四边形中考复习讲义.doc

1、19 四边形 小结 1 概述通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质及判定，了解它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和判定解决一些计算问题和实际问题.同时，本章探索并了解了有关三角形中位线、梯形中位线的相关知识 小结 2 学习重难点【重点】掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定；会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运用；理解并掌握三角形中位线、梯形中位线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题.【难点】掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及判定条件，以及它们之间存在的

2、联系与区别，会应用三角形中位线、梯形中位线解决一些简单问题.【应注意的问题】通过设立问题情境，主动探索和自觉总结四边形的相关性质，掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来解决.小结 3 中考透视中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢记多边形、平行四边形的性质和判定是关键和前提知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题 1 平行四边形

3、、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质【专题解读】 围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命题.例 1 下列说法错误的是 ( )A.平行四边形的对角相等B.等腰梯形的对角线相等C.两条对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是菱形例 2 如图 19-125 所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，E为 BC 的中点，设DEA 的面积为 1S，梯形 ABCD 的面积为2S，则 1与 2的关系为 .例 3 如图 19-126 所示，ABCD 是正方形，G 是 BC 上一点， DEAG于点 E， BFA于点 F.（1）求证ABFDAE；（2）求证 DB.例 4

4、如图 19-127 所示，将一张矩形纸片 ABCD 沿着 GF 折叠（F 在 BC 边上，不与 B，C 重合） ，使得 C 点落在矩形 ABCD 的内部点 E 处，FH 平分 FE，则 GH的度数 a 满足 （ ）A.90a180B.a=90C.0a90D.a 随关折痕位置的变化而变化例 5 如果菱形的一条对角线长是 12，面积是 30 2cm，那么这个菱形的另一条对角线长为 .例 6 如图 19-128 所示， ABCD的周长为 16， AC， BD 相交于点 O， EAC，交AD 于点 E，则的DCE 周长为 （ ）A.4 B.6C.8 D.10二、规律方法专题专题 3 构造中位线解决线段

5、的倍分关系【专题解读】 题目中涉及 12或 2 倍关系时，常常考虑构造中位线.例 7 四边形 ABCD 为平行四边形， ,ADaBEAC，DE 交 AC 的延长线于 F 点，交BE 于 E 点.（1）求证 ;DFE（2）若 2,60,ACAC求 BE 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形 ABED 的面积.专题 4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题【专题解读】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.例 8 如图 19-130 所示，在 ABCD中， 2,BM是 DC 的中点， ,BEADE是垂足，求证 3EMC.例 9 如图 19-131 所示，在 ABCD中

6、，E，F 分别是边AD，BC 的中点，AC 分别交 BE，DF 于点 M，N.给出下列结论：ABM CDN； 1;3 2;SAMB12 SABC .其中正确的结论是 . （只填序号）专题 6 动手操作题【专题解读】 这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论.例 10 某市要在一块块形状为平行四边形 ABCD 的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是 ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在A的四条边上，请你设计两种方案.方案（一）：如图 19-132（1 ）所示，两个出入口 E，F 已确定，请在图（1）上画出符合

7、要求的四边形花园，并简要说明画法.方案（二）：如图 19-132（2 ）所示，一个出入口 M 已确定，请在图（ 2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.三、思想方法专题专题 7 转化思想【专题解读】 本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理.例 11 如图 19-134 所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，90,25,4,CABC将该梯形折叠，点 A 恰好与点 D 重合，BE 为折痕，那么 AD的长度为 .专题 8 方程思想【专题解读】 本章主要体现在通过方程（组） 、不等式（组）恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.例 12 已知两个多边形的内角和为 1

8、440，且两多边形的边数之比为 1：3，求它们的边数分别是多少.2011 中考真题精选1. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，过点 D 作 DEBC，垂足为 E，并延长 DE至 F，使 EF=DE连接 BF、 CD、AC（1）求证：四边形 ABFC 是平行四边形；（2）如果 DE2=BECE，求证四边形 ABFC 是矩形考点： 等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质专题： 证明题2. （ 2011 四川广安，23，8 分）如图 5 所示，在菱形 ABCD 中，ABC 60，DEAC 交BC 的延长线于点 E求证：DE

9、12BEEDCBA考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分图 5关系专题：四边形3. （2010 重庆，24，10 分）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，DCB=45，CD=2，BD CD过点 C 作 CEAB 于 E，交对角线 BD 于 F，点 G 为 BC 中点，连接EG、AF（1）求 EG 的长；（2）求证：CF=AB+AFABEG CDF24 题图考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理4. （2011泰州，24，10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，直线 l 垂直平分线段 AC，垂足为 O，直线 l 分别与线段 A

10、D、CB 的延长线交于点 E、F（1）ABC 与FOA 相似吗？为什么？（2）试判定四边形 AFCE 的形状，并说明理由考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。专题：证明题；综合题。5. （2010 重庆， 26，12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB =6，BC=2 3，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP=3一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA匀速运动，到达 A 点后，立即以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点发发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动，点 E、F 同时出发，当两

11、点相遇时停止运动，在点 E、F的运动过程中，以 EF 为边作等边 EFG，使EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧设运动的时间为 t 秒（t0） （1）当等边EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S与 t 之间的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围；（3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，是否存在这样的 t，使AOH 是等腰三角形？若存大，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由AD CO B PFE26 题图考点：相似三角形的判定与性质；根据

12、实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形6. （ 2011 湖北咸宁，22，10 分） （1）如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求EAF 的度数（2）如图 ，在 RtABD 中，BAD=90，AB=AD，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且MAN =45，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADH 位置，连接 NH，试判断MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由（3）在图 中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N ，若 EG=4，GF=6，BM=3 ，求

13、2AG，MN 的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。7.（2011 贵港）如图所示，在梯形 ABCD 中，AD BC，AB=AD，BAD 的平分线 AE 交 BC于点 E，连接 DE（1）求证：四边形 ABED 是菱形；（2）若ABC=60，CE=2BE，试判断CDE 的形状，并说明理由考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：几何综合题。8. （2011安顺）如图，在ABC 中，ACB=90 ，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB于 E，F 在 DE 上，且 AF=CE=AE（1）说明四边形 ACEF 是平行四边形

14、；（2）当B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。9. （2011 湘西州）如图，已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O，ACB=30，AB=2（1）求 AC 的长（2）求AOB 的度数（3）以 OB、OC 为邻边作菱形 OBEC，求菱形 OBEC 的面积考点：矩形的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。专题：综合题。10.（2011 年山东省东营市，19，8 分）如图，在四边形 ABCD 中，DB 平分ADC，ABC=120，C=60 ，BDC=30 ；延长 CD 到点 E

15、，连接 AE，使得E= 12C （1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形；（2）若 DC=12，求 AD 的长考点：等腰梯形的性质；含 30 度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质专题：计算题；证明题11. （2011 浙江宁波， 23，？）如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD是对角线，过点 A 作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G（1）求证：DE BF；（2）若G90，求证：四边形 DEBF 是菱形考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：证明题。12. （2011 浙江嘉兴，23， 10 分）以四边形 ABCD 的

16、边 ABBCCDDA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 EFG H ，顺次连接这四个点，得四边形EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明） ；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC=（090） ，试用含 的代数式表示HAE；求证： HE=HG；四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质专题：证明题13. （2011 梧州，22，8 分）如图，在

17、ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 DE延长 DE 交AB 的延长线于点 F求证：AB=BF考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。14. （2011 玉林， 25，10 分）如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AG 为边作一个正方形 AEFG，线段 EB 和 GD 相交于点 H（1）求证：EB=GD；（2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；（3）若 AB=2，AG= 2，求 EB 的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。15. （ 2011安顺， 25，9 分）如图，在 ABC 中， ACB=9

18、0，BC 的垂直平分线 DE 交 BC于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，且 AF=CE=AE（1）说明四边形 ACEF 是平行四边形；（2）当B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。16. （2011 海南，23，10 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 P、Q 分别在边AB、BC 上，且 APBQ（1）求证：BDQADP；（2）已知 AD3，AP2，求 cosBPQ 的值（结果保留根号） 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。17. （2011 黑龙江省哈尔滨

19、,23，6 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，BEAC，垂足为 E，DFAC，垂足为 F求证：DF=BE考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。综合验收评估测试题(时间：120 分钟 满分：120 分)一、选择题1若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形 ( )A一定是矩形 B一定是菱形C一定是正方形 D形状不确定2如图 19-135 所示，设 F 为正方形 ABCD 上一点， CEF交AB 的延长线于点 E，若正方形 ABCD 的面积为 64，CEF 的面积为 50，则CBE 的面积为 （ ）A20 B24C25 D263已知四边形 ABCD

20、是平行四边形，下列结论不一定正确的是 （ ）A BDBC当 时，它是菱形D当 90时，它是矩形4如图 19-136 所示，AB CD， AECD交 CD 于点 E，12,5,2AEB.则梯形 ABCD 的面积为 （ ）A130 B140C150 D1605下列命题错误的是 ( ) A平行四边形的对角相等B等腰梯形的对角线相等C两条对角线相等的平行四边形是矩形D对角线互相垂直的四边形是菱形6在矩形 ABCD 中， 2,ABDE是 CD 上一点，且 ,AEB则 C的度数是（ ）A30 B22.5 C15 D以上都不对7菱形的周长为 20，两邻角的角度之比为 1：2，则较长的对角线的长为 （ ）A4

21、.5 B4C 53 D 438.顺次连接等腰梯形的四边中点，得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点，得到的图形是 （ ）A等腰梯形 B直角梯形C菱形 D矩形9小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，生产一批形状如图 19-137 所示的风筝.点 ,EFGH分别是四边形 ABCD 各边的中点，其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）.若生产这批风筝需要甲布料 30 匹，那么需要乙布料 （ ）A15 匹 B20 匹C30 匹 D60 匹10如图 19-138 所示，在 ABCD中，已知 8A， 6B， DE 平分 ADC，交 BC 边于点 E

22、，则 BE 等于 （ ）A2 B4 C6 D8二、填空题11顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形是 .12矩形的周长为 48，长比宽多 2，则矩形的面积为 2cm.13如图 19-139 所示，在 ABD中，AC 与 BD 交于点 O，点 E 是 BC 边的中点，OE=1，则 AB 的长是 .14如图 19-140 所示，在 C中， EB于点 E，AFC于点 F， 75，则 AF= .15如图 19-141 所示，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC ， 60,4,7BADBC，则梯形 ABCD 的周长是 .16如图 19-142 所示，在 中，BD 为对角线，E，F 分别是 A

23、D，BD 的中点，连接 EF，若 EF=3，则 CD 的长为 .17若矩形的一条短边的长为 5，两条对角线 的夹角为 60，则它的一条较长的边为 .18如图 19-143 所示，折叠矩形纸片 ABCD，先折出折痕 BD再折叠，使 AD 落在对角线 BD 上，得折痕 DG，若AB=2，BC=1 ，则 AG= .19若菱形的两条对角线长分别为 16和 12，则它的边长为 ，面积为 2cm20已知等边三角形 ABE 在正方形 ABCD 内，DE 的延长线交 CB 于 G，则 BE .三、解答题21如图 19-144 所示，在 ABCD中，点 E 是 AD 的中点，连接 CE 并延长，交 BA 的延长

24、线于点 F.求证 .22如图 19-145 所示，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DEAG于点 E，BF DE，交 AG 于点 F，求证 ABEF.23如图 19-146 所示， ABCD的对角线 AC，BD 相交于点 O， EFBD于点 O，分别交 AD，BC 于点 E，F，且 12BF.求证四边形 ABCD 为矩形.24在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AD=BC，AC 为对角线，且 AC 平分,DAB.（1）求梯形各内角的度数；（2）当梯形的周长为 30 时，求各边的长；（3）求梯形的面积.25某生活小区的居民筹集资金 1600 元，计划在一块上、下底

25、分别为 10m，20m 的梯形空地上种植花木（如图 19-147（1）所示）.（1）他们在AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为 8 元/，当AMD 地带种满花后（图形阴影部分） ，共花了 160 元.请计算种满BMC 地带所需的费用；（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为 12 元/和10 元/.应选择哪能种花木种植，可以刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形 ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图 19-147（2）所示） ，请设计一种花坛图案，即在梯形内找一点 P，使APBDPC 得，且 SAPD =SPBC，并说出理由.26如图 19-148 所示，在梯形 AB

26、CD 中，ADBC，AB DE，AFDC，E，F 两点在边 BC 上，且四边形 AEFD 是平行四边形 .（1）AD 与 BC 有何数量关系？请说明理由；（2）当 AB=DC 时，求证四边形 AEFD 是矩形.参考答案1D提示：可以是正方形、菱形或等腰梯形 . 2B提示：易证BCEDCF， CEF. ,C 2150E，CE=10.在RtBEC 中，BC=8， 221086B，SBCE= 68=24. 3B提示：平行四边形的对角线不一定相等. 4C提示：过点 A 作 AFBD 交 CD 的延长线于点 F，则四边形 AFDB 是平行四边形， 15,.FD易证 SADF=SABC，即 SAPC =S

27、 梯形 ABCD.2219E, 2ECA016, 165,FSFAC= 2502CAE. 5D提示：对角线互相垂直的四边形可以为任意四边形. 6C提示： 1,DBAE在 RtADE 中，1,2 30.ABCD， 30BAED. BAE，,ABE 181807522， 909075CABE. 7C提示：两邻角之比为 1：2，两邻角的度数分别为 60，120.较短对角线长为 5，较长对角线长为253（）. 8D提示：第一次连接得到的四边形是菱形，第二次连接得到的四边形是矩形. 9C提示：S 阴影 = S 剩余 . 10A 提示：在 ABCD中， ADBC ，则 ADEC.又 E， ,E 6B.又8

28、BC， =2. 11菱形 12143提示：设两边长分别为 ,xy，则 2()48,2yx， 13,xyS 矩形=1311=143（ 2cm）. 132提示：由题意知 OE 是ABC 的中位线， ABOE. 1475提示： ABC=75， 105.在四边形 AECF 中， AF=360-90-90-105=75. 1517提示：如图 19-149 所示，过点 D 作 DEAB 交 BC 于点E，则易证四边形 ABED 是平行四边形，CDE 是等边三角形，所以 4,743,3BADBEABCE.所以梯形 ABCD 的周长为 7317， 166提示：因为 EF 为ABD 的中位线，所以 26F.又因

29、为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 6CA. 17 5提示：较长边长= 21053（）. 18 12提示： 2215BD，设 AGx，点 A 落在对角线 BD 上的对应点为 A，则 Cx， 1ABD.在 Rt B中，22AG，解出方程即可. 1910 96提示：边长221610（）. 2045提示： AED75， BEG=180-75-60=45.21证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ,ADCABDC. .FAEDC.又 ,AFEDCE. F. B.22证明：四边形 ABCD 是正方形， ,90ADB. ,DEAG90DEGA， E.又 FB=90， BF.BFDE， .在ABF 与

30、DAE 中，,.AABFDAE（AAS）. BFE. AF=AE+EF， AF=BF+EF.23证明：因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 ,AOCDABOC，所以AOECOF.所以 .EF又因为 所以BFDE.因为 12ABF，所以 1,2又 ，所以=30.所以 60O.因为 A所以 DAOE30，所以，所以 C，所以四边形 ABCD 为矩形.24解：（1）如图 19-150 所示，因为 AC 平分 B，所以1=2.又因为 DCAB，所以2=3.所以1=3.设1=a，则2=a， 2Ba.因为 C，所以90A.所以 90，即 290a，所以 a=30，2a=60 .所以梯形 ABCD 各内

31、角的度数分别为1,DC6DA. （2）因为1=3，所以 C.又因为2=30 ， 90ACB，所以 2ABC.因为梯形 ABCD 的周长为 53BD，所以 6.所以等腰梯形各边长分别为 6,12. （3）过点 C 作 E于点 E，则32ABCDE，所以 26E.所以 S 梯形 ABCD=11()(2)37.25提示：（1）四边形 ABCD 是梯形，ADBC， AMDCMB，SAMD：SBMC = 20:4，故BMC 地带花费为 160848=640（元）. （2）S 梯形 ABCD =180，SAMB + SDMC=180-20-80=80（） ，160+640+8012=1760（元） ，16

32、0+640+8010=1600（元） ，种植茉莉花刚好用完所筹集的资金. （3）由APB DPC 可知点 P 在 AD， BC 的中垂线上.设APO 的高为 x，则 SAPO= 102x， SBPC120()， ()x，解得 8，故当点 P 为 AD， BC 的中垂线上且与 AD 的距离为 8m 时，SAPD = SBPC.26 （1）解： 13ADBC.理由如下：ADBC，ABDE，AF DC ，四边形 ABED和四边形 AFCD 都是平行四边形， ,ADBEFC.又四边形 AEFD 是平行四边形， EF. F. 13. （2）证明：四边形ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形， ,D. ,ABCDA.又四边形 AEFD 是平行四边形，四边形 AEFD 是矩形.