梁保松《线性代数》习题二解答(本人亲自求解).pdf

1、第二章 矩阵26习题二5.求与下列矩阵可交换的矩阵 ：（ 1）010001100；解 设与之可交换的矩阵为11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a ， 即11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 330 0 1 0 0 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0a a a a a aa a a a a aa a a a a a ，12 13 11 31 32 3322 23 21 11 12 1332 33 31 21 22 23a a a a a aa a a a a aa a a a a a

2、，12 31 13 32 11 3322 11 23 12 21 1332 21 33 22 31 23, , , ,a a a a a aa a a a a aa a a a a a 12 31 23 13 32 21 33 11 22, ,a a a a a a a a a 令 33 11 22 12 31 23 13 32 21, , ,a a a a a a a b a a a c ， 则11 12 1321 22 2331 32 33a a a a b ca a a c a ba a a b c a ， , ,a b c为任意实数 ；6.计算 ：（ 1）k cossinsincos

3、， k是正整数 ；解 1k 时 ，1cos sin cos sin,sin cos sin cos 第二章 矩阵272k 时 ，2cos sin cos sin cos sin cos 2 sin 2sin cos sin cos sin cos sin 2 cos 2 ，设 1 k n 时 ， 1 cos 1 sin 1cos sinsin 1 cos 1sin cos n n nn n ，则 k n时 ， 1cos sin cos sin cos sinsin cos sin cos sin coscos 1 sin 1 cos sinsin 1 cos 1 sin coscos sins

4、in cos n nn nn nn nn n 故 cos sinsin cos k kkkkcossinsincos.（ 2） 2,000100010nn.解 2n 时 ， 原矩阵000000100； 当 3n 时 , 原矩阵 =O .7.判断下列命题是否正确并说明理由 .（ 1） 22)( BABABA ；不正确 ， 因 2 2( )( ) AB BA A B A B A B ,一般地 ， 因 AB BA ,则 2 2( )( ) A B A B A B .（ 2） AB = O， 则 A = O 或 B = O ；第二章 矩阵28不正确 ， 例如 ， OAB 000000101000 ,

5、但OA 1000 ， OB 0010 .（ 3） AB = E ， 则 A = B = E ；不正确 ， 例如 ，421412311A ，113214124B . 满足EBAAB （ 4） 2 ,A E 则 A E ；不正确 ， 例如 ， 1 0 1 0,0 1 0 1 A 或 ， 满足 2 ,A E（ 5） 设 A， E 为 n阶方阵 ， 则 )()( EAEAEAEA ；正确 ,22( )( ) ( ) ( ) ;( )( ) ( ) ( ) . A E A E A E A A E E A EA E A E A E A A E E A E（ 6） 若矩阵 A有一行为零 ， 则乘积矩阵 AB

6、也有一行为零 ；正确 , 11 2 11= ,m n i n p p pm m AA O B B B BA， 则 1 1 1 2 111 21 20 0 0=pm n n p i pm m m pm m p A B A B A BAA B O B B BA B A B A BA （ 7） 若矩阵 A有一列为零 ， 则乘积矩阵 AB也有一列为零 .第二章 矩阵29不 正确 , 11 12 121 22 21 11 2=ppm n j n n pnn n np n pb b bb b bA A O A Bb b b ， 则 11 12 121 22 211 21 11 1 1 1 1 1ppm n

7、 n p j nn n npj j n n p j jp n np pb b bb b bA B A O Ab b bAb O b A b Ab O b A b 8.如果 1 ( )2A B + E ， 证明 2 A A的充分必要条件是 2 B E . 222 2 22221 1( ) ( )2 21 1 12 ( )4 4 21 1 1 1 ( )4 2 4 21 14 4 A A B + E B + EB BE + EB + E B B + E B + EB B + E B + EB EB E证10.对于任意方阵 A， 证明 ：（ 1） TA+ A 是对称矩阵 ， TA A 是反对称矩阵

8、；（ 2） A可以表示为对称矩阵和反对称矩阵的和 .证 （ 1） T TT T T T T A+ A A + A A A A+ A ， T TT T T T T A A A A A A A A .（ 2）T T+2 2 A A A AA11.判断下列命题是否正确并说明理由 .（ 1） 设 A ， B ， E 为 n 阶方阵 ， 则行列式 0 BAA 的充要条件是 0A 或第二章 矩阵300 EB ；正确 ， 0 0 0 0 0 A BA A E B A E B A E B或（ 2） 设 A为 1n 矩阵 ， B 为 n1 矩阵 ， 则 BAAB ；不正确 ， A B， 都 不 存 在 。（ 3

9、） 设 P 为可逆矩阵 ， 若 APPB 1 ， 则 AB ；正确 ， 1 1 1 B P AP B P AP B P P A A A B（ 4） 若 A为 n阶方阵且 1 T A A ， 则 1A .正确 ， 1 21 T 1 T 1 1 A A A A A A A A12.设 A为 n阶反对称矩阵 ， 证明 22 ( 1)n A E A+ E .证 因 A为 n阶反对称矩阵 ， 即 T A A， 2TTT2( 1)n A E A E A E A E A EA E A EA E A EA E A EA E A EA E A EA+ E13.设 A， B 为 n阶 可逆矩阵 ， 0k ， 证明

10、 ：（ 4） *11* )()( AA ；证 * T 1 T T 1 T T 1 T *( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A A A A A A .第二章 矩阵3114. A为 n阶可逆矩阵 ， 2A ， 计算1*1 32 A A .解 1* 1 1 1 1 1111 3 2 3 2 6 4244 42nn n A A A A A A A AA A16.（ 1） 若 OEAAA 23 2 ， 证明 A可逆 ， 并求 1A ；解 3 2 3 2 22 2 2 A A A E O A A A E A A A E E ， 2 22 2 1 A A A E A A A E ， A可逆 ，

11、且1 2 2 A A A E .（ 2） 若 OEAA 42 ， 证明 A E 可逆 ， 并求 1)( EA .解 2 4 2 2 2 2O A A E O A E A E E A E A E E 22,2 A EA E EAA E E E 12 2 A AA E E A E E ， A E 可逆 ， 且 1 2 AA E E .19.设矩阵 A， B 满足关系式 ABAB 2 ， 且410011103A ， 求矩阵 B .解 2 2 2E AB B A AB B A A B A 12 2E E A B A B A A.第二章 矩阵3220.用分块法求 AB.（ 1）0011140110212

12、301,1011012100100001BA ；解1 0 0 0 1 0 3 20 1 0 0 1 2 0 11 2 1 0 1 0 4 11 1 0 1 1 1 0 0 AB 11 2E O BA E B 11 1 2BA B B （ 2） .03002011150100200032,00020000412231012101 BA解2 3 0 01 0 1 2 10 2 0 00 1 3 2 21 0 5 11 4 0 0 01 1 0 20 2 0 0 00 0 3 0B A 112 32B OE AB BA O 1 1 2 1 32 1B A B A BA B O 21.设 ,20004

13、20000340043A k 为正整数 ， 求 2 2,k kA A .解 123 4 0 04 3 0 00 0 2 40 0 0 2AA A , 2212 12 22 2kkkk kAAA A A ，第二章 矩阵332 22 221 121 2 1 2222 2k kk kkkkkA AA A A AA A A 。22.用分块法求下列矩阵的逆矩阵 ：（ 1）1400520000120013；解 A 1400520000120013= 12AA ,11 112AAA .23.判断下列命题是否正确并说明理由 .（ 1） 设 n阶方阵 A， B 满足 0)(,0)( BA rr ， 则 0)(

14、BAr ；错误 ， 非零的互为负矩阵 ；（ 2） 若矩阵 A有一个非零的 r 阶子式 ， 则 rr )(A ；正确 ， 若矩阵 A有一个非零的 r 阶子式 ， 则矩阵秩至少为 r .（ 3） 若矩阵 A有一个为零的 1r 阶子式 ， 则 1)( rr A ；错误 ， 矩阵 A有一个为零的 1r 阶子式 ， 其余的 1r 阶子式 是否为零 ？（ 4） 初等矩阵经过一次初等变换得到的矩阵仍是初等矩阵 ；错误 ， 初等矩阵 是单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵 .（ 5） 两个初等矩阵的乘积仍是初等矩阵 ；错误 ， 初等矩阵 是单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵 .（ 6） 初等矩阵的转置仍是初

15、等矩阵 ；正确 ， 3种 初等矩阵 的转置 仍是初等矩阵 .（ 7） 设矩阵 A， B 同型等秩 ， 则矩阵 A经过一系列初等变换可化为矩阵 B .正确 ， 矩阵 A， B 同型等秩 ， 都可以化为同一个标准型 。25.设矩阵第二章 矩阵34k24293633121A ，问 k 取什么值时可使 （ 1） 1)( Ar ；（ 2） 2)( Ar ；（ 3） 3)( Ar .解1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 33 6 3 9 0 0 0 0 0 0 0 62 4 2 0 0 0 6 0 0 0 0kk k A（ 1） 6k ； （ 2） 6k ； （ 3） 无论 k 取什么值 ， 矩阵

16、的秩都不会等于 3.27.设 A为 n阶方阵 ， E 为 n阶单位矩阵 ， 且 2 2 ,A A = E 则(2 ) ( )r r n E A E + A .解 由 2 2 ,A A = E 有 ( )( 2 ) , A E A E O 故 ( ) ( 2 )r r n A E A E ， 即( ) (2 )r r n A E E A ；由 ( ) (2 ) 3 , A E E A E 有 ( ) ( )r r n A E 2E A ；因此(2 ) ( )r r n E A E + A .推论 设 A ， B 分别为 m n 和 n p 矩阵 ， AB = O ， 则( ) ( )r r n

17、A B .定理 6 设 A ， B 均为 m n 矩阵 ， 则 ( ) ( ) ( )r r r A+ B A B28.设 A为 n阶方阵 ， *A 为 A的伴随矩阵 ， 证明.1)(,0,1)(,1,)(,)( *nrnrnrnrAAAA第二章 矩阵35证 (1)当秩 ( )A n 时 ， 0A ， 由 ,AA A E 得秩 ( )A 秩 ( )AA 秩 ( ) .A E n(2)当秩 ( ) 1A n 时 ， 由矩阵秩的定义 ， A中所有 1n 阶子式全为零 ， 即 A中所有元素为零 ， 亦即 A O ， 故秩 ( ) 0.A (3)当秩 ( ) 1A n 时 ,由定义知 A中至少有一个

18、1n 阶子式不等于零 ,故 ,A O 从而秩 ( ) 1A ;另一方面 ,因秩 ( ) 1A n ,故 A中所有 n阶子式 (只有一个即 A )都等于零 ,从而 0A ,所以 AA A E O ,于是秩 ( )A 秩 ( )A n ,而秩 ( ) 1A n ,故 ( ) 1A ,所以秩 ( ) 1.A 综合练习题二1.填空题（ 3） A 为 33 矩阵 ， ,2A 将 A 按列分块为 ),( 321 AAAA ， 其中)3,2,1( jjA 是 A的第 j 列 ， 则 1213 ,3,2 AAAA .解 13 31 33 1 2 1 3 1 2 1 1 2 3 1( )2 , 3 , 3 2

19、, , 3 , , 2c c c A A A A A A A A A A A A 13 2 1 2 33 , , 3 2 6.c c A A A（ 9） 设 1, 2, 3 , 1,1,1A B ， 则 100T )( BA .解 T 21 1( ) 2 1,1,111,1,1 2 1,1,13 32 63 A B ， 99999T 100 91 1 1 1 1( ) 2 1,1,1 2 1,1,1 6 2 2 23 311,1,1 2 63 3 3 3 A B第二章 矩阵36（ 10） 设kkkk111111111111A 且 3)( Ar ， 则 k .解 由于1 1 1 3 3 3 3

20、1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1( 3)1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1k k k k kk k kkk k kk k k A31 1 1 10 1 0 0( 3) ( 3)( 1) ,0 0 1 00 0 0 1kk k kkk 则 ( ) 3 0r A A ， 而 1k 时 ， ( ) 1.r A 故必有 3.k 2.选择题（ 1） 设 4 阶矩阵 , 432432 BA 其中 432 , 均为 4行 1列分块矩阵 ， 已知 ,1,4 BA 则 BA .)(a 5； )b（ 4； )(c 50； )(d 40解 2 3 4 2 3 4 2

21、 3 4, , , , , , , 2 , 2 , 2B A 32 3 4 2 3 432 3 4 2 3 4, 2 , 2 , 2 2 , , ,2 , , , , , , 8 40BA B A （ 2） 设 BA, 为 )2( nn 阶方阵 ， 则必有 .)(a BABA ； )b（ BAAB )(c ABBA ； )(d ABBA 解 由矩阵行列式的性质 ， AB A B B A BA ， 故 ( )D 是正确的 .第二章 矩阵37对于 ( )A ， 例如 1 2 2 33 4 4 5A , B ， 8,A B 而 4A B ；对于 （ ）B ， 1A B B A B A n ；至于 (

22、 )C ， A B A B n ,而 B A B A n .因此 ， ( )A 、 （ ）B 、 ( )C 都是错误的 .（ 3） 设 BA, 为 n阶方阵 ， OA 且 OAB ， 则 .)(a OB ； )b（ 0B 或 0A ；)(c OBA ； )(d 222)( BABA .解 矩阵的乘法运算 一般不满足 :（ 1） AB BA ；（ 2） AB O A O B O 或 ；（ 3） A O 且 AB AC ， 则 B C .因此 ( )A 、 ( )C 、 ( )D 都是错误的 .因 AB O ， 两端取行列式有 0AB A B ， 即 0 0A B 或 ， 故 ( )B 正确 .（

23、 4 ） 设 CBA , 都 是 n 阶 方 阵 ， 且 ECABCAB ， 那 么 222 CBA .)(a E3 ； )b（ E2 ； )(c E ； )(d O .解 因 ECABCAB ， 则 A AE A BC AB C EC C , C CE C AB CA B EB B，即 A B C ， 因此 222 CBA 3 AB BC CA E .第二章 矩阵38（ 5） 设 CBA , 都是 n阶方阵 ， 且 EABC ， 那么 .)(a EACB ； )b（ EACA ； )(c EBAC ； )(d ECAB .解 因 1 1ABC E A BC C AB 或 ， 而对于 ( )D

24、 ， 1CAB CC E ， 故 ( )D正确 .（ 6） 设 BA, 为 n阶方阵 ， 则 .)(a 若 BA, 可逆 ， 则 BA 可逆 ； )b（ 若 BA, 可逆 ， 则 AB可逆 ；)(c 若 BA 可逆 ， 则 BA 可逆 ； )(d 若 BA 可逆 ， 则 BA, 可逆 .解 由 AB A B ， 若 BA, 可逆 ， 则 0, 0A B ， 故 0AB .因此 ， 若 BA,可逆 ， 则 AB一定 可逆 . （ ）B 正确 ；对于 ( )A ， 例如 1 2 2 33 4 4 5A , B ， 2 0, 2 0A B ， 即 BA, 可逆 ， 但 0,A B BA 不 可逆 ；

25、对于 ( )C ， 例如 1 2 2 33 4 4 5A , B ， 8,A B 而 0A B ， 即 BA 可逆 ， BA 不 可逆 ；至于 ( )D ， 例如 1 2 1 13 4 1 1A , B ， 2,A B 即 BA 可逆 ， 但 0B ， B不 可逆 .因此 ， ( )A 、 ( )C 、 ( )D 都是错误的 .第二章 矩阵39（ 7） 设333231232221131211aaaaaaaaaA ，331332123111131211232221aaaaaaaaaaaaB ，1000010101P ，1010100012P ， 则 成立 .)(a BPAP 21 ； )b（ B

26、APP 21 ； )(c BAPP 12 ； )(d BPAP 12 .解 因 3 1 2 1,A B r r r r ， 由初等变换与初等矩阵的关系 ， 上述变换等价于 1 2P P A B ， 即 1 2P P A B ， 故选择 ( )B .（ 8） 设44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA ，41424344313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaaaaaB ，00010100001010001P ，10000010010000012P ， 其中 A可逆 ， 则-1B .)(a 211 PPA

27、； )b（ 211 PAP ； )(c 121 APP ； )(d 112 PAP .解 把矩阵 A的 1、 4 两列对换 , 2、 3 两列对换即得到矩阵 .B 根据初等矩阵的性质 ,有1 2B APP 或 2 1.B AP P 故1 1 1 1 1 12 1 1 2 1 2( ) .B AP P P P A PP A 所以应选 ( )C .（ 9） 设 BA, 为 n阶方阵 ， 且 OAB ， 则错误的结论是 .)(a ii BOAB , 是 B 的第 i列 ； )b（ ii AOBA , 是 A 的第 i行 ；)(c 对于 n阶方阵 X ， OAXB ； )(d 对于 n阶方阵 X ，

28、OXAB .第二章 矩阵40（ 10） 设 A 是 nm 矩阵 ， C 是 n阶可逆矩阵 ， 矩阵 A 的秩为 r ， 矩阵 ACB 的秩为 1r ， 则 .)(a 1rr ； )b（ 1rr ； )(c 1rr ； )(d 1, rr 的 关系依 C 而定 .解 由于 ( ) min( ( ), ( ),r AC r A r C 若 C 可逆 ， 则1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).r AC r A r EA r C CA r CA r AC 即 ( ) ( ) ( ).r B r A r B 从而 ( ) ( ).r A r B 所以应选 ( ).C3.设 33)( ija

29、A ， ijA 是 ija 的代数余子式 ， 且 ijA ija )3,2,1,( ji ， 011 a ， 求 A .解 因为 Aij ija , 即11 12 13 11 12 13T21 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 33( ) ,a a aa a aa a a A A AA A A A AA A A亦即 T .A A 由于 | |AA A E ， 故 T | | .AA A E 两边取行列式 , 有2 3T .A A A A E A 从而 | | 1A 或 | | 0.A 不妨假设 11 0,a 对 A 按第 1行展开 ,得2 2 211 11 12 12

30、13 13 11 12 13| | 0.A A A A a a a a a a故必有 | | 1A .4.设 A 为 n阶方阵 ， EAA T ， 0A ， 求 EA .第二章 矩阵41解 因 T T TA E A AA A E A A E A TA E A TA E A A E A ,即 A E A A E ， 故 1 0A A E . 因 0A ， 即 1 0A ， 所以0A E .5.已知332313322212312111bababababababababaA ， 证明 AA l2 ， 并求 l.解 因 1 1 1 2 1 3 12 1 2 2 2 3 2 1 2 33 1 3 2 3

31、 3 3A a b a b a b aa b a b a b a b b ba b a b a b a， 故 1 1 122 1 2 3 2 1 2 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 33 3 3A a a aa b b b a b b b a a b a b a b b b ba a a 11 1 2 2 3 3 2 1 2 3 1 1 2 2 3 33A aa b a b a b a b b b a b a b a ba.令 1 1 2 2 3 3 a b a b a b l ， 得 AA l26.已知 PBAP ， 其中112012001,100000001PB ，求 5, AA

32、.解 因 P 可逆 ， 求得 11 0 02 1 04 1 1 P ， 则第二章 矩阵4211 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 02 1 0 0 0 0 2 1 0 2 0 0 .2 1 1 0 0 1 4 1 1 6 1 1 A = PBP由于 2 1 1 1 1 2 1, A PBP PBP PB P P BP PB P 所以5 5 1 1 .A PB P PBP A 7.设 ,100010101A 求 nA .解 21 0 1 1 0 1 1 0 20 1 0 0 1 0 0 1 0 ,0 0 1 0 0 1 0 0 1 A31 0 2 1 0 1 1 0 30 1 0 0 1

33、0 0 1 0 ,0 0 1 0 0 1 0 0 1 A设1 00 1 0 ,0 0 1kk A 则11 0 1 0 1 1 0 10 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1kk k A ， 故1 00 1 00 0 1nn A .8.已知矩阵 A满足关系式 OEAA 322 ， 求 1)4( EA .解 由 2 2 3 A A E O， 得 4 2 8 3 A E A E E E O ， 从而 4 2 5 A E A E E ，第二章 矩阵43即 1 1 24 2 45 5 5 A E A E E A E A E E ， 因此 4A E 可逆 ， 且 1 1 24

34、5 5 A E A E .9.设 ,101020101A 矩阵 X 满足 XAEAX 2 ， 求 X .解 由 2 ,AX E A X 得 2 ,AX X A E 即 ( ) ( )( )A E X A E A E 由0 0 10 1 0 ,1 0 0A E 知 0,A E A E 可逆 .故2 0 10 3 0 .1 0 2X A E 10.设矩阵 A的伴随矩阵8030010100100001*A 且 EBAABA 311 ， 求 B .解 由 1| | | | ,n A A 有 38 | | , A 得 | | 2,A 故 A可逆 .用 A右乘 1 1 3 ABA BA E两端 ， 有 (

35、 ) 3 . A E B A用 A 左乘上式的两端 ， 因为 | | , A A AA A E | | 2A ， 有 (2 ) 6 . E A B E 于是 16(2 ) . B E A因为1 0 0 00 1 0 02 ,1 0 1 00 3 0 6 E A（ ） 故 11 0 0 00 1 0 0(2 ) .1 0 1 00 1 2 0 1 6 E A 因此第二章 矩阵446 0 0 00 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 1 B11.设 BA, 为 n 阶方阵 ， E 为 n 阶单位矩阵 ， 证明 ： 若 ABBA ， 则 EA 可逆 .解 由 ,A B AB 有 ( )( ) .

36、AB A B E A E B E E 所以 A E 可逆 , 且1( ) ,B E A E 即 1( ) .A E B E 12.设矩阵 A的元素均为整数 ， 证明 ， 1A 的元素均为整数的充要条件为 1A .证 因 11 A A ， A 与 1A 的元素均为整数 ， 则 11 A A与 均为整数 ， 故1A ；因 A的元素均为整数 ， 故 *A 的元素均为整数 , 由 11 *= A A A , 1A ,则1A 的元素均为整数 。13.设 A是 n阶可逆矩阵 ， 将 A的第 i行和第 j 行对换后得到矩阵 B ， 证明 B 可逆 ，并求 1AB .解 由于 A可逆 ， 则 | | 0.A 显然 | | | | 0,B A 故 B为可逆矩阵 ， 且有 ,ijB P A 故1 1 1 1 1 .ij ij ij ijAB A P A AA P P P 14.设 A 是 n 阶方阵 ， 证明存在一可逆矩阵 B 及一幂等矩阵 C （ 即 2CC ）， 使BCA .第二章 矩阵451 1 1 1 11 1 1, ,., ,对 作