1、博弈论,任课教师：戴韡,本章内容,在这一节里，我们将进一步了解静态博弈的结构。 几种均衡之间的包含关系证明。 纳什定理纳什均衡的存在性证明。,几种均衡之间的关系,显然重复剔除的策略不会把最优的策略剔除掉，因此如果一个博弈存在严格占优策略均衡，其一定是重复剔除的占优策略均衡。,重复剔除的占优策略均衡能保证是纳什均衡么？ 这需要一个严格的证明。,定理1,在一个n个参与者的博弈G=S1, Sn; u1,un,中，如果战略组合(s1*,sn*)是一个纳什均衡，那么它不会被重复剔除严格劣策略所剔除。,定理2,在一个n个参与者的博弈G=S1, Sn; u1,un,中，如果重复严格剔除劣策略剔除掉除战略组合
2、(s1*,sn*) 外的所有策略，那么这一战略组合为该博弈唯一的纳什均衡。,混合策略,定义：对标准式博弈G=S1,Sn;u1,un，假设S=si1,sik，那么参与者i的一个混合战略为概率分布Pi=(pi1,pik)。,混合策略的收益,显然混合策略纳什均衡包含了纯策略纳什均衡。 综上所述，图中的包含关系成立。,纳什定理,纳什均衡一定存在? Nash，1950：每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡。方法：Kakutani不动点定理,不动点定理,Brouwer不动点定理 若f是X-X 的映射。如果f连续，X非空，闭的，有界和凸，那么存在至少一个不动点x*。,Brouwer不动点定理,对极简单情形（n
3、=1）的验证。 简单情形（n=2）下的证明框架。,Kakutani不动点定理是Brouwer不动点定理的推广。,角谷静夫不动点定理,纳什定理的证明,纳什均衡是策略空间的不动点 策略空间X(混合策略构成的空间) 混合策略的收益函数v 最优反应函数r(x)=(r1(x), ,rn(x) 欲证纳什均衡存在，只需验证博弈满足Kakutani不动点的条件即可 X非空，闭的，有界和凸。 r(x) 对于所有x非空、凸、上半连续。,r(x)的上半连续性？反证法。 取一个序列 且有 和 。如果r不是上半连续的，则有 。 即对于某参与人i，有 ，从而存在 使得,又因为v的连续性，我们有m足够大时综合一下，有：也就是说 严格优于 ，矛盾。,
