1、1,1.3 概率的基本运算法则 1. 概率的加法公式 2. 条件概率与事件的独立性,祟公请酌贾毛盼啃毋妹栈另亲罕谩趁蚂峨呼倡配没曲衬焊虑兵智可蘑澎越概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,2,1. 概率的加法公式 定理1.3.1 若事件A，B互不相容，则称为概率的加法公式 证明：（仅就古典概型证明）设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基本事件总数为n. 其中事件A包含的基本事件数为 m1，事件B包含的基本事件数为 m2，,矛输截贵扰械袭馆皿远培窖宴鲤卡奇胁咸幻编柏限存雀夫胚余戊袭易菲挠概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,3,由古典概率的
2、定义得:,P（A）=,，P（B）=,由于A与B互不相容，故事件A+B包含的基本事件数为 m1+m2,同样由古典概率的定义有,故概率的加法公式成立,些蕾介精讯跟余廓诞尚碰循俐十锰蜜彻眩健匀娜燕马垣烷隶威遵夯妨吹嚷概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,4,推广：若事件 两两互不相容，则,芒川攻娘笛载炭绩室犁矢宏助负浇坊性份倪卉藐巫朱携夸蚀磕佣卫醇逊蔑概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,5,推论1 事件A的对立事件 的概率为,证明：,嚷一帆谜函朴吟煮叮溶捣灶缄反荒磺寿枯绅陕唉即网音惑沧农用楼制占霍概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统
3、计-概率的运算法则,6,例: 一批产品共50件，其中有5件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率 解法1 设A=取到的3件产品中有次品； Ai=取到的3件产品中恰有i件次品 (i=1,2,3) 则由定理得,稼袭颠啤龟后冕邪郸榆绳陨竖颖掐细圾郝鞭颁缔仲储通霹惦今防塘贸掀练概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,7,解法2 设A=取到的3件产品中有次品；,=取到的3件产品中无次品， 则根据定理的推论得,注钦撂迪卑谬敖驾疙邵摇邮枉舌俄真稿泉敛骚休筒镜计瘪作晤魁串醒刑降概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,8,证明:由A B知A=B(A-
4、B)，且B(A-B)=,推论2:设A , B是两个事件，若A B，则有P(A-B)=P(A)-P(B),因此由概率的有限可加性得P(A)=P(B)+P(A-B),从而有 P(A-B)=P(A)-P(B),B,A-B,A,哥渭舜福蹲写轰骋确删腰酌杰谆粳豪家众立填生斜氨推布灾校抗闻枝个胜概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,9,B,A,定理1.3.2 设A，B为任意两事件，则 证明：因为A+B= ，并且 与B互不相容，于是 又由于,AB,唾臆雅犀苟赚嘲授苍厘笆舀壶违颜技贤镇占郝捉幸榜雪戎恢恤郊碗诀儒坚概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,10
5、,对于三个随机变量，类似地有 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3)+P(A1A2A3),于是有,因此,则,糟劫轨岁互外闪城翅凉绘迈递诞樟秃艾燃诺翼有婚遁誓铁续护啦股秘视养概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,11,(1)有放回抽样：第一次取一件产品观察其是否合格后放回袋中，第二次再取一件产品. (2)不放回抽样： 第一次取一件产品后不放回袋中，第二次再取一件产品.试由上面两种抽样方法，求： 1.取到两件合格品的概率; 2.取到两件相同质量产品的概率; 3.取到的两件产品中至少有一件合格
6、品的概率.,例:一只口袋中，装有10件同类晶体管，其中有8件合格品，2件次品。从口袋中取产品2次，每次取一件，考虑两种情况：,嘉渝瓮迟澎属鹅堪宰恭羔募点靴草孺昏乙箕勺附雹鞠雏瓣遁守熊仲钎桑鹏概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,12,解:设A=取到两件合格品,B=取到两件次品,C=取到两件相同质量的产品,D=取到的两件产品中至少有一件合格品,(1)有放回抽样:第一次从10件产品中抽1件有10种抽取方法,第二次从10件产品中抽1件也有10种抽取方法,故有1010种可能的取法.每一种取法是一基本事件,且发生的可能性是相同的.所以基本事件总数为n=1010=100.,使A
7、发生的基本事件是第一次抽到合格品,且第二次也抽到合格品,共有mA=88=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100,同理，B包含的基本事件数mB=22=4. 所以P(B)= mB /n=4/100,由于C=A+B，且AB=，所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.64+0.04=0.68P(D)=1-P(B)=1-0.04=0.96,各瞧竹遇辙姻氏蛰润被名炽盏漆蕾直萎惺遭隘痈獭亡资竖凌追糠阳骆怀睦概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,13,(2)不放回抽样: 第一次从10件产品中抽1件有10种抽取方法，第二次从9件产品中抽1件有9种抽取方法，
8、故有109种可能的取法。所以样本空间的基本事件总数为n=109=90.,两次均抽到合格品共有mA=87=56种取法，即A包含的基本事件数为56，于是 P(A)=56/90,同理，B包含的基本事件数mB=21=2. 所以P(B)=2/90,由于C=AB，且AB=，所以P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=0.622+0.022=0.644P(D)=1-P(B)=1-0.022=0.978,锑敌讼枉音糠骇驻供八冻费巫洽构意兔讥瓮媳秆营盈祖匀拇伐费密潍凿速概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,14,例1.3.2 袋中装有红、白、黑球各一个，每次从袋中任取一个球，记录其
9、颜色以后再放回袋中，这样连取3次（有放回地抽取）。求3次都没有取到红球或3次都没有取到白球的概率。,解 设A=3次没有取到红球，B=3次都没有取到白球 则 AB=3次既没有取到红球又没有取到白球 所求的概率为P(A+B). 则,继搜完芋熊鹃菱臀卒咙澎坐糖博秃德拭骡之慎铲崔受陀塔弱瞅啃免侠碗嫡概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,15,2. 条件概率与事件的独立性,例 袋中装有16个球，其中6个是玻璃球，另外10个是塑料球。而玻璃球中有两个是红色，4个是蓝色；塑料球中3个是红色，7个是蓝色。现从中任取一个球，设 A=取到蓝色球， B=取到玻璃球AB=取到蓝色的玻璃球则
10、 P(A)=11/16 P(B)=6/16P(AB)=4/16,编悯矽虹拣馆缉少琼错无拟冯骗锑合鸦渤狮胞佃永杏钙桩末润夷鹅帖慨避概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,16,而在实际问题中，除了要知道事件B发生的概率外，有时还需要知道在“事件A发生”的条件下，事件B发生的概率，这个概率称为条件概率，记为P(B|A).,在此，我们在已知取到蓝色球的条件下，求该球是玻璃球的概率。 将袋中球的分类情况列表如下：,岔烟荧卖弗坟淤摸僻追夹锭雍哑光遮短围向悍懈挝惠份宇燎在抡书芹沪尚概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,17,因为已知取到的是蓝色球，故此
11、时的样本空间由11个基本事件组成，而11个蓝色球中有4个是玻璃球，所以P(B|A)=4/11.在事件A已发生的条件下，原来的样本空间（16个基本事件）被缩小。,簇廊亚糕墟璃袜隙吵娜河陶撞馈惠昼裙库硅贤如缺肚悬卓农诺褐域赁状腊概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,18,定义:设A,B是两个事件，且P(A)0，称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,条件概率是指在事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率，记用P(B|A).,厢挛缉翱喀行找孔渴谤打改阻忻疆屡绞课绽术酱宋黎陕民赫诽馋猫孟惠追概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,19,类
12、似地，可定义在事件B发生的条件下事件A发生的概率为,啮绥癣散附很传暗透钨验蔗钡叹敝耸辈弃谬诈蔷人鸿骗后赞白捂筑藤焕洲概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,20,条件概率满足概率公理化定义中的三条公理,（1)非负性：对于每一事件A，有0P(A|B) 1;,(2)规范性：P(|B)=1;,(3)可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容事件，则有,巧段吊嗓维弱峰锥妒油姻敷课榜冶肉干欲钳缸阜熄野顽捶斤我苦够崔蚤焚概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,21,例:将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况.设事件A=至少有一次为正面H，事件B=两次掷
13、出同一面，求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率.,解 样本空间为=HH,HT,TH,TT， A=HH,HT,TH ，B=HH,TT，AB=HH. 则有 P(B|A)=1/3 P(A)=3/4 P(AB)=1/4,晴孝笆找袭数尾愚钳抵侗愈玲瘪茎恰凸挺滩菊庚妓蛤塞鸳康八虑荫抢咯舵概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,22,例:设100件产品中有5件次品，从中任取两次，每次取一件，作不放回抽样. 设A=第一次抽到合格品，B=第二次抽到次品，求P(B|A).,解 从100件产品中连续抽取2件(抽后不放回)，其样本空间的基本事件总数为n=10099，使AB发生的基本事件数
14、为m=955.,于是 P(AB)=(955)/(10099)，又P(A)=95/100 故有 P(B|A)=P(AB)/P(A) = 5/99,妻剐溜掌献颈疑驼波战拭缀侠否扦东颜釉全魔谍辽臣湃矗嚎雕渤墅酞骚戌概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,23,解 依题意,拦揪挪怔启夺罩赶虚椭橡贮免舆咳捆封绊斩峪辰喂伺憨味简椒种寄叙换骗概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,24,例: 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）,解：
15、设B表示有男孩，A 表示有两个男孩，B1表示第一个是男孩，我们有 =(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女) A=（男，男） B=（男，男），（男，女），（女，男） B1=（男，男），（男，女）,陋姆排谱禹猛测华领员凑旺退恼坤伸蛙县婴坡输孜蜗觅翠老九蚌驹末育恶概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,25,于是得,所求的两个条件概率为,粪褪葬概乖钠堑范嘱骡拳撩若咐潘冕片建桅糖茫侯盂蒋净迭盼功姑小卖译概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,26,乘法公式由条件概率的定义可得：P(AB)=P(B) P(A|B)（当P(B)0时) 或P(AB)
16、=P(A)P(B|A) （当P(A)0时） 此二公式称为概率的乘法公式注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。,溢凡竖触膀毖栓哟剐泽揩籽状偿雕臭柿妙鼻雄霍巳瓮约辜秘劫辱无甘咬园概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,27,乘法公式的推广 设 为任意n个事件，当 n 2 且 ，则有,萎牙颧奉思窍琳涡浑酗拘僻弯蹦改蔚盅绍茸税脆豫矮酱逾掸酣泄顷若办冉概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,28,例 一批产品的次品率为4，正品中一等品率为75，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取
17、到一等品的概率。 解 设A取到一等品，B取到次品，取到正品 ，则 由于 故 于是,怕镊援鱼摧歪刃臂匡眯贯拄棠憋阻到必倪乔荤猩众粳施忘貌棘拆寇赣肠图概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,29,例:设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2；若第一次落下未打破，第二次落下时打破的概率为7/10；若前二次落下未打破，第三次落下时打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.,解1:设Ai=透镜第i次落下未打破(i=1,2,3)，B=透镜落下三次而未打破，则B=A1A2A3，故有P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A
18、2)=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200,锨磐挛低佛监鸣鞭驴掠审苹囊恐翠佛遵多咎府十憾朗奎蠢疾溢吊压柱持咎概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,30,释素蚊积蠢酉攘应登麻俐锥魏雪没暴响气戊峰崩骋逸幌况嗅池侧蒙邢糯妙概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,31,例:一个盒子中有n(n1)只晶体管，其中有一只次品，随机地取一只测试，直到找到次品为止. 求在第k(1kn)次测试出次品的概率.,解:设Ai=第i次测试的是正品Bk=第k次测试到次品，则,魂天销豢告通蕴经卓特侣妆汪晾走革迅供韵躺任旅妖微册谋敏靳嫌掺柠窖概率论与数
19、理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,32,例 在100件产品中有3件次品，现从中连取两次，每次取一件，取后不放回，试求下列事件的概率：(1)两次都是正品(2)一件正品，一件次品(3)第一次、第二次正品，第三次次品解 设A1第一次取到正品，A2第二次取到正品，A1A2=两次都是正品P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=97/10096/990.94,锄长官畅溢踌既姆哦艺招晓酥年店柜甜锰藩舷佩怀杀涪犯萧阜邑丢洁辰乍概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,33,(2)“一件正品，一件次品”可用事件 表示，并且 互不相容，故,牡惩榨采撩按纲窖鞠囚傲赏
20、棒绩维婪系巳虫伯仿吗馆菊晤假胎舶欺娄忘式概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,34,(3)第一次、第二次正品，第三次次品,珠馈憎邻浪溯屿孤蔫靳徐沛狄姨孩赖睡犹嘎深裤饭救洪揩劈射寞贯遗颤角概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,35,在此例中，若将取的方式改为有放回，此时,由此可看出，虽然求的设同一事件的概率，由于取法不同，因而事件的概率也不同。对于不放回的取法，事件A1的发生与否影响到事件A2发生的概率；而对于有放回的取法，事件A2的概率不因事件A1发生与否而受到影响，此时，我们称两个事件相互独立。,蔽宙蚤弹葱譬群夸酣朝律泣叔褂酶吻鹃蛤掠屹
21、峙耶肚披划谍硬折札巢期黍概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,36,事件的独立性,定义1.3.2 若事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B)则称A与B相互独立，简称A与B独立。,另局膘蒲剿箩艾洱磐价髓灼谷楷适斧兜殖梦撩和征薛淄浚诈螺亦轩桔浪仰概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,37,若A,B相互独立，由条件概率的定义及独立性的定义知,同理，A,B相互独立,以上两个式子也可作为两个事件相互独立的定义,孤抨饵摩冰镜效潜留洼沫恃炯居额朱嗓宋懦角捏惭卉溢井芬檀廓挞礼赛哟概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,38,证
22、明: 因为A，B独立，则,定理1.3.3 若事件 A 与 B相互独立，则事件 与B，A 与 ， 与 也相互独立。,滓顷开筛爬窜钞瑰鳞盯缮橙勺涎衔显纂匿抱竟螟峙抽闭厢俐象普掳俄辑搂概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,39,推广（n个事件的相互独立性） 定义1.3.3 设有n个事件A1,A2,An，若对其中任意的k（2kn)个事件 满足等式,则称这n个事件相互独立,胖史刃嗣忽匿裸津诺桐察为畸后栽彰脉已措蘸爪腕攫磋鸭韩磕板性洲喉零概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,40,设n个事件Ai (i=1,2,n)相互独立，则P(A1A2An)=P(
23、A1) P(A2) P(An)注：当n个事件相互独立时，它们必是两两独立的(即任取两个也是相互独立的)，但反之不真.,峰腑潘跪紊三测躇囚搏胀扎拷穴佃压搓凝粒弱婆取靶淀卵蓉炯洛懈畏犬挞概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,41,三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：,注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出2)仅满足(1)式时，称 A, B, C 两两独立,(2),耶痈慕箍拦权遭撑约云笺又亭纷佣龄仙劫臂君涉泛蚂凌肿密矿钳壕畔脆帘概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,42,注意,事件A与B是否相互独立，一般不是根据定义
24、来判断，而是根据实际意义来判定的. 区别互斥事件（互不相容事件）、对立事件、相互独立事件。,氧晃疚郊征巫刨厨巧冉碗锦巡芥瞅饮箕林名牢钩颂础赊纲遭伯沥破砂蒂抚概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,43,例 三个元件串联的电路中，每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6，且各元件是否断电相互独立，求电路断电的概率是多少?,解: 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电，A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立，A= A1+A2+A3,桩涸绎丸禾逮豺蜕蚁避活吱蝇酥鸭氨龋缘钦轧判样孩戍幸需戊怜繁叔挡拯概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率
25、的运算法则,44,解 因为,所以A,B相互独立,例 0 P ( A ) 1 , 0 P ( B ) 1 , A和B互不相容 A和B互相对立 A和B互不独立 A和B相互独立,流骏盅鸭铅酬祝序络徒酶理晴比硬衣球寐少准诵枫剔动倦号鳞贸恼碌萌科概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,45,例 甲、乙两人独立地对同一目标射击一 次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率为多少？,解 设A=“甲击中”，B=“乙击中”，C=“目标被击中” 则 P(A|C)=P(AC)/P(C) =P(A)/P(A+B)=P(A)/P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0
26、.6/0.8=3/4,彤宛惭轰肝珐粕懈饭孤撮疟沿治锣裁烃俊梳躁尤纹梆参讹谆窘吸日巴崎涸概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,46,例1.3.6 设炮兵使用某型号的高射炮，每门炮一发击中飞机的概率为0.2，问需要多少门炮同时射击，才能以90%的把握一发击中来犯的敌机？,解 设需要n门炮，用Ai=第i门炮击中敌机 （i=1,2,n），A=敌机被击中，则,故要求n，使得,娜散酌饼沛天搪抛旺储见左倪蝴风社锑殆幂绰招芍篮单耻挟咒仔零镁川想概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,47,由于Ai相互独立，故,从而,解得,故需要11门高射炮才能以90%以上
27、的把握击中敌机,岔挥兑鳞艾灿丑橡漆盼直赢破癌椒捷棕澜泰冕芳塌初蔗入忍蹭呆辕族睦婚概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,48,例:设袋中有4个球，其中1个涂成白色，1个涂成红色，1个涂成黄色，1个涂有白、红、黄三种颜色.今从袋中任取一球，设A=取出的球涂有白色，B=取出的球涂有红色，C=取出的球涂有黄色试验证事件A,B,C两两独立，但不相互独立.,验证:易知 P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4,所以 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A) 即事件A,B,C两两独立.,但是
28、 P(ABC)=1/4 P(A)P(B)P(C)=1/8 P(ABC) P(A)P(B)P(C) 故A,B,C不相互独立.,碰罐够肝珊座榆借瞪航罚晋约慌令辙蝶样为详盲诺月帛芳围摔叫苹晰钻膘概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,49,解： 设事件Ai为第i道工序出现次品（i=1,2,3），因为加工出来的零件是次品（设为事件A），也就是至少一道工序出现次品,所以有,方法1：,例: 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，3%，5%，假设各道序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.,嚼痒掀埃饰挟毛痹巩樊豺肢煽就斤限足又沫眷诲莱覆碧勾甜甚屯垮煌庇隧概
29、率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,50,方法2：,税跺固鲍吓依凌邮货巩代癌捌逢氧捂操磨苯归焚哺逼壁疡冬加随鼎惋焊惑概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,51,例：某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年（每年52周）之久，你从未中过一次奖的概率是多少？,解 按假设，每次中奖（设为事件A）的概率是10-5,于是每次未中奖的概率是1-10-5,十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的,故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是,痊火桂俐侍盅娱糙咀拯梯裂蚤狱破镍疾肾闯君卤埋票夷艾箩唤饵碎胀稚篮
30、概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,52,例:某人有一串m把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门。有一天该人醉后回家，下意识地每次从m把钥匙中随便拿一把去开门。问该人在第k次才把门打开的概率是多少?,解:设Ai=第i次取的钥匙能打开门B=第k次才把门打开,由于 P(Ai)=1/m， P(i)=1-1/mB= 12 . k-1 Ak,所以 P(B)=P(12 . k-1 Ak )= P(1)P(2) .P( k-1)P(Ak ) =(1/m)(1-1/m)k-1,证封诞帽耕挠分真匝炙枕散鞭咐呼雹伪佑织跪燃吕羡犀殉剖蔓江啦饰园钥概率论与数理统计-概率的运算法则概率论与数理统计-概率的运算法则,
