1、中国地图四色染色问题一、 问题描述将中国地图用四种不同的颜色红、蓝、绿、黄来染色，要求相邻的省份染色不同，有多少种不同的方案？二、 问题分析本文将中国地图的 34 个省、直辖市、自治区、以及特别行政区转化为图论中的图模型。其中每个省、市、自治区、特别行政区用图中的一个结点表示，两个结点间联通仅当两个板块接壤。则问题转化为图论中的染色问题。由于海南、台湾省不与其它任何省份相邻，所以如果除海南、台湾外如果有 n 种染色方法，那么加上海南和台湾省后，有 4*4*n 种染色方法。下面考虑除海南和台湾后的 32个结点的染色方法。三、 中国地图染色方法采用分开海南和台湾省的分析方法，一方面的原因是除海南和
2、台湾后的 32 个结点，可以组成一个联通图，因为海南省和台湾省不和任何其它省份邻接。另一方面，我们建立一个联通图模型后，染色问题可以用深度优先遍历算法 DFS，或者广度优先遍历算法 BFS 来解决，由于该方法的时间复杂度较高，属于暴力法，少考虑两个省份可以减少计算机处理此问题的时间。本文采用 DFS 算法来解决这个染色问题。3.1 DFS 算法简介DFS 算法是图的一种图的深度遍历算法，即按照往深的地方遍历一个图，若到一个分支的尽头，则原路返回到最近一个未被遍历的结点，继续深度遍历。DFS 遍历的具体步骤可为下：1） 标记图中所有结点为“未访问” 标记。2） 输出起始结点，并标记为“访问” 标
3、记3） 起始结点入栈4） 若栈为空，程序结束；若栈不为空，取栈顶元素，若该元素存在未被访问的邻接顶点，则输出一个邻接顶点，并置为“访问”状态，入栈；否则，该元素退出栈顶。3.2 染色问题中的 DFS 算法设计我们先对任一结点染色，然后用 DFS 从该结点出发，遍历该图，遍历的下一结点颜色染为与之相邻的结点不同的颜色即可。如果该结点无法染色则回到上一个结点重新染色，直到所有的结点都被染色即可。最后统计染色种数。染色问题的算法伪代码可以描述如下：color_DFS(当前染色结点):for i in 所有颜色 while j 的已染色邻接点if 结点 j 相邻接点被染成 i 颜色标记并 breaki
4、f 未被标记当前结点染为 i 色if 当前结点为最后一个结点endelsecolor_DFS(next)3.3 数据结构设计为了实现 DFS 染色算法，我们需要设计相应的数据结构。由于图的结点不多，只有 32 个，我们采用图的邻接矩阵来存储该图，记为 map3333，map0 不存储数据，如果两结点 i，j 相邻，mapij=1，否则 mapij=0。为了便于计算机编程，我们将每一个地名用相应结点号来表示，1：“新疆“,2:“ 西藏“,3:“青海“,4:“甘肃“,5:“内蒙古“,6:“宁夏“,7:“黑龙江“,8:“吉林“,9:“辽宁“,10:“河北“,11:“北京“,12:“山西“,13:“陕
5、西“,14:“山东“,15:“天津“,16:“河南“,17:“安徽“,18:“江苏“,19:“上海“,20:“浙江“,21:“福建“,22:“江西“,23:“广东“,24:“湖南“,25:“湖北“,26:“重庆“,27:“四川“,28:“贵州“,29:“云南“,30:“广西“,31:“香港“,32:“澳门“。新疆和西藏相邻，那么我们就可以用 map12=1 来表示。同样地，一种颜色我们也可以用一个数字来表示，在这里，我们用数字来代表颜色，比如 1-红、2-蓝、3- 绿、4- 黄。四、 C 语言代码实现#include #include using namespace std;char name
6、10=“,“新疆“,“西藏“,“青海“,“甘肃“,“ 内蒙古“,“宁夏“,“黑龙江“,“ 吉林“,“辽宁“,“河北“,“北京“,“ 山西“,“陕西“,“山东“,“天津 “,“河南“,“安徽“,“江苏“,“上海“,“浙江“,“福建“,“江西“,“ 广东“,“湖南“,“湖北“,“重庆 “,“四川“,“贵州“,“云南“,“广西“,“香港“,“澳门“;char color4=“,“红“,“蓝“,“绿“,“黄“;int map3333;int vis33;int n,m;long long cnt;/染色方法设置为 long long 防止溢出void init_map()map12=map21=1;/
7、表示新疆和西藏连通map13=map31=1;map14=map41=1;map23=map32=1;map227=map272=1;map229=map292=1;map34=map43=1;map327=map273=1;map45=map54=1;map46=map64=1;map413=map134=1;map427=map274=1;map56=map65=1;map57=map75=1;map58=map85=1;map59=map95=1;map510=map105=1;map512=map125=1;map513=map135=1;map613=map136=1;map78=m
8、ap87=1;map89=map98=1;map910=map109=1;map1011=map1110=1;map1012=map1210=1;map1014=map1410=1;map1015=map1510=1;map1016=map1610=1;map1115=map1511=1;map1213=map1312=1;map1216=map1612=1;map1316=map1613=1;map1325=map2513=1;map1326=map2613=1;map1327=map2713=1;map1416=map1614=1;map1417=map1714=1;map1418=map
9、1814=1;map1617=map1716=1;map1625=map2516=1;map1718=map1817=1;map1720=map2017=1;map1722=map2217=1;map1725=map2517=1;map1819=map1918=1;map1820=map2018=1;map1920=map2019=1;map2021=map2120=1;map2022=map2220=1;map2122=map2221=1;map2123=map2321=1;map2223=map2322=1;map2224=map2422=1;map2225=map2522=1;map23
10、24=map2423=1;map2330=map3023=1;map2331=map3123=1;map2332=map3223=1;map2425=map2524=1;map2426=map2624=1;map2428=map2824=1;map2430=map3024=1;map2526=map2625=1;map2627=map2726=1;map2628=map2826=1;map2728=map2827=1;map2729=map2927=1;map2829=map2928=1;map2830=map3028=1;map2930=map3029=1;void dfs(int now)
11、/当前结点染色int i,j,k;for(i = 1; i=5)exit(0);for(k=1;k=m;k+)/输出 4 组染色结果printf(“%s-%s “,namek,colorvisk);if(k%8=0)printf(“n“);printf(“n“);*/elsedfs(now+1);/下一个结点染色int main()n=4;/4 种颜色m=32;/32 个省份memset(map,0,sizeof(map);/地图全部置为 0，表示未连通memset(vis,0,sizeof(vis); /每个顶点未染色init_map(); /初始化图cnt = 0;/染色方法数dfs(1)
12、;/从结点 1 开始染色printf(“%lldn“,cnt);return 0;五、 结果分析本次实验在 MAC_OS 操作系统进行实验，处理器为 2.8GHz Intel i7 处理器，其计算结果为 360516096，耗时约 150s。如果加上海南省和台湾省，其最终的计算结果为 360516096*16=5768257536。图 1 是部分染色结果(不包括台湾、海南省) ，事实上台湾海南省的染色任意。图 1 32 个结点部分染色结果六、 总结通过这个图论染色问题，加深了我对图论知识的理解。我明白了如何将理论知识应用到实际问题中来。虽然我以前也做过类似的地图染色实验，但是在这过程中我发现了自己的一些不足，比如说不够仔细，在构建一个邻接矩阵中多次忘记一些邻接边，以至于邻接矩阵错误。总之，这次实验加强了我的动手能力以及解决问题的能力，加深了我对图论知识的理解和数据结构的应用能力，总之我收获颇多。
