1、 http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！几何特训加强版之圆一、主要知识点回顾（一）圆的有关性质1. 圆上各点到圆心的距离都等于 半径 .2. 圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心.3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的弧 ；平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的弧.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 .5. 同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等
2、于它所对的圆心角的 一半 .6. 直径所对的圆周角是 直角 ，90所对的弦是 直径 .（二）与圆有关的位置关系1. 点与圆的位置关系共有三种：d r 点在圆外；d=r 点在圆上；d r 直线与圆相离；d=r 直线与圆相切；dr 直线与圆相交.3. 圆与圆的位置关系共有五种：两圆的圆心距为 d，两圆的半径分别是 R、r（Rr）d R r 内含，d =Rr 内切， Rr d Rr 相交，d = Rr 外切，d Rr 外离.4. 圆的切线 垂直于 过切点的半径；经过 半径的外端点 ，并且 垂直于 这条 半径 的直线是圆的切线.5. 从圆外一点可以向圆引 2 条切线， 切线长 相等。6. 三角形的三个
3、顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外 心，是三角形 三边垂直平分线 的交点.7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ，内切圆的圆心是三角形 三个角平分线 的交点，叫做三角形的 内心 .（三）圆中的计算问题1. 圆的周长为 ，n的圆心角所对的弧长为 ，弧长公式为 .2. 圆的面积为 ，n的圆心角所在的扇形面积为 S= = = .http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！3. 圆柱的侧面积公式：S= .（其中 为 的半径， 为 的高）4. 圆锥的侧面积公式：S= .（其中 为 的半径， 为 的长）二、基础应用1.如图
4、， 是 O 的直径，点 在 O 上，则 的度数为（ ） A B C D2.如图，已知圆心角 ，则圆周角 的度数是（ ） A B C D3.如图所示，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC则四边形 OACB 是（ ）A正方形 B.长方形 C菱形 D以上答案都不对http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！第1题4.如图， 是 O 的弦， 于点 ，若 ， ，则O 的半径为 cm5. 如图，半圆的直径 AB_ 6. O 的半径为 ，圆心 O 到直线 的距离为 ，则直线 与 O 的位置关系是（ ）A 相交 B 相切 C 相离 D 无法确定7.如图，国际奥委会会旗上的
5、图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关系有（ ） A内切、相交 B外离、相交 C外切、外离 D外离、内切8.两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )A外切 B相交 C相离 D内切9.如图，从圆 外一点 引圆 的两条切线 ，切点分别为 如果 ，那么弦 的长是（ ）A4 B8 C D10.已知O 的半径是3，圆心 O 到直线 AB 的距离是3，则直线 AB 与O 的位置关系是 .http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！11.如图，在O 中， ， ， 则劣弧的长为 cm12.翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形 AOB 的面积是36米
6、2，的长度为9米，那么半径 OA 米13.如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120，则扇形的面积为_ .(结果保留 ）14.已知扇形的半径为2cm，面积是 ，则扇形的弧长是 cm，扇形的圆心角 15.如图，正六边形内接于圆 ，圆 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为 三、例题精讲例1 如图：=， 分别是半径 和 的中点， 与 的大小有什么关系？为什么？变式练习1： 已知：如图， ，在射线 AC 上顺次截取 AD =3cm，DB =10cm，以 DB 为直径作O 交射线 AP 于 E、F 两点，求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万
7、上海家长首选朗朗家教网！例2如图，线段 经过圆心 ，交 O 于点 ，点 在 O 上，连接 ， 是 O 的切线吗？请说明理由变式练习2：如图所示，O 的直径 AB=4，点 P 是 AB 延长线上的一点，过 P 点作O 的切线，切点为C，连结 AC.（1）若CPA=30 ， 求 PC 的长；（2）若点 P 在 AB 的延长线上运动，CPA 的平分线交 AC 于点 M. 你认为CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求CMP 的大小.变式练习3：如图， 是 O 的直径， 是 O 的弦，延长 到点 ，使 ，连结 ，http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗
8、朗家教网！过点 作 ，垂足为 （1）求证： ；（2）求证： 为 O 的切线；（3）若 O 的半径为5， ，求 的长例3:如图，CD 切O 于点 D，连结 OC，交O 于点 B，过点 B 作弦 ABOD ，点 E 为垂足，已知O 的半径为 10，sinCOD = (1)求弦 AB 的长；（2）CD 的长；（3）劣弧 AB 的长.（结果保留三个有效数字， ， 3.142）变式练习4：如图， 为O 的直径， 于点 ，交O 于点 ，于点 （1）请写出三条与 有关的正确结论；（2）当 ， 时，求圆中阴影部分的面积http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！变式练习5：
9、如图，线段 与O 相切于点 ，连结 、 ， 交 O 于点 D，已知， . 求（1）O 的半径； （2）图中阴影部分的面积四、巩固与提高1.下列命题中，正确的是（ ） 顶点在圆周上的角是圆周角； 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； 的圆周角所对的弦是直径； 不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 同弧所对的圆周角相等A B C D2.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB16m，半径 OA 10 m，高度 CD 为_ _m3.如图， O 中 ， ，则 的度数为 http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！第4题 第5题4.如图，P 为O 外一点，
10、PA 切O 于点 A，且 OP=5， PA=4，则 sinAPO 等于（ ）A B C D5. 如图，O 1，O 2，O 3两两相外切，O 1的半径 ，O 2的半径 ，O 3的半径 ，则 是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角三角形或钝角三角形6.O 是ABC 的外接圆，O 的半径 R2，sinB ，则弦 AC 的长为 7.已知， 的半径为 ， 的半径为 ，且 与 相切，则这两圆的圆心距为_8. 中， ， ， ，两等圆 A， B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）A B C D9.如图，在矩形空地上铺4块扇形草地若扇形的半径均为 米，圆心角均为 ，则铺上的
11、草地共有 平方米10.（08广州）如图，射线 AM 交一圆于点 B、C ，射线 AN 交该圆于点 D、E，且=（1）求证：AC = AE；（2）利用尺规作图，分别作线段 CE 的垂直平分线与MCE 的平分线，两线交于点 F（保留作图痕迹，不写作法） ，求证：EF 平分CEN http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！11.如图所示， 是直角三角形， ，以 为直径的 O 交 于点 ，点 是边的中点，连结 （1）求证： 与 O 相切；（2）若 O 的半径为 ， ，求 12.如图，已知 是 O 的直径，点 在 O 上，且 ， （1）求 的值；（2）如果 ，垂足为 ，求 的长；（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1） http:/ 同济家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！
