1、函数专题：数学归纳法梁久阳一基本步骤：（一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数 n 有关的命题 P(n)，有如下步骤： （1）证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立。 n0 对于一般数列取 值为 0 或 1，但也有特殊情况； （2）假设当 n=k（kn0，k 为自然数） 时命题成立， 证明当 n=k+1 时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数 n（n0），命题 P(n)都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题 P(n)， （1）验证 n=n0 时 P(n)成立； （2）假设 n0nn0）成立，能推出 Q(k)成立，假 设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)
2、成立； 综合（1）（2），对一切自然数 n（n0），P(n)，Q(n)都成立。二实际应用（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。 （2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 （3）证明数列前 n 项和与通项公式的成立。 （4）证明和自然数有关的不等式。等等。数学归纳法其实是一件很有用的工具，如果能够使用得当的 话，会使解决 问题的难度大大降低。三试题研究（1）直接证法与数学归纳法的比较所谓 直接证 法，便是置 n 的任何具体值于不顾，仅仅把它看成是一个任意的自然数，也就是说，假定它只具备任何自然数都具
3、备的共同性质，并在 这样 的基础上进行推导。3 证明：对任何自然数 n，如下的等式都能成立：证明：我们有+cosx+cos2x+cosnx=21xsi21（= （sin x+2cosxsin x+2cos2xsin x+2cosnxsin x）xsin21212121利用积化和差公式2cossin=sin（+）-sin（-）即知sin x+2cosxsin x+2cos2xsin x+2cosnxsin x21212121=sin x+(sin x-sin x)+(sin x-sin x)+(sin(n+ )x-sin（n- ）x)35321=sin(n+ )x21综合上述等式即得所证，可见不
4、论 n 为任何自然数，所证的恒等式都能成立。这就是我们所说的“置 n 的任何具体值于不顾”的含义。运用数学 归纳 法，也可以使像例 1 这样一些可以通过直接 证法证明的问题得到解决。例 1 又证 当 n=1 时，我们有左式= +cosx2右式= =xsin213xsin4-i213（= -2sin x= -(1-cosx)33= +cosx21所以对于 n=1，等式是成立的。假设对于 n=k，等式成立，即有+cosx+cos2x+coskx=21xsink21（我们要来证明对于 n=k+1,等式也成立。我们有+cosx+cos2x+coskx+cos（k+1）x21= +cos(k+1)xxs
5、ink21（= six21)sinco(k（= xsinx)ksi-(xksin21321（ = xsin213（= xsin)k21（所以，对于 n=k+1，等式也成立。从而对一切自然数 n，等式都成立。我们可以比较一下直接证法与数学归纳法，我个人认为，直接证法虽然漂亮，但比较难想，一试时没有充裕的时间，因此很难想出来。相反，数学归纳法简洁明了，步骤清晰，很容易想到。由此看来，这种解题方式确实有着它独特的优越性。（2）学会从头看起有时，为了实现归纳过渡，我们在证明 n=1 成立的同时，还要证明 n=2,3使命题在n=k+1 时更容易做出。下面便是一例：【例 3】 设正数数列 满足关系式 -
6、+1,证明，对一切 nN，有 。 n1证明：n=1 的情形显然，而当 n=2 时，由于 a2a1-a1= -( -a1) 知断言也成立。假42设当 n=k 时，断言成立，即有 ak ，则当 n=k+1 时，有ak+1ak -ak= -( -ak) -（ - ）= =41221-12k1知断言也成立。因此由数学归纳法原理知，对一切 nN，都有 an 。细心的我们会发现，在上面的论证中， “n=2”（即 a2 ）并未在归纳过渡中发挥作用，1因此按理说来是不用验证这一步的。但是，它却启示了我们如何将（a1-a1）改写成一种便于使用归纳假设的形式，而这种启示对于实行归纳过渡是非常重要的。可见这种对 n
7、=2 情形的考察是很有好处的。（3） “正确”选取起点与跨度起点的选取【例 3】 证明：任意 n 条直线均能重合成一条直线。证明：当 n=1 时，命题显然成立。假设当 n=k 时，命题已经成立。那么当 n=k+1 时，可以先让其中 k 条直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一条重合为一条直线，即知命题也可成立。所以任意 n 条直线均能重合成一条直线。怎么会呢？这个定理与我们以前所了解到的知识明显不符啊。最初看到这道题的证明时，我便感觉到，他对我的以前形成的几何观产生了深深的挑战。后来仔细一想，我觉得，矛盾的产生不是因为我自身出现了问题，而是这道题本身有问题！这个证明上的逻辑漏洞，就在于在进
8、行归纳过渡时，需要用到“可将任意两条直线重合为一条直线”的论断，即“n=2”时的命题。但是我们只证明了“n=1”时的命题，并没有对“n=2”的命题加以证明，并且事实上它也是不能被证明的。由此可见，认真考察起点附近的命题是多么的重要!但是，是不是在每一个问题的证明中，都要先对起点附近的命题“n=0” 、 “n=2”、“n=3”呢？并不是的。究竟是否需要验证以及需要验证几个，完全取决于命题本身的特点，尤其是取决于在进行归纳过渡时的需要。【例 4】是否存在一个等差数列a n，使得对任何自然数 n，等式：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论分析：与上题一样，这道题
9、的起点也需要我 们费一些思考。是“n=1”么？是“n=2”么？不，都不对，是“n=3”！本题需要采用由特殊到一般的思 维方法，先令 n=1，2，3 时找出来a n，然后再证明一般性解：将 n=1，2，3 分别代入等式得方程组，604321a解得 a1=6，a 2=9，a 3=12，则 d=3故存在一个等差数列 an=3n+3，当 n=1，2，3 时，已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列 an=3n+3，对大于 3 的自然数，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因为起始值已证，可证第二步骤假设 n=k 时，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1
10、)(k+2)那么当 n=k+1 时，a1+2a2+3a3+kak +(k+1)ak+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3=(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1(k+1)+2这就是说，当 n=k+1 时，也存在一个等差数列 an=3n+3 使 a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)成立综合上述，可知存在一个等差数列 an=3n+3，对任何自然数 n，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立跨度的选取【例 5】证明：对任意整数 n（n3），存在一个正整数的完全立方，使得它可以表示成n
11、个不同正整数的立方之和。证明：这事实上是一个归纳构造问题。如果我 们采用常规 的跨度为“1”的归纳，将会灰常困难，至少我不能做出。这个时候，就需要我们的大胆想象，改变归纳的跨度。那么这个跨度是几呢？别急，我 们先对 n 进行分析。不难算得，3+4+5= 6；5+7+ 9+10=13再往下，我们就不好找了。事实上，我们也不用找了，因为这些已经够了。我们观察“3+4+5=6”，1 变 3，多出了 2 个数，这样我们便已经可以大胆地采用“2”为跨度了。假设对 n3，存在可表示成 k 个不同正整数立方之和的完全立方数 m，设m=a1+a2+ak （1）这里 a1a2ak 都是正整数。由（1）容易看出（
12、6m）=（6a1）+（6a2）+(6ak) = (3a1) +(4a1) +(5a1) +(6a2) +(6ak) 而显然有，3a14a15a16a26ak，故它们是不同的正整数。这表明，我们做出的 （6m）能表示成 k+2 个不同正整数的立方和。综上所述，原命题得证。注：可以证明，不存在能表示成两个正整数立方和的完全立方数，所以题目中“n3”的条件是必要的。（4）强化命题作为“以退为进”的典范，反证 法以它强大的本领和顽强的生命力，帮助我们解决了许多困难的问题。相反，如果再让我 们 找一个“以进为退”的工具的话 ，那无疑就是强化命题了。它能帮我们找出，那些出题人故意 隐藏起来的， “无法言说
13、”的 东西。同侧加强：它的字面意思是，对所证不等式的同一方向 (可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 Axf)(,只要 证明 )0()(BAxf,其中 通过寻找分析 ,归纳完成.下面是一个可能比较困难的问题，需要我们认真去思考。当然，数学 归纳法是必不可少的工具，第二 问还要适当地用下分析法。【例 6】已知 an 12a n2 ,且 a11.1an(1)求证: 23 32()4(1)4n(nN*)(2)求证: 数列a n前 n 项和3()nS(n1, nN*)解:(1) an1 2a n2 , 则 an1 2a n2 于是有: 12naa an1 2a 12 1an 1an a n1
14、21要证明: 2 23 312()4()4n只需证明: 13na(*) 下面使用数学归纳法证明: 11332na(n1,nN*) 在 n1 时, a 11, a 12, 则 n1 时 (* )式成立. 12假设 nk 时, 1332ka成立, 由 22331114kkk要证明: 13344()2k只需 2k123()只需(2k1) 38k(k1) 2 只需证: 123()k,进而只需证: 4k211k80, 而 4k211k80 在 k1时恒成立. 于是: 2314ka. 因此 11233()()ka得证. 综合可知( *)式得证, 从而原不等式成立.(2)要证明: 3(2)nS,由(2)可知
15、只需证: 333(2)(1)44n(n2) (* )下面用分析法证明: (*)式成立. 要使(*)成立,只需证: (3n2) (3n1)3n 3n 1即只需证: (3n2) 3n(3n1) 3(n1), 只需证:2n1. 而 2n1 在 n1 时显然成立,故(*)式得证.于是由(*)式可知有: 3(2)54n32 33 3n因此有: S na 1a 2a n12( ) 3(2)n32 33 3n上个例子可能有点难，下面来个相 对简单的问题，关 键是如何想到加 强命题的。第二问可能我们都会想到用归纳法，但是就命 题本身而言，直接 证明，反正我没做出来，也没能想出如何加强命题的。 这种构造，其实需
16、要经验的积累。【例 7】 （1）已知 ， ，数列 前 项和为 ，求证：当132nna132nbanbnS时， ；2n22()nnSS（2）证明： .12245nnbb解：（1）消去 an，得 ，当 时， ， ，两边平1nnS1nnS方得： 212nSS， ，212()nn2232()nnS212S相加得： 3222111()()3nnS n又 221()3()11( 0n 232()nnSS（3）构造 ，即证122415nnbb1n先用数学归纳法证明：当 时，显然成立1,假设当 时命题成立，即(2)nk1142521kk则当 时114325445252kk这就是说当 时命题成立。对任意n*nN
17、恒成立。1221nbb故 。1245nn双向加强有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:欲证 明 BxfA)(,只要证明:),0()BACxfA.【例 8】已知数列 na, , 01, 1221 Nnaan.记 nS21, )1()()(21211 nn aT .求证:当 N时. (1) na; (2) nS; (3) 3nT.解析:(1) 121na,猜想 ,下面用数学归纳法证明 :(i)当 时, ,结论成立;(ii)假设当 )(k时, ka,则 )1(kn时, 212kkaa从而 1212nka,所
18、以 01k 所以综上有 0n,n10(2)因为 121n则 221aa, 3231a, 121nna,相加后可以得到: 132)( nnS ,所以2anS,所以 Sn(3)因为 nna2121,从而 112nna,有 nna21,所以有2123113)()(a nnn ,从而121321 )1()()( nnn aaaa ,所以221321 )()()( nn,所以 31521222242 nnn aaT 所以综上有 3n.异侧加强有了前面两个做铺垫， “异侧加 强”可能不是很难理解。 其基本原理 为: 欲证明f(x)B,只要对 Af(x) B 运用归纳法即可。【例 9】已知数列 ，满足 a1
19、=1，且 (n )，求证： 。n nna12Nna251证明：对于这道题，高手们可能的第一感觉是利用不动点求出 的极限，进而求出通项，n再利用通项证明 的极限确实存在即可（求出通项后利用放缩法也是可行的） 。但是对于n那些不会不动点的同学来说，求通项实在太繁琐。那么，我们不妨从反向加强这个命题，即对 0 使用数学归纳法。na251（5）将命题一般化与上一个问题相比，这种方法更多的有一种不得已而 为之的意味。因为有些命题强化或者是不强化都能证明，只不 过有 难易的差异；而当 n 的值 很大-大多数情况下等于按公元纪年法算出的出题年年份的时候，再用普通的方法可能 计算量过大，需要 动用计算机才能完
20、成。这时，将命题一般化，成 为了我们解题的法宝。当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本 质属性的一般性问题 ，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是一般化策略。 这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般，更广 阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。用一般化策略解决数学问题的思维过程为：特殊命题 一般化命题特殊命题的解 一般化命题的解一般化策略能否奏效，关键在于一般化命题是否比需解的特殊命题易于求解。【例 10】证明： + + + 。
21、12310分析：将上述命题一般化，即证明 + + + (n1)。这是有1231n关自然数的命题，可考虑用数学归纳法证明。证明：(1)当 n=2 时，1+ = ，命题成立。22(2)假设当 n=k(k2, kN +)时，命题成立，即+ + + 。 于是有1231k+ + + + + = 。 111k(1)kk即当 n=k+1 时命题也成立。 由(1)、(2)可知一般化命题成立。 现取 n=1000，即证得原不等式。由此可见，有时一般化命题比特殊命 题易解，主要是因 为一般化命 题中包含了一批特殊命题，并且把这些特殊命题有机地 结合起来， 这比孤立地看一个特殊命 题较易看清规律以及特殊化一般化它们
22、之间的属性的差异方程、不等式与函数相比较，前者是特殊形式，后者是一般形式。 方程、不等式的解可理解为对应函数处在某特定状态时的自变量的值，其个数、大小、范围都与函数性质有密切的联系。 因此，当我们研究方程或不等式时，可用一般化策略，把他们置身于函数之中，使我们能在更一般，更广阔的领 域，在 变化之中寻求化归的途径。 特别是当方程或不等式的解受到较为复杂的条件制约时，置方程或不等式于函数之中，还可帮助我们克服由于考虑不周而带来的失误。（6）第二数学归纳法【例 11】 已知对任意的 且 ，求证： .,10nnNa311()nnjjan证：（1）当 时，因为 且 ，所以， ，命题成立；13211（2
23、）假设 时命题成立，即 ,当 时，因为nk(,)jak n，13323111()kkjjkjka132222111111()()()kk kjjjkj jkaaa 所以 ，且 ，于是 ，因为32111kkjka10k211kjk，(,)j ,从而 ，解得 ， （舍） ，即12kja21(1)0kak1kaka时n命题成立.由（1） 、 （2）知，对一切自然数 都有 成立.证毕.(1)nna第二数学归纳法与第一数学归纳法一样，是运用次数较多的方法，大家也比 较熟悉，在这里就不多说了。下面说一下数学 归纳法的其它形式。（7）其他类型的归纳法倒推归纳法（反向归纳法）【例 12】设 都是正数，证明：1
24、2,na 1212nnaa 证：（1）先证明有无限多个正整数 ，使命题成立.当 （对任意的nm时） ，不等式成立，,mN对 用数学归纳法.m 当 时，即 ，因为 ，所以 即不等式成12n21()0a1212a立. 假设 时成立，即 ；k12212kkk 则当 时1m1 12 2212 212k kkkkk kkaaaa 1121122221( ).kkkk kkkkkkkkkaaa 因此 时，不等式成立,故对于 （对任意的 时）命题成立.mmn,1Nm（2）假定 时成立，即 ，于是当 时，nk1212kkaa nk有1211212 2112 kkk kkka a 对此式两边同时 次方得 ,即1
25、1212()kka成立，此为 时不等式成立.112kka n由（1） 、 （2）知对一切自然数 都有 .(1)1212nnaa 螺旋归纳法【例 13】 已知数列 定义如下： ,求证：数列的前 项na23(),nman和为.2 221 21(4),(431)mmSS证：将命题 记作 ，将命题 3)P2(431)mS记作 .()Q（1）当 时，有 即 成立.1 1(1)(43),2Sa(P（2）证 假设 成立，即有().Pk)Pk11kSk于是 故 成立.222212 1(43)(431),kkSakk(Qk（3）再证 假设 成立，即有()1).QP(Q22)kS于是 2212()kkk2 221
26、1()43)(43()436)(43)kkkk2 2 2111()9)()()5)()()kk 即 成立.P综上，由螺旋归纳法原理，命题 、 对一切 均成立.()PmQN二重归纳法设命题 是与两个独立的自然数 有关的命题，如果(,)nm,n 对一切自然数 成立， 对一切自然数 成立；1P(1)n 假设 和 成立时，可推 证命题 成立则对所有自(,)(,P(1,)Pm然数，命题 都成立.nm这种归纳法的应用不多，所以之前没有介 绍。【例 14】设 (,)f满足 (,)(,1)(,)fnfmfn，其中 ,是正整数，,2n，且 1,N,求证：12()mnfC.证：（1）因为对于一切正整数 n与 （
27、） ，0112(,),()mnfCfC成立.即此命题 (1,),Pn,mN为真.（2）假设 (,)(,1)Pn和 成立，即1(,)mmnfCfC，成立.则 1(,)(,)mnnC+=,命题 (1,)Pn成立，由二重数学归纳法知，对任意自然数 ,都有 2(,).)f（8）均值不等式的归纳法证明均值不等式，可以说是竞赛数学中最基本的不等式了。它可以衍生出许多漂亮的不等式，如柯西不等式、排序不等式以及切比雪夫不等式等等；而数学史上那些数学家们对它的证明，亦是千奇百怪，各显神通。而数学归纳法，便是其中比较漂亮的一例。【例 15】证明：均值不等式成立。证：证法 2：这是网上的另一种证法。通过以上例子可以看出，认真探究数学归纳法，对于我们的竞赛学习是大有裨益的。证法 1：
