1、1递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。类型 1 )(nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法) 求解。1nfa例:已知数列 满足 ， ，求 。n21n21na类型 2 af)(1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。1nfn例:已知数列 满足 ， ，求 。na321nna1变式:（2004，全国 I,理 15 ）已知数列a n，满足 a1=1，(n2) ，则a n的通项1321 )(n类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。p
2、an )0(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利1tatnn pqt1用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列 中， ， ，求 .na132nan变式:递推式： 。解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异fpn1 bnf类型 4 （其中 p，q 均为常数， ） 。 （或n )01)(qp,其中 p，q, r 均为常数） 。1naprq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列1nqqann1（其中 ） ，得： 再待定系数法解决。nbnqabpnn1例:已知数列 中， , ，求 。n651 11)2(3nnana变式:（2006，全国 I,理 22,本小
3、题满分 12 分）2设数列 的前 项的和 ，na14233nnSa,A（）求首项 与通项 ；（）设 ， ，证明：1nnTS,132niT类型 5 递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。nnapa12先把原递推公式转化为 其中 s，t 满足)(112nntsqtp（待定系数迭加法）:数列 ： ， ，求数列 的通项na ),0(5312 Nan ba21,na公式。例:已知数列 中， , , ，求 。n12nnna31变式:（2006，福建,文,22,本小题满分 14 分）已知数列 满足na *1221,3,().nnaN（I）证明：数列 是等比数列；n（II）求数列 的通项公式；n（III）
4、若数列 满足 证明 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j b121*4.(),nnbbbaNnb类型 6 递推公式为 与 的关系式。(或 )nSaSf解法：这种类型一般利用 与2(11nn消去 或与 消去)()11nnnn affSaS)(1nnSf2(进行求解。例：已知数列 前 n 项和 .24nn（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 .1naa类型 7 bp)01(、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为)()1(1 yxnaynxa yx3是公比为 的等比数列。yxnap例:设数列 ： ，求 .)2(,13,4
5、11 nan na类型 8 rnnpa1)0,(n解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。qpann1例：已知数列 中， ，求数列na211,nna)0(.的 通 项 公 式n变式:（2006,山东,理,22,本小题满分 14 分）已知 a1=2，点(a n,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+a n)是等比数列；（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列a n的通项；记 bn= ，求b n数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.
6、j n 3T类型 9 )()(1hagfnn解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。qpann1例：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,13an变式:（2006，江西,理,22,本大题满分 14 分）已知数列a n满足：a 1 ，且 an2n12N （ ， ） 求数列a n的通项公式；类型 10 hraqpn1解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其n 1aNnhraqpnn1中 p、 q、 r、 h 均为常数，且 ） ，那么，可作特征方程 ,rhrqph1,0x当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、0x0nax 1
7、4时，则 是等比数列。2x12nax例：已知数列 n满足性质：对于 且 求 的通项公式. ,324,N1nna,1na变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分 12 分）数列 记).(056811aannn且满 足 ).1(2abn（）求 b1、b 2、b 3、b 4 的值；（）求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和n nb.nS类型 11 或qpa1npqa1解法：这种类型一般可转化为 与 是等差或等比数列求解。2n2例：（I）在数列 中， ，求 n6,11 na（II）在数列 中， ，求anna3类型 13 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， ,n1nb012n)2(311nnba，求 , .)2(311nbabna
