1、计算几何常用算法(一共 23 个) 1. 矢量减法 设二维矢量 P = （x1,y1） ，Q = (x2,y2) 则矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 ) 显然有性质 P - Q = - ( Q - P ) 如不加说明，下面所有的点都看作矢量，两点的减法就是矢量相减； 2.矢量叉积 设矢量 P = （x1,y1） ，Q = (x2,y2) 则矢量叉积定义为： P Q = x1*y2 - x2*y1 得到的是一个标量 显然有性质 P Q = - ( Q P ) P ( - Q ) = - ( P Q ) 如不加说明，下面所有的点都看作矢量，点的乘法看作矢量叉
2、积； 叉乘的重要性质： 若 P Q 0 , 则 P 在 Q 的顺时针方向 若 P Q 若 P Q = 0 , 则 P 与 Q 共线，但可能同向也可能反向 3.判断点在线段上 设点为 Q，线段为 P1P2 ，判断点 Q 在该线段上的依据是： ( Q - P1 ) ( P2 - P1 ) = 0 且 Q 在以 P1，P2 为对角顶点的矩形内 4.判断两线段是否相交 我们分两步确定两条线段是否相交： (1) 快速排斥试验 设以线段 P1P2 为对角线的矩形为 R， 设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为 T，如果 R 和 T 不相交，显然两线段不会相交； (2) 跨立试验 如果两线段相交，则两线段必然
3、相互跨立对方，如图 1 所示。在图 1 中，P1P2 跨立 Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即 ( P1 - Q1 ) ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) ( Q2 - Q1 ) 0 当 ( P1 - Q1 ) ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2 上；同理，( Q2 - Q1 ) ( P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2 上。 所以判断 P1P2 跨立 Q
4、1Q2 的依据是： ( P1 - Q1 ) ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ( P2 - Q1 ) 0 同理判断 Q1Q2 跨立 P1P2 的依据是： ( Q1 - P1 ) ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) ( Q2 - P1 ) 0 至此已经完全解决判断线段是否相交的问题。 5.判断线段和直线是否相交 如果线段 P1P2 和直线 Q1Q2 相交，则 P1P2 跨立 Q1Q2，即： ( P1 - Q1 ) ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ( P2 - Q1 ) 0 6.判断矩形是否包含点 只要判断该点的横坐标和纵坐标是否夹在矩形的左右
5、边和上下边之间。 判断线段、折线、多边形是否在矩形中 因为矩形是个凸集，所以只要判断所有端点是否都在矩形中就可以了。 6.判断矩形是否在矩形中 只要比较左右边界和上下边界就可以了。 7.判断圆是否在矩形中 圆在矩形中的充要条件是：圆心在矩形中且圆的半径小于等于圆心到矩形四边的距离的最小值。 8.判断点是否在多边形中 以点 P 为端点，向左方作射线 L，由于多边形是有界的，所以射线 L 的左端一定在多边形外，考虑沿着 L 从无穷远处开始自左向右移动，遇到和多边形的第一个交点的时候，进入到了多边形的内部，遇到第二个交点的时候，离开了多边形，所以很容易看出当 L 和多边形的交点数目 C 是奇数的时候
6、，P 在多边形内，是偶数的话 P 在多边形外。 但是有些特殊情况要加以考虑。如果 L 和多边形的顶点相交，有些情况下交点只能计算一个，有些情况下交点不应被计算（你自己画个图就明白了） ；如果 L 和多边形的一条边重合，这条边应该被忽略不计。为了统一起见，我们在计算射线 L 和多边形的交点的时候，1。对于多边形的水平边不作考虑；2。对于多边形的顶点和 L 相交的情况，如果该顶点是其所属的边上纵坐标较大的顶点，则计数，否则忽略；3。对于 P 在多边形边上的情形，直接可判断 P 属于多边行。由此得出算法的伪代码如下： 1. count 0; 2. 以 P 为端点，作从右向左的射线 L; 3, for
7、 多边形的每条边 s 4. do if P 在边 s 上 5. then return true; 6. if s 不是水平的 7. then if s 的一个端点在 L 上且该端点是 s 两端点中纵坐标较大的端点 9. then count count+1 10. else if s 和 L 相交 11. then count count+1; 12. if count mod 2 = 1 13. then return true 14. else return false; 其中做射线 L 的方法是：设 P 的纵坐标和 P 相同，横坐标为正无穷大（很大的一个正数） ，则 P 和 P 就确定
8、了射线 L。这个算法的复杂度为 O(n)。 9.判断线段是否在多边形内 线段在多边形内的一个必要条件是线段的两个端点都在多边形内； 如果线段和多边形的某条边内交（两线段内交是指两线段相交且交点不在两线段的端点） ，因为多边形的边的左右两侧分属多边形内外不同部分，所以线段一定会有一部分在多边形外。于是我们得到线段在多边形内的第二个必要条件：线段和多边形的所有边都不内交； 线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；但是如果多边形的某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否包含与多边形内部。因此我们可以先求出所有和线段相交的多边形的顶点，然后按照 X-Y 坐标排序，这样相
9、邻的两个点就是在线段上相邻的两交点，如果任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段一定在多边形内。证明如下： 命题 1： 如果线段和多边形的两相邻交点 P1 ，P2 的中点 P 也在多边形内，则 P1, P2 之间的所有点都在多边形内。 证明： 假设 P1,P2 之间含有不在多边形内的点，不妨设该点为 Q，在 P1, P 之间，因为多边形是闭合曲线，所以其内外部之间有界，而 P1 属于多边行内部，Q 属于多边性外部，P 属于多边性内部，P1-Q-P 完全连续，所以 P1Q 和 QP 一定跨越多边形的边界，因此在 P1,P 之间至少还有两个该线段和多边形的交点，这和 P1P2 是相邻两交点矛盾，故
10、命题成立。证毕 由命题 1 直接可得出推论： 推论 2： 设多边形和线段 PQ 的交点依次为 P1,P2,Pn，其中 Pi 和 Pi+1 是相邻两交点，线段 PQ在多边形内的充要条件是：P，Q 在多边形内且对于 i =1, 2, n-1，Pi ,Pi+1 的中点也在多边形内。 在实际编程中，没有必要计算所有的交点，首先应判断线段和多边形的边是否内交，倘若线段和多边形的某条边内交则线段一定在多边形外；如果线段和多边形的每一条边都不内交，则线段和多边形的交点一定是线段的端点或者多边形的顶点，只要判断点是否在线段上就可以了。 至此我们得出算法如下： 1. if 线端 PQ 的端点不都在多边形内 2.
11、 then return false; 3. 点集 pointSet 初始化为空; 4. for 多边形的每条边 s 5. do if 线段的某个端点在 s 上 6. then 将该端点加入 pointSet; 7. else if s 的某个端点在线段 PQ 上 8. then 将该端点加入 pointSet; 9. else if s 和线段 PQ 相交 / 这时候可以肯定是内交 10. then return false; 11. 将 pointSet 中的点按照 X-Y 坐标排序，X 坐标小的排在前面，对于 X 坐标相同的点，Y 坐标小的排在前面； 12. for pointSet 中
12、每两个相邻点 pointSeti , pointSet i+1 13. do if pointSeti , pointSet i+1 的中点不在多边形中 14. then return false; 15. return true; 这个算法的复杂度也是 O(n)。其中的排序因为交点数目肯定远小于多边形的顶点数目 n，所以最多是常数级的复杂度，几乎可以忽略不计。 10.判断折线在多边形内 只要判断折线的每条线段是否都在多边形内即可。设折线有 m 条线段，多边形有 n 个顶点，则复杂度为 O(m*n)。 11.判断多边形是否在多边形内 只要判断多边形的每条边是否都在多边形内即可。判断一个有 m
13、个顶点的多边形是否在一个有 n 个顶点的多边形内复杂度为 O(m*n)。 12.判断矩形是否在多边形内 将矩形转化为多边形，然后再判断是否在多边形内。 13.判断圆是否在多边形内 只要计算圆心到多边形的每条边的最短距离，如果该距离大于等于圆半径则该圆在多边形内。计算圆心到多边形每条边最短距离的算法在后文阐述。 14.判断点是否在圆内 计算圆心到该点的距离，如果小于等于半径则该点在圆内。 15.判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 因为圆是凸集，所以只要判断是否每个顶点都在圆内即可。 16.判断圆是否在圆内 设两圆为 O1,O2，半径分别为 r1, r2，要判断 O2 是否在 O1 内。先比较
14、 r1，r2 的大小，如果 r1 r2 则 O2 不可能在 O1 内；否则如果两圆心的距离大于 r1 - r2 ，则 O2 不在 O1 内；否则 O2 在 O1 内。 17.计算点到线段的最近点 如果该线段平行于 X 轴（Y 轴） ，则过点 point 作该线段所在直线的垂线，垂足很容易求得，然后计算出垂足，如果垂足在线段上则返回垂足，否则返回离垂足近的端点； 如果该线段不平行于 X 轴也不平行于 Y 轴，则斜率存在且不为 0。设线段的两端点为 pt1和 pt2，斜率为： k = ( pt2.y - pt1. y ) / (pt2.x - pt1.x ); 该直线方程为： y = k* ( x
15、 - pt1.x) + pt1.y 其垂线的斜率为 - 1 / k， 垂线方程为： y = (-1/k) * (x - point.x) + point.y 联立两直线方程解得： x = ( k2 * pt1.x + k * (point.y - pt1.y ) + point.x ) / ( k2 + 1) y = k * ( x - pt1.x) + pt1.y; 然后再判断垂足是否在线段上，如果在线段上则返回垂足；如果不在则计算两端点到垂足的距离，选择距离垂足较近的端点返回。 18.计算点到折线、矩形、多边形的最近点 只要分别计算点到每条线段的最近点，记录最近距离，取其中最近距离最小的点
16、即可。 19.计算点到圆的最近距离 如果该点在圆心，则返回 UNDEFINED 连接点 P 和圆心 O，如果 PO 平行于 X 轴，则根据 P 在 O 的左边还是右边计算出最近点的横坐标为 centerPoint.x - radius 或 centerPoint.x + radius， 如图4 (a)所示；如果如果 PO 平行于 Y 轴，则根据 P 在 O 的上边还是下边计算出最近点的纵坐标为 centerPoint.y -+radius 或 centerPoint.y - radius， 如图 4 (b)所示。 如果 PO 不平行于 X 轴和 Y 轴，则 PO 的斜率存在且不为 0，如图 4(c)所示。这时直线 PO 斜率为
