1、综合除法综 合 除 法 ：综 合 除 法 (synthetic division)是 一 种 简 便 的 除 法 ， 只 透 过 乘 、 加 两 种 运 算 便 可 计 算到 一 元 多 项 式 除 以 (x - a)的 商 式 与 余 式 。例 1. ( 2x3 - 6x2 + 11x - 6) (x - 1)解 ： Image:MathEquation.GIF被 除 数 ： 被 除 数 的 未 知 数 应 是 降 幂 排 列 ， 抽 取 系 数 用 以 计 算 ， 但 若 题 目 的 被 除 数 出现 ， 降 幂 次 数 中 没 有 3， 则 在 演 算 的 过 程 中 在 该 系 数 的
2、 位 置 上 补 上 0， 然 后 如 常 计算 。除 数 ： 除 数 中 的 未 知 数 前 的 系 数 有 时 并 不 一 定 会 是 1， 当 出 现 别 的 系 数 时 ， 如 ：3x 2 中 的 3， 我 们 会 把 它 变 做 3 (x - 2/3) ， 同 样 以 - 来 计 算 ， 但 当 得 出 结 果 的时 候 除 余 式 外 全 部 除 以 该 系 数 。 Ans： 商 式 Q = 2x2 - 4x + 7余 式 R = -1注 意 ： 演 算 时 ， 须 紧 记 末 项 是 余 式 之 系 数 ， 即 原 被 除 式 末 项 文 字 之 系 数 。 商 式 之 首项 文
3、 字 必 较 原 被 除 式 之 首 项 文 字 次 数 少 1， 余 依 齐 次 式 类 推 。 综 合 除 法 与 因 式 分 解 ：综 合 除 法 的 依 据 是 因 式 定 理 即 若 (x-a)能 整 除 某 一 多 项 式 ， 则 (x-a)是 这 一 多 项 式的 一 个 因 式 。用 x b 除 有 理 整 式 f(x)=a0x+a1x+a2x+an-1x+an 所 得 的 余 数 为 f(b)=a0b+a1b+a2b+an-1b+an(余 数 定 理 )， 若 f(b)=0 时 ， f(x)有 x b 的 因 式 用 综 合 除 法 找出 多 项 式 的 因 式 ， 从 而
4、分 解 因 式 的 方 法 例 分 解 因 式 3x 3x 13x 11x 10x6 原 式 =(x+1)(x+1)(x 3)(3x+2)=(x+1)(x 3)(3x+2)说 明 ： (1)用 综 合 除 法 试 商 时 ， 要 由 常 数 项 和 最 高 次 项 系 数 来 决 定 常 数 项 的 因 数除 以 最 高 次 项 系 数 的 因 数 的 正 负 值 都 可 能 是 除 的 整 除 商 上 例 中 常 数 项 是 6， 最 高 次项 系 数 是 3 它 们 的 因 式 可 能 是 x1， x2， x3， x6， 3x1， 3x2 试 除 时 先 从 简 单的 入 手 (2)因 式
5、 可 能 重 复 对 于 综 合 除 法 的 一 个 好 方 法 ： 另 外 告 诉 你 一 下 有 关 综 合 除 法 的 计 算 对 这 个 很 有 帮 助比 如 (3x4-6x3+4x2-1)（ x-1）将 x-1 的 常 数 项 -1 做 除 数将 被 除 式 的 每 一 项 的 系 数 列 下 来将 最 高 项 的 系 数 落 下 来 用 除 数 -1 乘 以 落 下 的 3 得 -3 写 在 第 二 项 -6 下用 -6 减 -3 写 在 横 线 下 ， 再 用 -1 乘 以 -3 的 3 写 在 第 三 项 4 下 ， 用 4 减 3 得 1 写 在横 线 下一 直 除 .直 到
6、 最 后 一 项 得 0所 以 就 有 (3x3-6x2+4x-1)（ x-1） =3x2-3x+10横 线 下 的 就 是 商 式 的 每 一 项 系 数 ， 而 最 后 的 一 个 就 是 余 式这 里 商 式 是 3x2-3x+1， 余 式 是 0-1 3 -6 4 -1 -3 3 -1 3 -3 1 |0又 如 (4x3-3x2-4x-1)（ x+1）1 4 -3 -4 -1 4 -7 3 4 -7 3|-4所 以 (4x3-3x2-4x-1)（ x+1） =4x2-7x+3-4商 式 是 4x2-7x+3， 余 式 是 -4注 意 ！ ！ 这 个 方 法 仅 用 于 除 式 为 x-
7、a 的 形 式 的 多 项 式 除 法综合除法，其实就是多项式除以多项式，一般步骤是：（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐 （2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项 （3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积 （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止被除式=除式商式+ 余式 如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除用上面的方法，下面给出几道利用综合除法分解因式的例题，作为掌握综合除法的练习：x3+x2-10x-6 6
8、=1*6=2*3 f(3)=0 所以有因式：（X-3） 用综合除法得： x3+x2-10x-6=(x-3)(x2+4x+2) x3+x2-10x+8 8=1*8=2*4 f(2)=0, 所以有因式：（X-2） 用综合除法得： x3+x2-10x+8=(x-2)(x2+3x-4)=(x-2)(x+4)(x-1) 4(x4)+4(x3)-9(x2)-x+2 2=1*2 f(1)=0 所以有因式：x-1 用综合除法得： 4x4+4x3-9x2-x+2=(x-1)(4x3+8x2-x-2)=(x-1)（x+2)(2x+1)(2x-1) 分解因式 a6-64(b6) =(a3+8b3)(a3-8b3) =(a+2b)(a2+4b2-2ab)(a-2b)(a2+4b2+2ab) x9+y9 =x3+y3x6+y6-x3y3 =x+yx2+y2-xyx6+y6-x3y3 8(a3)+b3+c3-6abc =2a+b+c4a2+b2+c2-2ab-2ac-bc 1+x+x2+x3+.+x15 =(1+x)+x2(1+x)+x4(1+x).+x14(1+x) =(1+x)(1+x2+x4+x6+.+x14) =(1+x)(1+x2)+x4(1+x2)+x8(1+x2)+x12(1+x2) =(1+x)(1+x2)(1+x4+x8+x12) =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
