1、8.1 数制与BCD码,所谓“数制”，指进位计数制，即用进位的方法来计数.,数制包括计数符号（数码）和进位规则两个方面。,常用数制有十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。,第8章 数字逻辑基础,8.1.1 常用数制,1. 十进制,(1) 计数符号: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.,(2) 进位规则: 逢十进一.,例: 1987.45=1103 +9102 + 8101 + 7100+410-1 +510-2,(3) 十进制数按权展开式,2. 二进制,(1) 计数符号: 0, 1 .,(2) 进位规则: 逢二进一.,(3) 二进制数按权展开式,例: 1011.01=
2、123 +022 + 121 + 120+02-1 +12-2,3.十六进制和八进制,十六进制数计数符号: 0,1, .,9,A,B,C,D,E,F. 十六进制数进位规则: 逢十六进一.,按权展开式：,例:,八进制数计数符号: 0,1, . . .6,7. 八进制数进位规则: 逢八进一.,按权展开式：,例:,4. 二进制数与十进制数之间的转换,(1)二进制数转换为十进制数(按权展开法),例：,例：,（2）十进制数转换为二进制数(提取2的幂法),(3) 二-八转换:,5,7,(4) 八-二转换:,每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数,011,001,.,100,111,每 3 位二进制数相
3、当一位 8 进制数,011,111,101,.,110,100,0,0,0,2,3,4,0,6,2,5 二进制数与八进制之间的转换,数字电路中采用二进制的原因：,1）数字装置简单可靠；,2）二进制数运算规则简单；,3）数字电路既可以进行算术运算，也可以进行逻辑运算.,8.1.2 几种简单的编码,用四位二进制代码来表示一位十进制数码,这样的代码称为二-十进制码,或BCD码.,四位二进制有16种不同的组合,可以在这16种代码中任选10种表示十进制数的10个不同符号,选择方法很多.选择方法不同,就能得到不同的编码形式.,二 - 十进制码 (BCD码)( Binary Coded Decimal co
4、des),常见的BCD码有8421码、5421码、2421码、余3码等。,常用BCD码,(1) 有权BCD码：每位数码都有确定的位权的码，例如：8421码、5421码、2421码.,如: 5421码1011代表5+0+2+1=8;2421码1100代表2+4+0+0=6.,* 5421BCD码和2421BCD码不唯一.,例: 2421BCD码0110也可表示6,* 在表中：, 8421BCD码和代表09的二进制数一一对应；, 5421BCD码的前5个码和8421BCD码相同，后5个码在前5个码的基础上加1000构成，这样的码，前5个码和后5 个码一一对应相同，仅高位不同；, 2421BCD码的
5、前5个码和8421BCD码相同，后5个码以中心对称取反,这样的码称为自反代码. 例：,40100 51011,00000 91111,(2) 无权BCD码：每位数码无确定的位权，例如：余3码. 余3码的编码规律为: 在8421BCD码上加0011,例 6的余3码为: 0110+0011=1001,* 余3码也是自反代码,格雷码和四位二进制码之间的关系:,设四位二进制码为B3B2B1B0,格雷码为R3R2R1R0, 则,2. 格雷码(Gray码),格雷码为无权码,特点为：相邻两个代码之间仅有一位不同,其余各位均相同.具有这种特点的代码称为循环码,格雷码是循环码.,8.2 逻辑代数基础,研究数字电
6、路的基础为逻辑代数，由英国数学家George Boole在1847年提出的，逻辑代数也称布尔代数.,8.2.1 基本逻辑运算,逻辑代数中只有三种基本逻辑运算,即“与”、“或”、 “非”。,1. 与逻辑运算,定义：只有决定一事件的全部条件都具备时，这件事才成立；如果有一个或一个以上条件不具备，则这件事就不成立。这样的因果关系称为“与”逻辑关系。,与逻辑电路,若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量“0”表示;将开关合上和灯亮的状态用逻辑量“1”表示,则上述状态表可表示为:,与门的逻辑功能概括： 1）有“0”出“0”； 2）全“1”出“1”。,真值表：所有输入和输出间逻辑关系,2. 或逻辑运算,定义：在
7、决定一事件的各种条件中,只要有一个或一个以上条件具备时，这件事就成立;只有所有的条件都不具备时,这件事就不成立.这样的因果关系称为“或”逻辑关系。,或逻辑电路,或门的逻辑功能概括为: 1) 有“1”出“1”; 2) 全“0” 出“0”.,3. 非逻辑运算,定义:假定事件F成立与否同条件A的具备与否有关,若A具备,则F不成立;若A不具备,则F成立.F和A之间的这种因果关系称为“非”逻辑关系.,非逻辑电路,设 A，B，C为逻辑变量 1）若A+B=A+C 则B=C 对否,2）若AB=AC 则B=C 对否,3）若A+B=A+C且AB=AC 则B=C 对否,(101011.01)2 =( )余3码,11
8、10110.01011000,练习：,8.2.2 复合逻辑运算,1. 与非逻辑 (将与逻辑和非逻辑组合而成),“有0出1，全1出0”,2. 或非逻辑 (将或逻辑和非逻辑组合而成),“全0出1，有1出0”,3.与或非逻辑 (由与、或、非三种逻辑组合而成）,“每组有0出1，某组全1出0”,异或逻辑的功能为:,1) 相同得“0”; 2) 相异得“1”.,4.异或逻辑,5.同或逻辑,同或逻辑的功能为:,1) 相同得“1”; 2) 相异得“0”.,8.2.3 逻辑电平及正、负逻辑,门电路的输入、输出为二值信号,用“0”和“1”表示.这里的“0”、“1”一般用两个不同电平值来表示.,若用高电平VH表示逻辑
9、“1”,用低电平VL表示逻辑“0”,则称为正逻辑约定,简称正逻辑;,若用高电平VH表示逻辑“0”,用低电平VL表示逻辑“1”,则称为负逻辑约定,简称负逻辑.,在本课程中,如不作特殊说明,一般都采用正逻辑表示.,思考题：有A，B，C三个人，其中A在房间时从不讲话，B只有A不在房间时才讲话，C只有A在房间时才讲话。请用逻辑表达式说明房间在什么情况下有人说话。,解：设：A，B，C 在为1；不在为0F 有人讲话为1；无人讲话为0,8.2.4 基本定律和规则,1. 逻辑函数的相等,因此,如两个函数的真值表相等,则这两个函数一定相等.,设有两个逻辑:F1=f1(A1,A2,An)F2=f2(A1,A2,A
10、n)如果对于A1,A2,An 的任何一组取值(共2n组), F1 和 F2均相等,则称F1和 F2相等.,自等律 A 1=A ; A+0=A,重迭律 A A=A ; A+A=A,交换律 A B= B A ; A+B=B+A,结合律 A(BC)=(AB)C ; A+(B+C)=(A+B)+C,分配律 A(B+C)=AB+AC ; A+BC=(A+B)(A+C),2. 基本定律, 01律 A 0=0 ; A+1=1,3. 逻辑代数的三条规则,(1) 代入规则,任何一个含有变量x的等式,如果将所有出现x的位置,都用一个逻辑函数式F代替,则等式仍然成立.,由此可以证明反演定律对n变量仍然成立.,(2)
11、 反演规则,由F求反函数注意：,1）保持原式运算的优先次序；,2）原式中的不属于单变量上的非号不变；,(3) 对偶规则,则所得新的逻辑表达式即为F的对偶式，记为F.,对偶是相互的,F和F互为对偶式.求对偶式注意：,1） 保持原式运算的优先次序；,2）原式中的长短“非”号不变；,3）单变量的对偶式为自己。,对偶规则：若有两个逻辑表达式F和G相等，则各自的对 偶式F和G也相等。,使用对偶规则可使得某些表达式的证明更加方便。,已知 A(B+C)=AB+AC,A+BC=(A+B)(A+C),例 ：,一个四输入变量的逻辑函数F的反函数为：,思考题：,8.2.5 逻辑函数的标准形式,常用的逻辑函数式,1
12、最小项和标准与或式,（1）最小项特点,最小项是“与”项。,n个变量构成的每个最小项，一定是包含n个因子 的乘积项；, 在各个最小项中，每个变量必须以原变量或反变 量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。,标准与或和标准或与式,例 有A、B两变量的最小项共有四项(22)：,A B,例 有A、B、C三变量的最小项共有八项(23)：,（2） 最小项编号,任一个最小项用 mi 表示，m表示最小项，下标 i 为使该最小项为1的变量取值所对应的等效十进制数。,(3) 最小项的性质, 变量任取一组值，仅有一个最小项为1，其他最小项为 零；, n变量的全体最小项之和为1；, 不同的最小项相与，结果为0；, 两
13、最小项相邻，相邻最小项相“或”，可以合并成一 项，并可以消去一个变量因子。,相邻的概念：,两最小项如仅有一个变量因子不同，其他变量均相同，则称这两个最小项相邻.,相邻最小项相“或”的情况：,思考题：任一 n 变量的最小项，有几个相邻项？,最小项之和式为“与或”式，例：,=m(2 , 4 , 6),=(2 , 4 , 6),（4） 逻辑函数的标准与或式,=m（1，3，6，7）,2 最大项和标准或与式,（1）最大项特点,最大项是“或”项。,n个变量构成的每个最大项，一定是包含n个因子的“或”项；, 在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。,例 有A、B两变
14、量的最大项共有四项：,(2) 最大项编号,任一个最大项用 Mi 表示，M表示最大项，下标 i 为使该最大项为0的变量取值所对应的等效十进制数。,(3) 最大项的性质, 变量任取一组值，仅有一个最大项为0，其它最大项 为1；, n变量的全体最大项之积为0；, 不同的最大项相或，结果为 1；, 两相邻的最大项相“与”，可以合并成一项，并可以消去一个变量因子。,相邻的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他 变量均相同，则称这两个最大项相邻。,相邻最大项相“与”的情况：,逻辑函数的最大项之积的形式为“或与”式， 例：,= M (0 , 2 , 4 ) = (0 , 2 , 4 ),（4） 逻辑函数
15、的标准或与式,= M (1 , 4 , 5 , 6 ),若 F = mi,4 标准与或式和标准或与式的关系,例 : F (A , B , C) = (1 , 3 , 4 , 6 , 7),= (0 , 2 , 5 ),3 最小项和最大项的关系,编号下标相同的最小项和最大项互为反函数， 即,F (A , B , C) = (1 , 3 , 4 , 6 , 7),3. 真值表与逻辑表达式,真值表与逻辑表达式都是表示逻辑函数的方法。,（1） 由逻辑函数式列真值表,由逻辑函数式列真值表可采用三种方法，以例说明：,例： 试列出下列逻辑函数式的真值表。F（A，B，C）=AB+BC,方法一：将A、B、C三变
16、量的所有取值的组合（共八 种），分别代入函数式，逐一算出函数值，填入真值表中。,方法二：先将函数式F表示为最小项之和的形式：,=m（3，6，7）,F(A,B,C) =AB+BC,最后根据最小项的性质，在真值表中对应于ABC取值为011、110、111处填“1”，其它位置填“0”。,方法三：根据函数式F的含义，直接填表。 函数F=AB+BC表示的含义为：,1）当A和B同时为“1”（即AB=1）时，F=1,2）当B和C同时为“1”（即BC=1）时，F=1,3）当不满足上面两种情况时，F=0,方法三是一种较好的 方法，要熟练掌握。,根据最小项的性质，用观察法，可直接从真值表写出函数的最小项之和表达式
17、。,例：已知函数F的真值表如下，求逻辑函数表达式。,（2）由真值表写逻辑函数式,解：由真值表可见，当ABC取011、101、110、111时，F为“1”。,所以，F由4个最小项组成：,F（A，B，C）=m（3，5, 6，7）,8.2.6 逻辑函数的化简,化简的意义:,节省元器件,降低电路成本;, 提高电路可靠性;, 减少连线,制作方便.,最简与或表达式的标准：,1） 所得与或表达式中，乘积项（与项）数目最少；,2） 每个乘积项中所含的变量数最少。,卡诺图是一种包含一些小方块的几何图形,图中每个小方块称为一个单元,每个单元对应一个最小项.两个相邻的最小项在卡诺图中也必须是相邻的.卡诺图中相邻的含
18、义:, 几何相邻性,即几何位置上相邻,也就是左右紧挨着或者上下相接;, 对称相邻性,即图形中对称位置的单元是相邻的.,2. 卡诺图化简法,1)卡诺图的构成,例 三变量卡诺图,二、四变量卡诺图,用卡诺图表示逻辑函数，只是把各组变量值所对应的逻辑函数F的值，填在对应的小方格中。 （其实卡诺图是真值表的另一种画法）,2）逻辑函数的卡诺图表示法,3) 在卡诺图上合并最小项的规则,当卡诺图中有最小项相邻时（即：有标1的方格相邻)，可利用最小项相邻的性质，对最小项合并。规则为：,（1） 卡诺图上任何两个标1的方格相邻，可以合为1 项，并可消去1个变量。,例：,（2）卡诺图上任何四个标1方格相邻，可合并为一
19、项，并可消去两个变量。,四个标1方格相邻的特点：,同在一行或一列；,同在一田字格中。,例：,同在一行或一列,同在一个田字格中,（3）卡诺图上任何八个标1的方格相邻，可以并为一 项，并可消去三个变量。例：,思考题:,综上所述，在n个变量的卡诺图中，只有2的 i 次方个相邻的标1方格（必须排列成方形格或矩形格的形状）才能圈在一起，合并为一项，该项保留了原来各项中n-i 个相同的变量，消去i个不同变量。,4） 用卡诺图化简逻辑函数（化为最简与或式）,项数最少，意味着卡诺图中圈数最少；,每项中的变量数最少，意味着卡诺图中 的圈尽可能大。,1,1,1,1,1,F=A+BC,（最简）,（非最简）,例 将F
20、（A，B，C）=m（3，4，5，6，7）化为最简与或式。,例 将F（A,B,C,D）=m（0,1,3,7,8,10,13）化为最简与 或式。,解： (1) 由表达式填卡诺图;,(2) 圈出孤立的标1方格;,m13,(3) 找出只被一个最大的圈所覆盖的标1方格,并圈出覆盖该标1方格的最大圈;,(4) 将剩余的相邻标1方格,圈成尽可能少,而且 尽可能大的圈.,m7,m10,m0,m1,(5) 将各个对应的乘积项相加,写出最简与或式.,例：,一种特殊情况：,得到两种化简结果，也都是最简的。, 化简中注意的问题,(1) 每一个标1的方格必须至少被圈一次;,(2) 每个圈中包含的相邻小方格数,必须为2的
21、整数次幂;,(3) 为了得到尽可能大的圈,圈与圈之间可以重叠;,蓝色的圈为多余的.,例如:,(4) 若某个圈中的所有标1方格,已经完全被其它圈所覆盖,则该圈为多余的.,方法:在卡诺图中合并标 0 方格,可得到反函数的最简与或式.,例:, 用卡诺图求反函数的最简与或式,常利用该方法来求逻辑函数F的最简与或非式, 例如将上式F上 的非号移到右边,就得到F的最简与或非表达式.,逻辑函数化简的技巧,对较为复杂的逻辑函数，可将函数分解成多个部分，先将每个部分分别填入各自的卡诺图中，然后通过卡诺图对应方格的运算，求出函数的卡诺图。 对卡诺图进行化简。,=,在某些实际数字电路中,逻辑函数的输出只和一部分最小
22、项有确定对应关系,而和余下的最小项无关.余下的最小项无论写入逻辑函数式还是不写入逻辑函数式,都不影响电路的逻辑功能.把这些最小项称为无关项.用英文字母d(dont care)表示，对应的函数值记为“” 。,包含无关项的逻辑函数称为不完全确定的逻辑函数.,5) 不完全确定的逻辑函数及其化简,例: 设计一个奇偶判别电路.电路输入为8421BCD码,当输入为偶数时,输出为 0 ;当电路输入为奇数时,输出为1 .,由于8421BCD码中无10101111这6个码,电路禁止输入这6个码.这6个码对应的最小项为无关项.,利用不完全确定的逻辑函数中的无关项往往可以将函数化得更简单.,F(A,B,C,D)=m
23、(1,3,5,7,9)+d(10 15),F(A,B,C,D)=D,若不利用无关项（即将卡诺 图中的均作0处理）,则化 简结果为:,若利用无关项(即将卡诺图中的按化简的需要任意处理,将有些当作0,有些当作1),则化简结果为:,F(A,B,C,D)=m(1,3,5,7,9)+d(10 15),完整地将函数写为：,例：,函数F表达式成立是在 AB不能同时为1而且CD不能同时为1这个约束条件下 若不满足条件则F表达式不成立，不成立不是指F为0,是F的值未定义。,AB+CD=0,6)多输出逻辑函数的化简,实际的数字电路，常常是一个多输出电路，即对应 于相同一组输入变量，存在多个输出函数。,多输出函数的化简也是以单个函数的化简方法为基础，但要考虑到整体电路最简。,例:,若按单个函数化简方法,化简的结果为：,从整体出发，考虑函数的化简,化简的结果为：,第一章 小结,一、数制与码,1、常用数制 （二，十，八，十六）,2、数制转换,（二十；二十六；二八）,3、码,（BCD码；格雷码）,BCD码：8421码，2421码，5421码，余3码,二、逻辑代数,1、基本运算（三种）；复合运算（五）,2、基本定律；三个规则；四个公式,反演律，反演规则,3、函数的表示方法,表达式（五种）；真值表；二者间转换,4、函数的化简,公式；卡诺图,无关项在卡诺图中的应用,
