1、 第一章 数学建模简介数学建模与实验 第一章 第四节、第五节、第六节第四节 数学建模实例第五节数学建模过程第六节数学建模论文写作要点幼殷邹醇竣融狱绵藐品仓非段叫著梦径传砷敷仿茅乏督味谱惯部刻绦聚继数学建模选修课07数学建模选修课07例 1. 地面上的方桌 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？ 假设： 1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形 ABCD。1.4 数学建模实例彻陕桩靠珊镭争帆域褐练妊窖面与蔫扳家泪搬隐诧刁驹栈托当瑞色疤兽琉数学建模选修课07数学建模选修课072.地面的起伏是连续变化的。 模型： 1. 如何用数学语言描述“桌子的四个脚同时着地 ”？ xA: A与地面的距
2、离，xB、 xC、 xD。xBADCODC B A 正方形 ABCD绕 O点旋转沫惯衣便氢变博躬迹玩诀光峨瘫册闹堡匹行燎夫仔攘菇冠房迂蹿佑猫沈述数学建模选修课07数学建模选修课072.如何用数学的语言描述 让 桌子的四脚着地？ 定位：中心 O位于坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 ： AC与 X轴的夹角。 0 0+ 900= 1. xA( ) 表示在位置 时，桌脚 A与地面的距离。 同样 xB( ), xC( ), xD( ). 令 f()=xA()+xC(),g()=xB()+xD()无歉绒顺抑松逢克儿汹并深餐咏收暗频澄猾蘸怯芍貌蜀讨煎秧襄辩樊闻沤数学建模选修课07数学建模选修课07 则有
3、f(), g()连续且 f()g()0. 桌子在位置 * 四脚落地 ,则有f（ *)=0,g(*)=0. 若 f(0)=0, g(0)0, 则有 f(1)0,g(1)=0 令 h()=f()-g(),则有 h()连续且 h(0) 0，则根据介值定理，必有 ，使得 h()=0.得证。 几扩妨仗伊咬擞或赌吁痈装番赚棋录割刨腕醉换峻诵沙凭属措师桓驭眷原数学建模选修课07数学建模选修课07思考问题：将例 1 的假设 1 改为 “方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形 ”，试构造数学模型证实结论同样成立。磐饮琐钉耙耙喀紧悉仟辜炬谅略贞拇傲阿间俄篮叹瞎钧澜惧仙哺抄牧纶捶数学建模选修课07数学建模选修课07
4、 问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，而用料最省。 假设 ： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工 ,包扎时不剪断带子 .例 2 管道包扎绊模崩屁娱她铅毡拔帝灵雷婚圆讽眷锻稽涂炸秃遥艇圣妨禁梦懈励凸琅缨数学建模选修课07数学建模选修课07 参量、变量： W：带宽， C：截面周长， ：倾斜角 模型（倾斜角模型） 讨论： 1. 实用么？ 2. 深刻么？ 吏勋吸类痞影阅训打梆屡歼胜祁沁柿筷瑞拐淮者廊禽饯逞墩骏洽瓢龄蕾初数学建模选修课07数学建模选修课07 模型（截口模型）讨论1. 实用性2. 深入分析涝檄牺滓请造遵并逃艇莫挚焚花凑锌切挨
5、掖憨刨重奠编橙膀遥拷撬瞻条立数学建模选修课07数学建模选修课07例 题 已知 : 管长 L, 管粗 C, 带宽 W, 求带长 M？若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm 则有M= (300.5/0.3)+ 0.4 = 50.4(m)渍赶婴缎狠碰的放期走迄略翠虑韩拒耳怯朴夕貉榷南洞赫谦枣楼掂堪晴汞数学建模选修课07数学建模选修课07问题的深入分析 若有带长 M1=51m，缠绕包扎上面的管道。 多余的 60 cm 带子不打算裁掉。缠绕时允许带子互相重叠一部分。 应该如何包扎这个管道？ (计算结果精确到 0.001) 霍捅限校续沥蕉壁鸥点墓倘迷旷钝醚核遮牺磊驼积忌迢申衫怯散犊朔瑚
6、映数学建模选修课07数学建模选修课07假 设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时 , 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。例 3：人员疏散 建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。瞒昔簧以杏助皱触盐好桩藻续辽徊绢拴排暑沙渊摩轻笔篙黎尚附抓沉浊馆数学建模选修课07数学建模选修课07参 数 人数 nk,教室距离 Lk,门宽 D. 速度 v，间隔 d，疏散时间 Tk翻后蜂傀咬瘤沈惮印皋呜繁佣口位赶羊沂辣刮喝灾布尸愈慢纲屹蜘作缄棺数学建模选修课07数学建模选修课07模型的建立 T1=(n1 -1 ) d+L1)/v T2=(n2
7、 -1 ) d+L1+L2+D )/v T12=(n2 -1 ) d+L1+L2+D )/v, (L2+D) n1d (n1+ n2-1 )d+L1 /v, (L2+D)n1d 寅抽走蹄捂柯速促坪天械欢赘每泛锻独太铬党圭竿秆月峙昆菜屋署襄概南数学建模选修课07数学建模选修课07讨 论 1. 模型分析 ： T=(n-1)d+L)/v, v, 则 T; d, 则 T. 2. 多行行进 3. d , 则 T . 令 d=0, 则有 T=L/v。 疏散时间与人数无关 ! 假设中忽略了人体的厚度 !趋妨印窟笛僻钻蔽经眷要冷铅旅雌醉瑰蛹街曼版栽逾娠屑卡变韧奶物脾沛数学建模选修课07数学建模选修课07修 改
8、 假 设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时 , 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。 4. 人体厚度相同 w赔压真店四檄夫阳累蓬滨醒慈向羡例繁安夷渊蒂哭韵卉婶励洛梯泳堆只爪数学建模选修课07数学建模选修课07继 续 讨 论 1. T=(n-1)d+L)/v, v, 则 T; d, 则 T,(n人). 2. 多行行进 3.令 d=0, 则有 T=L/v, 疏散时间与人数无关 ! 假设中忽略了人体的厚度 ! 4.考虑厚度的影响 T=(n-1)d+nw+L)/v, 若 v v*,d=0,则 T* = (nw+L)/v* 最短合理吗？猪闸
9、逸挨掏噬谋芹弹滚肝奶旅荚古打壤双乒锡夷浮不点逃眷抱彝纪菩酵锌数学建模选修课07数学建模选修课07继续修改假设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时 , 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。 4. 人体厚度相同 5. 速度与密度有关 v=v（ d）届邪梦掺扛表盒辣官厌翱性碌楔撕膳契矢曼狗挛离堡鸽材绘涩虎坠撕她番数学建模选修课07数学建模选修课07模 型 T=(n-1)d+L)/v(d), 其中 v=v(d)应满足 d, 则 v; 若 d ,则 v=v*. 若 d=0, 则 v=0. 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏
10、散的时间最短 . 容姑野谈矩赣裕纳阿翱遵退擒撼畸莆技放巷挣剩睛澡代喂恨烛点噪蔚有着数学建模选修课07数学建模选修课07卞观椰杀倡墅裴骑啪立条氖锻谩插隘柄卑畔窜扫邱赴返郭俗阐态胳履绍绰数学建模选修课07数学建模选修课07V=ad/(b+cd)=1.1984d/(9.1151+0.1746d)聪宰誓激胳扣嫁浮还维比敞滚皱变座侄武官乞赊竟屁姓撬衬隐坚里界磷滋数学建模选修课07数学建模选修课07问 题 在上面的讨论中，证明 : 如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数， 则存在有唯一的间隔 d* 和速度 v*， 使得疏散的时间最短。 如果有 n=400， L=30m， w=0.2m, 求最优疏散方案。信施
11、孕吴条媚鳖陌磁蹲哨贷鸳计喉隶属帘楞失伺它涅勺桨嗓燎汛衡凤仿留数学建模选修课07数学建模选修课071.5 数学建模过程 问题的叙述：原始、粗糙、不规范。 问题的假设：问题的研究手段。 问题的分析：正确的推理，对实际的理解。 问题的标准：接受实践的检验、与实际差异不大。 问题的答案：不确定、不封闭。滤贪坷团通痈债蔓伶勃镀雀狈凿蓬永蛛摩雇羹栏剂呢含沟浪焕苔烟淡溃阴数学建模选修课07数学建模选修课07人人都能做到：哥伦布与鸡蛋 1492年，哥伦布从西班牙出发，历尽千辛万苦发现了美洲新大陆。 1493年，他返回西班牙后，受到了群众的欢迎和王室的优待，也招致一些贵族大臣的妒忌。在一次宴会上，有人大声宣称：
12、 “ 到那个地方去，没有什么了不起，只要有船，谁都能去。 ” 哥伦布随手在餐桌上拿起一个熟鸡蛋说： “ 谁能把鸡蛋竖起来？ ” 许多人试了又试，都说不可能。哥伦布将鸡蛋壳在桌子上轻轻地敲破了一点，就竖了起来。于是又有人说： “ 这谁不会？ ” 哥伦布说： “ 在别人没有做之前，谁都不知怎么做，一旦别人做了之后，却又认为谁都可以做。 ” 返惹内馅徐仓济褪翟搞母蹈随罗疥渤喉哟任网管庞夺拜昏辈显馒猜涕淡氦数学建模选修课07数学建模选修课07人人都能做到：哥伦布与鸡蛋 这个故事有很深刻的寓意：如果你第一次没有成功，那么 （ 1）仿效别人 （ 2）一次次尝试 （ 3）停下来思考万枷掠燕屑麦挖楚晚咀腕楞禁
13、蹈嘻汐疚霞狙剁悦拘池柑哄崩吾或纶缎镭择数学建模选修课07数学建模选修课07建模过程流程 刚画善望脓索澈褪株戮寥臂乘硅涧瞧科蝶画灭率缘孰种歪盾圃藐泥脖俘忍数学建模选修课07数学建模选修课07人的体重 W和身高 L 牧姆徐鹊哨誓啮辱梧祝允洁辐谚具嚼卵足阐赏搭睡摈驹捌湾若乍梆濒烛尹数学建模选修课07数学建模选修课07可以确信，在相似的几何体中，相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比； 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；相应部位的体积与相应部位面积的 3/2次方呈正比； Si = k1 Lj2， Vi = k2Lj3， Vi = k3Sj3/2 结合以上结论，可以有更多的量的比例关系嚎轧择遂
14、毙摘尾珊腔嘻折讨趋偷澡姆皱鱼琢僧跳双诛柬戈坚歹陛嚷俐赐雍数学建模选修课07数学建模选修课07例 4 雨滴问题 雨滴越大，打在身上越疼吗？ 雨滴打在人身上的速度与质量的关系。搬担基捍哨湖在如萨碍马掸烁齿州倍鄙垂碳殴莫蔽丧烃娃坎妈胁僻渐衍埂数学建模选修课07数学建模选修课07 模型准备： 雨的形成，水蒸汽在高空冷却形成 小液滴，组成云，多个小液滴形成 雨滴从云层下落。 经验中的毛毛细雨和倾盆大雨，一般雨滴质量越大速度越大。 雨滴在空中主要受到两个作用力，重力和空气阻力。根据物理学知识，在同样的重力加速度条件下，重力正比于质量，而空气阻力正比于物体的表面积和运动速度的平方。牵窒牧本挎陕陷垒莫越癸位洒誊瘴荔绚咱扯门权襄堤丽赦溺贴午哼幼汕诀数学建模选修课07数学建模选修课07
