1、13.4 等差数列与等比数列的综合问题知识梳理（一）等差、等比数列的性质1.等差数列a n的性质（1）a m=ak+（mk ）d，d= .kam（2）若数列a n是公差为 d 的等差数列，则数列 an+b（ 、b 为常数）是公差为 d 的等差数列；若b n也是公差为 d 的等差数列，则 1an+ 2bn（ 1、 2 为常数）也是等差数列且公差为 1d+ 2d.（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，a k+m，a k+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为 md.（4）若 m、n、l、kN *，且 m+n=k+l，则 am+an=ak+al，反之不成立.（5）设 A=a1+a2+a3+an
2、，B=a n+1+an+2+an+3+a2n，C=a 2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B 、C 成等差数列.（6）若数列a n的项数为 2n（nN *） ，则 S 偶 S 奇=nd， = ，S 2n=n（a n+an+1） （a n、a n+1 为中间两项） ；奇偶 1若数列a n的项数为 2n1（nN *） ，则 S 奇 S 偶 =an， = ，S 2n1 =（2n1）奇偶 an（a n为中间项）.2.等比数列a n的性质（1）a m=akqmk .（2）若数列a n是等比数列，则数列 1an（ 1 为常数）是公比为 q 的等比数列；若b n也是公比为 q2 的等比数列，则
3、1an 2bn（ 1、 2 为常数）也是等比数列，公比为 qq2.（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，a k+m，a k+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为 qm.（4）若 m、n、l、kN *，且 m+n=k+l，则 aman=akal，反之不成立.（5）设 A=a1+a2+a3+an，B=a n+1+an+2+an+3+a2n，C=a 2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B 、C 成等比数列，设M=a1a2an，N= an+1an+2a2n，P=a 2n+1a2n+2a3n，则 M、N、P 也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设
4、为 ad，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为 a3d，ad，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为 ，a，aq，若四个符号q相同的数成等比数列，知其积，可设为 ， ，aq，aq 3.3qa2（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，a n=a1+（n1）d= dn+（a 1d） ，当 d0 时，a n是 n 的一次函数，对应的点（n，a n）是位于直线上的若干个点.当 d0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0 时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若 等 差 数 列 的 前 n 项 和
5、为 Sn， 则 Sn=pn2+qn（ p、 q R） .当 p=0 时 ， an为 常 数 列 ；当 p0 时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：a n=a1qn1 .可用指数函数的性质来理解.当 a10，q1 或 a10，0q1 时，等比数列是递增数列；当 a10，0q1 或 a10，q1 时，等比数列a n是递减数列 .当 q=1 时，是一个常数列.当 q0 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.点击双基1.等比数列a n的公比为 q，则“q1”是“对于任意自然数 n，都有 an+1a n”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要
6、条件解析：当 a10 时，条件与结论均不能由一方推出另一方.答案：D2.已知数列a n满足 an+2=a n（nN *） ，且 a1=1，a 2=2，则该数列前 2002 项的和为A.0 B.3 C.3 D.1解析：由题意，我们发现：a 1=1，a 2=2，a 3=a 1=1，a 4=a 2=2，a 5=a 3=1，a 6=a 4=2，a 2001=a 1999=1，a 2002=a 2000=2，a 1+a2+a3+a4=0.a 1+a2+a3+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.答案：C3.若关于 x 的方程 x2x +a=0 和 x2x+b=0 （ab）的四个根可
7、组成首项为 的等差数41列，则 a+b 的值是A. B. C. D.83412413723解析：依题意设四根分别为 a1、a 2、a 3、a 4，公差为 d，其中 a1= ，即4a1+a2+a3+a4=1+1=2.又 a1+a4=a2+a3，所以 a1+a4=a2+a3=1.由此求得 a4= ，d= ，于是 a2= ，a 3= .657故 a+b=a1a4+a2a3= + = = .1462答案：D4.（2004 年春季上海，12）在等差数列a n中，当 ar=as（rs）时，数列 an必定是常数列，然而在等比数列a n中，对某些正整数 r、s（r s） ，当 ar=as时，非常数列a n的一
8、个例子是_.解析：只需选取首项不为 0，公比为1 的等比数列即可.答案：a，a，a，a（a0）5.（2002 年北京，14）等差数列a n中，a 1=2，公差不为零，且 a1，a 3，a 11 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_.3解析：设 a1，a 3，a 11 成等比，公比为 q，a 3=a1q=2q，a 11=a1q2=2q2.又a n是等差数列，a 11=a1+5（a 3a 1） ， q=4.答案：4典例剖析【例 1】 （2005 年春季北京， 17）已知a n是等比数列，a 1=2，a 3=18；b n是等差数列，b 1=2，b 1+b2+b3+b4=a1+a2+
9、a320.（1）求数列b n的通项公式；（2）求数列b n的前 n 项和 Sn的公式；（3）设 Pn=b1+b4+b7+b3n2 ，Q n=b10+b12+b14+b2n+8，其中 n=1，2，试比较 Pn与 Qn的大小，并证明你的结论.剖析：将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:（1）设a n的公比为 q，由 a3=a1q2 得 q2= =9，q=3.13当 q=3 时，a 1+a2+a3=26+18=1420，这与 a1+a2+a320 矛盾，故舍去.当 q=3 时，a 1+a2+a3=2+6+18=2620，故符合题意.设数列b n的公差为 d，由 b1+b2+b3+
10、b4=26 得 4b1+ d=26.又 b1=2，解得 d=3，所以 bn=3n1.（2）S n= = n2+ n.)(13（3）b 1，b 4，b 7，b 3n2 组成以 3d 为公差的等差数列，所以 Pn=nb1+ 3d= n2 n；)(95b10，b 12，b 14，b 2n+8 组成以 2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以 Qn=nb10+ 2d=3n2+26n.)(PnQ n=（ n2 n）（3n 2+26n）= n（n19）.953所以，对于正整数 n，当 n20 时，P nQ n；当 n=19 时，P n=Qn；当 n18 时，P nQ n.评述：本题主要考查等差数列、等
11、比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例 2】 （ 2005 年北京东城区模拟题）已知等差数列a n的首项 a1=1，公差 d0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列b n的第二项、第三项、第四项 .（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）设数列c n对任意正整数 n 均有 + + + =（n+1）a n+1 成立，1bc2m3bcc1其中 m 为不等于零的常数，求数列 cn的前 n 项和 Sn.剖析：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项 an和 bn；（2）由题先求出a n的通项公式后再求 Sn.解：（1）由题意得（a 1+d） （a 1+13d）=
12、（a 1+4d） 2，整理得 2a1d=d2.4a 1=1，解得 d=2（d=0 不合题意舍去） ，a n=2n1（n=1，2，3，）.由 b2=a2=3，b 3=a5=9，易求得 bn=3n1 （n=1，2，3，） .（2）当 n=1 时，c 1=6；当 n2 时， =（n+1 ）a n+1na n=4n+1，mc n=（4n+1）m n1 bn=（4n+1） （3m） n1 .c n= 1)3(46nm.,432当 3m=1，即 m= 时，S n=6+9+13+（4n+1）3=6+ =6+（n1） （2n+5）=2n 2+3n+1.2)49)(1n当 3m1，即 m 时，S n=c1+c2
13、+cn，即3Sn=6+9（3m ）+13 （3m） 2+（4n3） （3m） n2 +（4n+1） （3m） n1 . 3mSn=63m+9（3m） 2+13（3m ） 3+（4n3） （3 m） n1 +（4n+1） （3m） n. 得（13m）S n=6+33m+4（3m） 2+4（3m ） 3+4（3m） n1 （4n+1） （3m ） n=6+9m+4（3m） 2+（3m） 3+（3m） n1 （4n+1） （3m） n=6+9m+ （ 4n+1） （3m） n.n1)(4S n= + .3962)1(S n= 22 )31(431)(496mmnnn .31,评述：本题主要考查了数列
14、的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例 3】 （2005 年北京海淀区模拟题）在等比数列 an（nN *）中，a 11，公比q0.设 bn=log2an，且 b1+b3+b5=6，b 1b3b5=0.（1）求证：数列b n是等差数列；（2）求b n的前 n 项和 Sn及a n的通项 an；（3）试比较 an与 Sn的大小.剖析：（1）定义法即可解决.（2）先求首项和公差及公比.（3）分情况讨论.（1）证明：b n=log2an， bn+1b n=log2 =log2q 为常数.数列b n为等差数列且na1公差 d=log2q.（2）解：b 1+b3+b5=
15、6， b3=2.5a 11，b 1=log2a10.b 1b3b5=0，b 5=0. 解得 S n=4n+ （1）= .04,1d.,42)(29n ,log12aq.16,2a n=25n （nN *）.（3）解：显然 an=25n 0，当 n9 时，S n= 0.2)9(n9 时，a nS n.a 1=16，a 2=8，a 3=4，a 4=2，a 5=1，a 6= ，a 7= ，a 8= ，S 1=4，S 2=7，S 3=9，S 4=1014，S 5=10，S 6=9，S 7=7，S 8=4，当 n=3，4，5，6，7，8 时，a nS n；当 n=1，2 或 n9 时，a nS n.评述
16、：本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.闯关训练夯实基础1.在等比数列a n中，a 5+a6=a（a0） ，a 15+a16=b，则 a25+a26 的值是A. B. C. D.b2b22ab解析：由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得选项为 C.答案：C2.公差不为零的等差数列a n的第二、三及第六项构成等比数列，则=_.642531解析：设公差为 d（d0） ，由题意 a32=a2a6，即（a 1+2d） 2=（a 1+d） （a 1+5d） ，解得d= 2a1，故 = = = .64253a9115答案：3.若数列 x，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1
17、，b 2，y 成等比数列，则 的取值21)(ba范围是_.解析：在等差数列中，a 1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b 1b2. = = = + +2.21)(bxy)(2xy6当 xy0 时， + 2，故 4；xy21)(ba当 xy0 时， + 2，故 0.x21)(答案：4，+）或（，04.已知数列a n中，a 1= 且对任意非零自然数 n 都有 an+1= an+（ ） n+1.数列b n对65312任意非零自然数 n 都有 bn=an+1 an.2（1）求证:数列b n是等比数列；（2）求数列a n的通项公式.（1）证 明 ： bn=an+1 an= an+（ ） n+1 an=
18、（ ） n+1 an， bn+1=（ ）232262n+2 an+1=（ ） n+2 an+（ ） n+1 = （ ） n+1 an （ ）66 8n+1= （ ） n+1 an= （ ） n+1 an ，38326 = （n=1 ，2，3，）.bb n是公比为 的等比数列.1（ 2） 解 ： b1=（ ） 2 a1= = ， bn= （ ） n 1=（ ） n+1.由6465913bn=（ ） n+1 an，得（ ） n+1=（ ） n+1 an，解得 an=6（ ） n+1（ ） n+1.63 25.设a n为等比数列，a 1=b1=1，a 2+a4=b3，b 2b4=a3，分别求出a n
19、及b n的前 10 项的和 S10 及 T10.解：设公差为 d，公比为 q，由题意知 ,14qd 或 S 10=10+ （ ）= .2,83q.2,290835当 q= 时，T 10= ；3)(1当 q= 时，T 10= .22培养能力6.（2003 年北京高考，文 16）已知数列a n是等差数列，且 a1=2，a 1+a2+a3=12.7（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn=anxn（x R） ，求数列 bn前 n 项和的公式.解：（1）设数列a n的公差为 d，则 a1+a2+a3=3a1+3d=12.又 a1=2，得 d=2.所以 an=2n.（2）令 Sn=b1+b2+bn，
20、则由 bn=anxn=2nxn，得Sn=2x+4x2+（2n2）x n1 +2nxn， xSn=2x2+4x3+（2n2）x n+2nxn+1. 当 x1 时，式减去式，得（1x）S n=2（x +x2+xn）2nx n+1= 2nx n+1.xn1)(所以 Sn= .2)(1当 x=1 时，S n=2+4+2n=n（ n+1）.综上可得，当 x=1 时，S n=n（n+1） ；当 x1 时，S n= .2)1(x17.数列a n中，a 1=8，a 4=2，且满足 an+22a n+1+an=0（nN *）.（1）求数列a n的通项公式.（2）设 bn= （nN *） ，S n=b1+b2+b
21、n，是否存在最大的整数 m，使得任)2(意的 n 均有 Sn 总成立？若存在，求出 m；若不存在，请说明理由.3m解：（1）a n+22a n+1+an=0，a n+2a n+1=an+1a n（n N*）.a n是等差数列.设公差为 d，又 a1=8，a 4=a1+3d=8+3d=2，d=2.a n=2n+10.（2）b n= =)(n)1(2= （ ） ，1S n=b1+b2+bn= （1 ）+（ ）+ （ ） 231n1= （1 ）= .)(假设存在整数 m 满足 Sn 总成立.32又 Sn+1 Sn= )(21)(8= 0，)1(2n数列S n是单调递增的.S 1= 为 Sn的最小值，
22、故 ，即 m8.又 mN *，43241适合条件的 m 的最大值为 7.探究创新8.有点难度哟！（理）已知数列a n的各项均为正整数，且满足 an+1=an22na n+2（nN *） ，又 a5=11.（1）求 a1，a 2，a 3，a 4 的值，并由此推测出a n的通项公式（不要求证明） ；（2）设 bn=11a n，S n=b1+b2+bn，S n=|b 1|+|b2|+|bn|，求 .S解：（1）由 a5=11，得 11=a428a 4+2，即 a428a 49=0. 解得 a4=9 或 a4=1（舍）.由 a4=9，得 a326a 37=0. 解得 a3=7 或 a3=1（舍）.同理
23、可求出 a2=5，a 1=3.由此推测 an的一个通项公式 an=2n+1（nN *）.（2）b n=11a n=102n（nN *） ，可知数列b n是等差数列 .Sn= = =n 2+9n.)(1)08(当 n5 时，S n=S n=n 2+9n；当 n5 时，S n=S n+2S5=S n+40=n29n+40.当 n5 时， =1；n当 n5 时， = .nS4092n = .n2（文）设 f（k）是满足不等式 log2x+log2（32 k1 x ）2k1（k N *）的自然数 x的个数.（1）求 f（k）的表达式；（2）记 Sn=f（ 1）+ f（2）+f （n） ，P n=n2+
24、n1，当 n 5 时试比较 Sn与 Pn的大小.解：（1）由不等式 log2x+log2（32 k1 x）2k1，得 x（32 k1 x）2 2k1 ，解之得 2k1 x2 k，故 f（k）=2 k2 k1 +1=2k1 +1.（2）S n=f（ 1）+ f（2）+f （n）=1+2+2 2+23+2n1 +n=2n+n1，S nP n=2n+n1（n 2+n1）=2 nn 2.又 n5，可计算得 S1P 1，S 2=P2，S 3P 3，S 4=P4，S 5P 5.思悟小结本节加强了数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，
25、使学生更好地掌握数学中的转化思想.9（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养学生分析问题和解决问题的综合能力.教师下载中心教学点睛本节教学中应注意以下几个问题：1.等差、等比数列是两种最基本、最常见的数列，灵活地运用等差、等比数列的性质，能使问题简化；灵活地运用通项公式和前 n 项和公式解题是高考考查的重点.2.从等差数列中按某种规律，抽取某些项，依次排列，组成一个等比数列，是等差、等比数列综合题中的较重要的类型，要认真体会此类题.3.用函数的观点和方法揭示等差数列和等比数列的特征，在分析和解决有关数列的综合题中具有重要的意义.拓展题例【例题】 已知数列a n，构造一个新数列 a1， （a 2a 1） ， （a 3a 2） ， （a na n1 ） ，此数列是首项为 1，公比为 的等比数列.3（1）求数列a n的通项；（2）求数列a n的前 n 项和 Sn.解 ： （ 1） 由 题 意 an=a1+（ a2 a1） +（ a3 a2） +（ an an 1）= = 1 （ ） n .3)(n23（2）S n= n（ + + + ） = n （ 1 ） = n +213n123n3243.134
