1、【巩固练习】1下列各组向量中不平行的是（ ）A B)4,2(),(ba )0,3(),01(dcC D032fe 421652hg2已知正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA 1，则直线 CB1与平面 AA1B1B所成角的正弦值是（ ）A、 B、 C、 D、36466863如图直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的高为 3，底面是边长为 2的菱形，且BAD=60 ，P 是棱 A1D1的中点，则 BP的长等于（ ）A、 B、 C、 D、432614已知正四面体 ABCD，棱长为 3，E，F 是两个面的重心，那么线段 EF的长为( )A、 B、 C、1 D、25.若平面 、 的法向量分别为
2、n1=（2，3，5） ，n 2=(-3,1,-4),则 ， 的位置关系是 （用“平行” ， “垂直” ， “相交但不垂直”填空）.6. 已知 A（1，0，0） 、B（0，1，0） 、C（0，0，1） ，则平面 ABC的一个单位法向量是 （写出一个即可） 。7. 已知 =（1，5，-2） ， =（3，1，z） ，若 ， =（x-ABCP1，y，-3） ，且 平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为 .BP8. 如图所示，在棱长为 2的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE和 FD1所成角的余弦值等于 .9如图，已知
3、四棱锥 P-ABCD，PA 垂直于正方形 ABCD所在平面，且PA=AB=a，点 M是 PC的中点，(1)求异面直线 BP与 MD所成角的大小；(2)求二面角 M-DA-C的大小。10如图，在棱长为 4的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 A1B1和 B1C1的中点。（1）求点 D到 BE的距离；（2）求点 D到面 BEF的距离；（3）求 BD与面 BEF所成的角。11如图，三棱锥 P-ABC中，ABC= ，PA=1，AB= ，AC=2，PA面 ABC，求二面角 A-PC-B的余弦903值 A BCP12如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的各条棱长都是 a ,O、D 分别是
4、AC、A 1C1中点，求异面直线 B1D与 A1B的距离。13 如图所示， 、 分别是圆 O、圆 的直径， 与两圆所在的平面均垂直， . 是圆AFDE1AD8ADBCO的直径， , .6BC/(I)求二面角 的大小；(II)求直线 与 所成的余弦值.BDEFABCFO114如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBCkPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABCABCDO()求证：OD平面 PAB；()当 k 时，求直线 PA与平面 PBC所成角的正弦值；2115如图，在直三棱柱 中， AB=1， ，ABC=601ABC13AC.0()证明： ；1（）求二面角 A B 的
5、大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 参考答案：1【答案】D 【解析】 而零向量与任何向量都平行2/;3/;babdc2 【答案】B 3 【答案】A 4.【答案】C5.【答案】相交但不垂直6.【答案】 3,7.【答案】 ，- ，47015CBAC1B1A18.【答案】 519 【解析】以 AB为 x轴，AD 为 y轴，AP 为 z轴建立空间直角坐标系，由已知得 A(0，0，0)、 B(a，0，0)、 D(0，a，0)、C(a，a，0)、 P(0，0，a)则 PC的中点 ),M(2(1)设直线 PB与 DM所成的角为 ，(,0)(,),BPaD,所以直线 PB与 DN所成的角 =90(2
6、) (0,)(,0)(,0)APaBAaBDPDM与 BC与设 ,则AP与 A2cos|P|所以，二面角 M-DA-C所成的角为 4510【解析】（1）以点 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，E、F 分别是 A1B1和 B1C1的中点，B（4，0，0） ，E（2，0，4） ，D（0，4，0） ，则 =（-2，0，4） ， =（-4，4，0） 在 方向上的射影为 BDE45BDE点 D到 BE的距离为 d=221(2)设 =（x,y,1）为平面 BEF的法向量，则 ， ，n nBEF =（0，2，4） ， =-2x+4=0, =2y+4=0BFnBEx=2, y=-2, =(2,
7、-2,1)向量 在 方向上的射影为Dn163Dn点 D到面 BEF的距离为 .316(3)设 BD与面 BEF所成的角为，则 sin=cos= = =BnD16423BD 与面 BEF所成的角是 arcsin 。2311 【解析】以 A为坐标原点，,分别以 AB、AP 所在直线为 y轴、z 轴,以过 A点且平行于 BC直线为 x轴建立空间直角坐标系.在直角ABC 中,AB= ，AC=2，BC=13A(0,0,0)，B(0, ,0)，C(1, ,0)，P(0,0,1).(0, ,0)， (1, , ),设平面 PAC的法向量 =(a,b,c)，ABPC1m则 m ，m ，且 =(0,0,1)，
8、=(1, ,0)，AC3 ，不妨取 =( ,1,0)，03bacm3设平面 PBC的法向量 =(e,f,g)，n则 ， ，且 =(0, , )， =(1,0,0),nPBCPB31BC ,不妨取 =(0,1, )，03egfncos= = = ,mn| 31034故二面角 A-PC-B的余弦值为 .4112 【解析】因 O、D 分别是正三棱柱 ABC-A1B1C1中 AC、A 1C1的中点，故可建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz则 ，A 1（ ，0，a ）,B 1(0, ,a) , D(0,0,a) ,),230(aB2a23所以 = ， ， =（- ，0，0）1D),(1B(,)1AD
9、2a设 和 的公共法向量为 =（x,y,1）,1 n则由 ，有 =0+ +0=0 ，得 y=0；n11ay23由 ，有 = ，得 x=-21AB1 0x=（-2，0，1）n异面直线 DB1与 A1B间的距离为 =1|ADnd(,0)(2,1)5|aa13 【解析】()AD 与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD 是二面角 BADF的平面角，依题意可知，ABCD 是正方形，所以BAD45 0.即二面角 BADF的大小为 450；()以 O为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ，则 O（0，0，0） ，A（0， ，0） ，23B（ ，0，0）,
10、D（0， ，8） ，E（0，0，8） ，F（0， ，0）23 23所以， ),23(),(FD164cos, 0|08BEF设异面直线 BD与 EF所成角为 ，则82cos|,|10BDEF直线 BD与 EF所成的余弦值为 。821014 【解析】OP平面 ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以 O为原点,射线 OP为非负 x轴,建立空间坐标系 O-xyz如图),设 AB=a,则 A( a,0,0)，B(0, a,0),C(- a,0,0).设 OP=h,则 P(0,0,h). 22()D 为 PC的中点, 1(,0),ODah又 ,2(,0),2PAahPAOD平面
11、 PAB.() 则 PA=2a,1,2k7,2ha 可求得平面 PBC的法向量(,0),PAa 1(,),7ncos .210,3|PAn设 PA与平面 PBC所成角为 ,刚 sin=|cos |= .,PAn2103PA 与平面 PBC所成的角为 .210315 【解析】解答一（1）证： 三棱柱 为直三棱柱，1ABC1AB在 中， ,由正弦定理C0,3,603ACB09AC即,又1AB平 面 1平 面 1A1即（2）解如图，作 交 于点 D 点，连结 BD，D由三垂线定理知 1AC为二面角 的平面角ABB在 11 362RtDA中 ， 166,3 3tBACB中 ,tan=rc即 二 面 角 的 大 小 为 arctn解答二（1）证 三棱柱 为直三棱柱，AB， ，11ABC， Rt01,6AC由正弦定理 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，建立空间直角坐标系，0309B即则 1(0,)(1,0),3),(0,3)ABCA1*()(2) 解，如图可取 为平面 的法向量(1,0)mAB1AC设平面 的法向量为 ，1Cnl则 0,3Bn又 （ ， ， ）不妨取3,llmnm 1,(3,1)n则222305cos,()1nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1ACBD5二 面 角 的 大 小 为 arcos
