1、1初等数论习题集第 1 章第 1 节1. 证明定理 1。2. 证明：若 m pmn pq，则 m pmq np。3. 证明：任意给定的连续 39 个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被 11 整除。4. 设 p 是 n 的最小素约数， n = pn1，n 1 1，证明：若 p ，则3nn1 是素数。5. 证明：存在无穷多个自然数 n，使得 n 不能表示为a2 p（a 0 是整数，p 为素数）的形式。第 2 节1. 证明：12n 4 2n3 11n2 10n，nZ 。2. 设 3a2 b2，证明：3a 且 3b。3. 设 n，k 是正整数，证明：n k 与 nk + 4 的
2、个位数字相同。4. 证明：对于任何整数 n， m，等式 n2 (n 1)2 = m2 2 不可能成立。5. 设 a 是自然数，问 a4 3a2 9 是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的 n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被 n 整除。第 3 节1. 证明定理 1 中的结论()() 。2. 证明定理 2 的推论 1, 推论 2 和推论 3。3. 证明定理 4 的推论 1 和推论 3。4. 设 x，yZ，172x 3y ，证明： 179x 5y。5. 设 a，b，c N，c 无平方因子，a 2b2c，证明：ab。6. 设 n 是正整数，求 的最大公约数。121C,nn第 4
3、节1. 证明定理 1。2. 证明定理 3 的推论。3. 设 a，b 是正整数，证明：(a b) a, b = ab, a b。24. 求正整数 a，b，使得 a b = 120，( a, b) = 24， a, b = 144。5. 设 a，b，c 是正整数，证明：。),(),(,22cc6. 设 k 是正奇数，证明：1 2 91 k 2k 9 k。第 5 节1. 说明例 1 证明中所用到的四个事实的依据。2. 用辗转相除法求整数 x，y，使得 1387x 162y = (1387, 162)。3. 计算：(27090, 21672, 11352)。4. 使用引理 1 中的记号，证明：(F n
4、 + 1, Fn) = 1。5. 若四个整数 2836，4582，5164，6522 被同一个大于 1 的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？6. 记 Mn = 2n 1，证明：对于正整数 a，b，有(M a, Mb) = M(a, b)。第 6 节1. 证明定理 1 的推论 1。2. 证明定理 1 的推论 2。3. 写出 22345680 的标准分解式。4. 证明：在 1, 2, , 2n 中任取 n 1 数，其中至少有一个能被另一个整除。5. 证明： （n 2）不是整数。16. 设 a，b 是正整数，证明：存在 a1，a 2，b 1，b 2，使得a = a1a2，b =
5、 b 1b2，(a 2, b2) = 1，并且a, b = a2b2。第 7 节1. 证明定理 1。2. 求使 12347!被 35k 整除的最大的 k 值。3. 设 n 是正整数，x 是实数，证明： = n。12rr4. 设 n 是正整数，求方程x2 x2 = (x x)2在1, n中的解的个数。5. 证明：方程3f(x) = x 2x 22x 23x 24x 25x = 12345没有实数解。6. 证明：在 n!的标准分解式中， 2 的指数 h = n k，其中 k 是 n 的二进制表示的位数码之和。第 8 节1. 证明：若 2n 1 是素数，则 n 是 2 的乘幂。2. 证明：若 2n
6、1 是素数，则 n 是素数。3. 证明：形如 6n 5 的素数有无限多个。4. 设 d 是正整数，6 d，证明：在以 d 为公差的等差数列中，连续|三项都是素数的情况最多发生一次。5. 证明：对于任意给定的正整数 n，必存在连续的 n 个自然数，使得它们都是合数。6. 证明：级数 发散，此处使用了定理 1 注 2 中的记号。1np第 2 章第 1 节1. 证明定理 1 和定理 2。2. 证明定理 4。3. 证明定理 5 中的结论()() 。4. 求 81234 被 13 除的余数。5. 设 f(x)是整系数多项式，并且 f(1), f(2), , f(m)都不能被 m 整除，则 f(x) =
7、0 没有整数解。6. 已知 99 ，求 与 。4276第 2 节1. 证明定理 1。2. 证明：若 2p 1 是奇素数，则(p!)2 (1)p 0 (mod 2p 1)。3. 证明：若 p 是奇素数，N = 1 2 ( p 1)，则(p 1)! p 1 (mod N)。4. 证明 Wilson 定理的逆定理：若 n 1，并且(n 1)! 1 (mod n)，则 n 是素数。45. 设 m 是整数， 4m，a 1, a2, , am与 b1, b2, , bm是模 m 的两个完全剩余系，证明：a 1b1, a2b2, , a mbm不是模 m 的完全剩余系。6. 设 m1, m2, ,m n 是
8、两两互素的正整数， i（1 i n）是整数，并且i 1 (mod mi)， 1 i n，i 0 (mod mj)，i j ，1 i, j n。证明：当 bi 通过模 mi（1 i n）的完全剩余系时，b11 b22 b nn通过模 m = m1m2m n 的完全剩余系。第 3 节1. 证明定理 1。2. 设 m1, m2, , mn 是两两互素的正整数，x i 分别通过模 mi 的简化剩余系（1 i n） ，m = m 1m2m n，M i = ，则M1x1 M2x2 M nxn通过模 m 的简化剩余系。3. 设 m 1， (a, m) = 1，x 1, x2, , x (m)是模 m 的简化
9、剩余系，证明：。)(1)(ii其中x表示 x 的小数部分。4. 设 m 与 n 是正整数，证明：(mn)(m, n) = (m, n)(m)(n)。5. 设 a，b 是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数 m 与n，使得a(m) = b(n)。6. 设 n 是正整数，证明：() (n) ；21() 若 n 是合数，则 (n) n 。第 4 节1. 证明：1978 103 19783 能被 103 整除。2. 求 313159 被 7 除的余数。53. 证明：对于任意的整数 a，( a, 561) = 1，都有 a560 1 (mod 561)，但 561 是合数。4. 设 p，q 是两个
10、不同的素数，证明：pq 1 qp 1 1 (mod pq)。5. 将 612 1 分解成素因数之积。6. 设 nN，bN，对于 bn 1 的素因数，你有甚麽与例 6 相似的结论？第 5 节1. 证明例 2 中的结论。2. 证明定理 2。3. 求 。nd|14. 设 f(n)是积性函数，证明：() npdff| )(1() 。nff|2)(5. 求 (n)的 Mobius 变换。第 3 章第 1 节1. 证明定理 3。2. 写出 789 的二进制表示和五进制表示。3. 求 的小数的循环节。2184. 证明：七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。5. 证明：既约正分数 的 b
11、进制小数(0 a1a2a3) b 为有限小数的nm充要条件是 n 的每个素因数都是 b 的素因数。第 2 节1. 设连分数 1, 2, , n, 的第 k 个渐近分数为 ，证明：kqp6，kk aaaak qp 100010021100010021 33 ，2. 设连分数 1, 2, , n, 的第 k 个渐近分数为 ，证明：kqp，k 2。1010kkqpaa3. 求连分数 1, 2, 3, 4, 5, 的前三个渐近分数。4. 求连分数 2, 3, 2, 3, 的值。5. 解不定方程：7x 9y = 4。第 3 节1. 证明定理 4。2. 求 的连分数。13. 求 的误差 10 5 的有理逼
12、近。324. 求 sin18的误差 10 5 的有理逼近。5. 已知圆周率 = 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, ，求 的误差 10 6 的有理逼近。6. 证明： 连分数展开的第 k 个渐近分数为 。此处 Fn251k1是 Fibonacci 数列。第 4 节1. 将方程 3x2 2x 2 = 0 的正根写成连分数。2. 求 = 之值。,13. 设 a 是正整数，求 的连分数。12a4. 设无理数 = a1, a2, , an, 的第 k 个渐近分数为 ，证明：d kqp7的充要条件是121,aadnpn = a1qn qn 1，dq n = a1pn pn 1。5
13、. 设无理数 = a1, a2, , an, 的第 k 个渐近分数为 ，且正d kqp整数 n 使得pn = a1qn qn 1，dq n = a1pn pn 1，证明：() 当 n 为偶数时，p n，q n 是不定方程 x2 dy2 = 1 的解；() 当 n 为奇数时，p 2n，q 2n 是不定方程 x2 dy2 = 1 的解。第 4 章第 1 节1. 将 写成三个既约分数之和，它们的分母分别是 3，5 和 7。0572. 求方程 x1 2x2 3x3 = 41 的所有正整数解。3. 求解不定方程组：。1205731xx4. 甲班有学生 7 人，乙班有学生 11 人，现有 100 支铅笔分
14、给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？5. 证明：二元一次不定方程 ax by = n，a 0，b 0，(a, b) = 1 的非负整数解的个数为 1。abn或6. 设 a 与 b 是正整数，(a, b) = 1，证明：1, 2, , ab a b 中恰有个整数可以表示成 ax by（x 0，y 0）的形式。2)1(第 2 节1. 证明定理 2 推论。2. 设 x，y，z 是勾股数，x 是素数，证明：2z 1，2(x y 1)都是平方数。3. 求整数 x，y ，z，x y z，使 x y，x z，y z 都是平方数。84. 解不定方程：x 2
15、 3y2 = z2，x 0，y 0，z 0，(x, y ) = 1。5. 证明下面的不定方程没有满足 xyz 0 的整数解。() x2 y2 z2 = x2y2；() x2 y2 z2 = 2xyz。6. 求方程 x2 y2 = z4 的满足(x, y ) = 1，2x 的正整数解。第 3 节1. 求方程 x2 xy 6 = 0 的整数解。2. 求方程组 的整数解。1833zy3. 求方程 2x 3y = 1 的正整数解。4. 求方程 的正整数解。z5. 设 p 是素数，求方程 的整数解。yxp126. 设 2n 1 个有理数 a1, a2, , a2n 1 满足条件 P：其中任意 2n 个数
16、可以分成两组，每组 n 个数，两组数的和相等，证明：a1 = a1 = = a2n 1。第 5 章第 1 节1. 证明定理 1。2. 解同余方程：() 31x 5 (mod 17)；() 3215x 160 (mod 235)。3. 解同余方程组：。)47(mod10385yx4. 设 p 是素数，0 n。第 4 节1. 解同余方程：() 3x11 2x8 5x4 1 0 (mod 7)；() 4x20 3x12 2x7 3x 2 0 (mod 5)。2. 判定10() 2x3 x2 3x 1 0 (mod 5)是否有三个解；() x6 2x5 4x2 3 0 (mod 5)是否有六个解？3.
17、 设(a, m) = 1，k 与 m 是正整数，又设 x0k a (mod m)，证明同余方程xk a(mod m)的一切解 x 都可以表示成 x yx0 (mod m)，其中 y 满足同余方程 yk 1 (mod m)。4. 设 n 是正整数，p 是素数，(n, p 1) = k，证明同余方程 xn 1 (mod p)有 k 个解。5. 设 p 是素数，证明：() 对于一切整数 x，x p 1 1 (x 1) (x 2)(x p 1) (mod p)；() (p 1)! 1 (mod p)。6. 设 p 3 是素数，证明：( x 1)(x 2)(x p 1)的展开式中除首项及常数项外，所有的
18、系数都是 p 的倍数。第 5 节1. 同余方程 x2 3 (mod 13)有多少个解？2. 求出模 23 的所有的二次剩余和二次非剩余。3. 设 p 是奇素数，证明：模 p 的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。4. 设素数 p 3 (mod 4)， = 1，证明 x (mod p)是同余方)(pn41pn程x2 n (mod p)的解。5. 设 p 是奇素数，(n, p) = 1， 是正整数，证明同余方程x2 n (mod p)有解的充要条件是 = 1。6. 设 p 是奇素数，证明：模 p 的所有二次剩余的乘积与 对2
19、1)(p模 p 同余。第 6 节1. 已知 769 与 1013 是素数，判定方程11() x2 1742 (mod 769)；() x2 1503 (mod 1013)。是否有解。2. 求所有的素数 p，使得下面的方程有解：x2 11 (mod p)。3. 求所有的素数 p，使得 2QR(p)，3QR( p)。4. 设(x, y) = 1，试求 x2 3y2 的奇素数因数的一般形式。5. 证明：形如 8k 5（k Z）的素数无穷多个。6. 证明：对于任意的奇素数 p，总存在整数 n，使得p(n2 1)(n2 2)(n2 2)。第 7 节1. 证明定理的结论()，( ) ，()。2. 已知 3
20、019 是素数，判定方程 x2 374 (mod 3019)是否有解。3. 设奇素数为 p = 4n 1 型，且 dn，证明： = 1。)(pd4. 设 p， q 是两个不同的奇素数，且 p = q 4a，证明：。)(ap5. 设 a 0，b 0，b 为奇数，证明：。，当 ，当 )4(mod32102)(ab6. 设 a，b，c 是正整数，( a, b) = 1，2 b，b 1，模 m 有原根，d 是 (m)的任一个正因数，证明：在模m 的简化剩余系中，恰有 (d)个指数为 d 的整数，并由此推出模 m 的简化剩余系中恰有 (m)个原根。4. 设 m 3，g 是模 m 的原根，x 1, x2,
21、 , x (m)是模 m 的简化剩余系，证明：() 1 (mod m)；2)() x1x2x (m) 1 (mod m)。5. 设 p = 2n 1 是一个奇素数，证明：模 p 的全部二次非剩余就是模 p 的全部原根。6. 证明：() 设 p 奇素数，则 Mp = 2p 1 的素因数必为 2pk 1 型；() 设 n 0，则 Fn = 1 的素因数必为 2n + 1k 1 型。第 2 节1. 求模 29 的最小正原根。2. 分别求模 293 和模 2293 的原根。3. 解同余方程：x 12 16 (mod 17)。4. 设 p 和 q = 4p 1 都是素数，证明：2 是模 q 的一个原根。
22、5. 设 m 3，g 1 和 g2 都是模 m 的原根，则 g = g1g2 不是模 m 的原根。6. 设 p 是奇素数，证明：当且仅当 p 1 n 时，有|1n 2n (p 1) n 0 (mod p)。第 8 章第 1 节1. 补足定理 1 的证明。2. 证明定理 2。3. 证明：有理数为代数整数的充要条件是这个有理数为整数。第 2 节1. 证明例中的结论。142. 证明连分数 !3!21010n是超越数。3. 设 是一个超越数， 是一个非零的代数数，证明： ， ， 都是超越数。第 3 节1. 证明引理 1。2. 证明定理 3 中的 F F(0)是整数。)(ba第 9 章第 1 节1. 问
23、：1948 年 2 月 14 日是星期几？2. 问：1999 年 10 月 1 日是星期几？第 2 节1. 编一个有十个球队进行循环赛的程序表。2. 编一个有九个球队进行循环赛的程序表。第 3 节1. 利用例 1 中的加密方法，将“ICOMETODAY”加密。2. 已知字母 a， b，y，z，它们分别与整数 00，01，24，25 对应，又已知明文 h 与 p 分别与密文 e 与 g 对应，试求出密解公式：P a E b (mod 26)，并破译下面的密文：“IRQXREFRXLGXEPQVEP” 。第 4 节1. 设一 RSA 的公开加密钥为 n = 943，e = 9，试将明文 P = 1
24、00 加密成密文 E。2. 设 RSA(nA, eA) = RSA(33, 3)，RSA( nB, eB) = RSA(35, 5)，A 的签证信息为 M = 3，试说明 A 向 B 发送签证 M 的传送和认证过程。第 5 节1. 设某数据库由四个文件组成：F 1 = 4，F 2 = 6，F 3 = 10，F 4 = 13。试设计一个15对该数据库加密的方法，但要能取出个别的 Fi（1 i 4） ，同时不影响其他文件的保密。2. 利用本节中的秘密共享方案，设计一个由三方共管文件 M = 3 的方法，要求：只要有两方提供他们所掌握的数据，就可以求出文件 M，但是，仅由任何一方的数据，不能求出文件
25、 M。 （提示：取 p = 5，m 1 = 8，m 2 = 9，m 3 = 11）第 6 节1. 设明文 P 的二进制表示是 P = (p1p2p3p4p5p6p7p8)2，与 P 对应的密文是 E 是 E = a1p1 a2p2 a8p8，如果这里的超增背包向量(a 1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) = (5, 17, 43, 71, 144, 293, 626, 1280)，并且已知密文 E = 1999，求明文 P。2. 给定超增背包向量(2, 3, 7, 13, 29, 59)，试设计一个背包型加密方法，将明文P = 51 加密。 （提示：取 M = 118，k = 77） 。
