2. Basis for a Topology 2.1 Definition: basis for a topology
15、 2.2 Definition: the product topology; the subspace topology 2.3 Definition: equivalence of different topologies 3. Closed Sets and Limit Points 3.1 Definition: closed sets; closure; interior of a set 3.2 Proposition: Let Y be a subspace of X; let A be a subset of Y; let Ac denote the closure of A i
16、n X. Then the closure of A in Y equals AcY. 3.3 Proposition: Let A be a subset of the topological space X. (a) Then xAc if and only if every open set U containing x intersects A. (b) Supposing the topology of X is given by a basis, then xAc if and only if every basis element B containing x intersect
17、s A. 3.4 Definition: limit point (or “cluster point“, “accumulating point“, “point of accumulation“) *3.5 Proposition: Let A be a subset of the topological space X; let A be the set of all limit points of A. Then Ac=AA. 4. Continuous Functions (or Maps, Mappings) 4.1 Definition: continuous function
18、(compare, as an example, with the analytic version of continuity of f:R-R via the “- definition“) *4.2 Proposition: Let X and Y be topological spaces; let f:X-Y. Then the following are equivalent: (a) f is continuous; (b) For every subset A of X, one has f(Ac)?f(A)c; (c) For every closed subset B of
19、 Y; the set f -1(B) is closed in X; (d) For each xX and each neighbourhood V of f(x), there is a neighbourhood U of x such that f(U)?V. 4.3 Definition: homeomorphism 5. The Metric Topology 5.1 Definition: metric; metric topology; metrizable space; bounded set 5.2 Examples: the euclidean metric d on
20、Rn; the square metric and their equivalence *5.3 Proposition: Let f:X-Y; let X and Y be metrizable with metrics dX and dY, respectively. Then continuity of f is equivalent to the requirement that given xX and given 0, there exists 0 such that dX(x,y)Y. If the function f is continuous then for every
21、convergent sequence xn-x in X, the sequence f(xn) converges to f(x). The converse holds if X is metrizable. *5.6 Definition: uniformly convergent sequence of functions *5.7 Uniform limit theorem: Let fn:X-Y be a sequence of continuous functions from the topological space X to the metric space Y. If
22、fn converges uniformly to f, then f is continuous. 6. Connected Spaces 6.1 Definition: connected space *6.2 Proposition: A space X is connected if and only if the only subsets of X that are both open and closed in X are the empty set and X itself. *6.3 Proposition: Let A be a connected subspace of X
23、. If A?B?Ac, then B is also connected. *6.4 Proposition: The image of a connected space under a continuous map is connected. 6.5 Definition: path connected space *6.6 Proposition: The image of a path connected space under a continuous map is path connected. *6.7 Proposition: A connected space must b
24、e path connected, but the converse does not hold universally. 7. Compact Spaces 7.1 Definition: covering; open covering; compactness *7.2 Proposition: Let Y be a subspace of X.Then Y is compact if and only if any covering of Y by sets open in X contains a finite subcollection covering Y. *7.3 Propos
25、ition: Every closed subspace of a compact space is compact. *7.4 Proposition: Every compact subspace of a Hausdorff (we assume the term now whose definition will be required in the later part) space is closed. *7.5 Proposition: The image of a compact space under a continuous map is compact. *7.6 The
26、orem: Let f:X-Y be a bijective (injective and surjective) continuous function. If X is compact and Y is Hausdorff, then f is a homeomorphism. *7.7 Theorem: A subspace A of Rn is compact if and only if it is closed and bounded (in the euclidean metric d). *7.8 Definition: uniformly continuous functio
27、n *7.9 Uniform continuity theorem: Let f:X-Y be a continuous map of the compact metric space X to the metric space Y, then f is uniformly continuous. 8. Seqentially Compact Spaces 8.1 Definition: subsequence; sequentially compact *8.2 Proposition: Compactness implies sequentially compactness, but th
28、e converse does not hold universally. *8.3 Proposition: If X is a metrizable space. Then compactness and sequentially compactness are equivalent. *8.4 Bolzano-Weierstra theorem: Bounded sequence in Rn must contain a subsequence which converges. 9. The Countability Axioms 9.1 Definition: the C1 axiom
29、; the C2 axiom; dense 9.2 Proposition: A subspace or a countable product of a first-(second-)countable space is first-(second-)countable. 9.3 Proposition: Suppose that X has a countable basis. Then: (a) Every open covering of X contains a countable subcollection covering X; (b) There exists a counta
30、ble subset of X that is dense in X. 10 The Separation Axioms 10.1 Definition: the T1 axiom; the T2 axiom (or “Hausdorff property“); the T3 axiom; the T4 axiom (T1+T3 is sometimes called regular and normal for T1+T4, but these two terms are not formal and not united) *10.2 Proposition: X satisfies th
31、e T1 axiom if and only if every finite subset of X is closed. *10.3 Proposition: In a Hausdorff space, a sequence can never converge to more than one point. 10.4 X satisfies the T3 axiom if and only if for every point x and its open neighbourhood W, there exists another open neighbourhood of x whose
32、 closure is in W. 10.5 X satisfies the T4 axiom if and only if for every closed subset A and its open neighbourhood W, there exists another open neighbourhood of A whose closure is in W. *10.6 Proposition: All metric spaces satisfy all the Ti (i=1,2,3,4) and the C1 axiom. *10.7 Proposition: T1+T3 im
33、plies T2; T1+T4 implies T3. But the T4 (T3) axiom can not imply the T3 (T2) axiom if T1 is absent. 10.8 Lindel?f theorem: C2+T3 implies T4. (The proof is a little difficult that you could assume it.) *10.9 Examples: special topologies on R which are the resources in many cases and examples *10.10 Pr
34、oposition: Every compact Hausdorff space satisfies the T4 axiom. Remarks 1. The importance of tips is noted by asterisks. 2. All definitions and examples can be found easily in almost every basic testbook on general topology. 3. Most propositions, lemmas, and theorems are easy to prove that you can
35、take exercises on them. 4. The terminologies used in this paper are most formal ones, but in fact not very formal even non-fromal terms appearing in the test are permitted. You should know the terms mentioned here and others ignored. 附 3.hitomine 全程解答 GOGO 的傻问题 以下原封不动的贴上来，细读可以发现我的数学基础之差，很多部分根本没有入门，见
36、笑。只为了不是数学专业的朋友，作一个参考。 - 仔细做了两套（第一套重做了一遍），做第二套的时候感觉巨差，但分析的时候发现很多 elementary 的题目，应该是可以做的，还有些地方是概念忘了。总之十道以内，目标甚远。 问题 TEST 1 37. the conjugates of an element are the roots of the irreducible polynormial of which the given element is a root. The conjugates of 根号（根号 3+1） over the field of rational numbers
37、 are: 这题本身没什么好讲的，我的问题是 a.题目中的over the rational numbers是不是指四次多项式的系数是有理数，怎么能这么表达呢,为什么要强调有理数, 系数应是整理罢。 b.答案中为什么要用 Eisenstein 法多此一举验证 p(x)（原四次多项式）的不可约性（irreducibility），那四个根不是显然就是p(x)=0 的根么？ ANSWER: a. over one field 是指在某一给定域上的多项式在该域内的根，因为讲环上的多项式（注意 Z 是环！）其实是更加复杂的一件事，而对于这道题目是个特殊的情况，你讲 Z 上还是 Q 上是一样的，这是有道理
38、的，叫 Gauss 引理（Z 其实是个正规环），这个你不必知道。 b. 从逻辑严谨角度将，你找出一个多项式，适合给定的一个数，不能说明它就是极小的，极小的等价于不可约，因此数学上讲是要验证的，但因为这是选择题，所以没有关系了。 test1 中关于 game theory 的那一题就算了。 TEST 2 3.群的 index,指群中元素的最小公共阶，即满足 a 的 n 次方为单位元对所有 a 成立的最小正整数 n;子群的 index，就是陪集的个数 19. the number, up to isomorphism, of abelian groups of order 40 is (D: 7)
39、 哪儿来的 7?答案里是 40, 10*4, 8*5, 20*2, 10*2*2, 5*4*2, 5*2*2*2 什么意思？不是有限阿贝尔群的结构问题么 ANSWER: 它在瞎扯，你说的是对的。它可能是想用第一结构定理，但是那是要求直和因子都是素数幂阶的。我个人习惯用第二结构定理，告诉你的也是这个。你可以根据你的喜好，随便哪个算都是一样的。（但答案这里算法不对！） 24. In the partial fractions expansion of (s2+1)/(s2-2)*(s2+3), the numerater of the fraction with denominator s2+3
40、is a.什么叫 partial fraction expansion, numerater, denominator b.什么叫 Heaviside calculus ANSWER：就是部分分式呀，有理函数的不定积分没学过吗？必然要先把它化成部分分式再积的。那个 H 算法不用管它，一个小技巧而已。按照一般的方法就行了。一下子接触太多东西会晕的。用错不好。 28.in the integral domain D=r+s 根号 17| r,s 是整数，下列哪些是不可约的： 怎么在整环里判断元素是否 irreducible，答案里的 norm 是什么意思 ANSWER: 这个问题问的.你连在 Z
41、上判断一个数是不是质数都没有办法.没有统一的办法啦，数小的时候就凑， norm 是范数的意思，对于二次代数整数环 Zn(1/2)，n 是个无平凡因子的非 0,1 整数，它里面的元素 a+bn(1/2)都有一个共轭元：a-bn(1/2)（回忆一下，其实你接触过了，而且比这个还复杂点），norm 就是它和它的共轭元的积，必然是个整数，并且有norm=0，当且仅当原来那个数就是 0。你再复习一下可约性这一小部分，这题中的环和你以前接触的整数环有一点点不一样，可逆元不止是 1，-1 。 50. 一个等腰三角形，两个顶点(1,2)(4,6),inradius of the triangle is 3/2
42、，求面积最大值 inradius 不是指内切圆半径么，为什么等腰三角形等边上的高是 inradius 的三倍呢？这个结论会推出三条边相等 ANSWER: 对，就是内切圆半径，答案写得很清楚，其实就两种情况，分别算一下，看哪个大。 后来确认这题是答案错了。 61.求某四边形的 centroid of the region 的横坐标，给了四点坐标 答案里把四边形沿对角线分成两三角形，求两三角形的重心，再取平均 但有两条对角线，答案显然有两个。什么意思？ ANSWER: 这道题是比较阴险的，因为那个分割不是一般的分割，注意两个三角形关于公共边是轴对称的，这个条件保证了答案这么算是对的，一般情况下，不
43、能这么来。你可以取另一条对角线，但分割后的三角行不再轴对称，接下去也就不是取算术平均那么简单的。要紧的是这么一件事：对于三角形而言，它的顶点重心，边重心，面重心是重合的。但是对于一般四边形是未必的！保险其间，用微积分里万用的方法算一下。这题所说的 centroid of the region 是指区域也就是面重心，按均匀面密度算。 64.在拓朴里，cluster points of set E 定义为何，中文是什么呢？mathworld 里查不到 ANSWER: cluster point 一个不太用的术语，到底指什么也不统一。一种是指接触点，但这个概念只可能是相对的，这里不可能。于是这题目中
44、的 cluster point 只可能指另一个概念：聚点(标准的说法应该是 accumulating point)。空间 X 的子空间 A 的聚点是这样的点 p， p 属于集合 Ap的闭包里。而一个点称为 cluster point 是指它是整个集合 X 的聚点，这等价于p不是开集。- 这次问题严重了，一堆不知道要不要的概念，你还是帮忙看一下 TEST 3 这几题有问题。 51.题目本身没问题，但题干里 subspace generated by .是什么意思，谁的 subspace,怎么生成的? 另外，除了群有生成元外，环什么的有没有生成元（我想没有罢），有点土的问题，帮我搞搞概念。 ANS
45、WER: 所谓“生成”是一种逻辑语言，最一般的说法是：由代数结构的一个子集 S 生成的子代数结构是指包含 S 的最小子结构。这道题就是说包含.的最小线性子空间，也就是以.为一组基（它们线性无关）的线性子空间，是三维的，而原来那个所有函数 f:R-R 组成的线性空间是无穷维的。 60.这是什么题目，是不是隐含了 s 在 t 前面这个前提？ ANSWER: 它叙述不完整，按答案看，s1, 1-4.而是指 1-2,2-1 我看也没看就做了,结果一个选不出. 我的问题是,一般来说(题干说明的除外),有没有他这种表示方法?这种非常见的表示法 ,怎么能认为他们的乘法就是已定义的呢? ANSWER: 这种表
46、示有啊，我有时也用（在不涉及过多的群元素运算前提下），但是显得比较冗长，必须写满 n 个（如果是 n个元置换的话）。一个置换不管怎么写总是一个映射，映射之间的乘法就是复合，天生有定义的。 24.选项 C 是中 uniformly converges to f 是什么意思,我觉得任意 x,fn 都收敛于 f,所以 C 没什么错. 应该怎么理解? ANSWER: 一致收敛，你们没学过吗？不会吧，看看稍微高级点的高数书，答案是用了一条命题：如果连续函数列若一致收敛于一函数，则该函数也是连续的。 28.这题我完全不能理解答案.其中(i) (132) order=3 偶 (ii) (13) order=
47、2 奇 (iii) (14)(23) order=2，2 偶 上面这些有错么? ANSWER: 它扯得过分了！根本不是这么算的，你把置换典范地写成不相交轮换的乘积，一个轮换涉及的字符若是偶（比如对换）/奇数个，则它是奇/偶的。偶偶得偶之类的还是对的。应该是(i)偶(ii)奇(iii)偶。 30.题目中的 moment 指什么,为什么这个体积里积分的内容是 x? ANSWER: 这不怪你，这是物理的东西。moment 是惯量，（定轴）转动惯量知道伐？体积元和到轴距离平方的乘积的积分，而这里是相对平面 P 的惯量，是对如下的积分：dist(dV,P)*dV。dist 是相对距离（可以是负的）。 3
48、4.我根据(My-Nx)/N=-3/x 积出来的积分因子是 x-3, 答案是 x-2.为什么会有不同? ANSWER: 你的算法是什么意思？3 怎么出来的？这类方程的积分因子算法是最简单的。y-P(x)y=Q(x) 形式。 44.这道不知道他在讲什么,哪些来的曲线系 ,不是只有 x=y2 么? 什么意思,要求什么? ANSWER: 上当了吧，那个等式只是说：x=y2 ，y 是正是负不知道，一定要记住：函数只是个集合间映射！不要想当然的认为函数都是连续的东西！这里 y=+/-root(x)，每个 x 处的正负都可以随便来！因此基本上都可以不连续的，但注意在 0 这点，它周围无论怎么取正负都是在
49、0 附近，直观地说在 0 这点应该是连续的，严谨的讨论用极限语言就行了，选择题无所谓。 45.这题你不用看题目了,我有一个相关的问题 :对于有界收敛的无穷级数,其包含无数多个收敛于同一值的的级数 .这个结论怎么理解?比如级数 sigema(1/4)n 包含于级数 sigema(1/2)n,但它们的值明显不同. ANSWER: 现在说的序列，不是级数，当然如果你记 Sn=sigma(k=1-n)(1/4)k，则Sn(n=1-+infinity) 是一个（无穷）序列，但是，这样的话Tn=sigma(k=1-n)(1/2)k并不是Sn的子序列！Sn的子序列是这样的序列Tk=Snk其中 0和(交) V(并)!(否) 之前有什么关系，怎么理解 比如这
