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1-2-1_绝对值化简_题库教师版.doc

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1、1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 1 of 15中考要求内容 基本要求 略高要求 较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义,会求实数的绝对值 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题例题精讲绝对值的几何意义:一个数 的绝对值就是数轴上表示数 的点与原点的距离.数 的绝对值记作 .aaaa绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0.注意: 取绝对值 也是一种运算,运算符号是“ ”,求一个数的绝对值,就是根据性 质去掉绝对值符号.绝对值 的性 质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 的绝对值是 .绝对值 具有非 负性,

2、取绝对值的结果总是正数或 0.任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如: 符号是负号, 绝对值是 .55求字母 的绝对值:a (0)(0)a()0a利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数, 绝对值 大的反而小.绝对值非负性:如果若干个非负数的和为 0,那么 这若干个非 负数都必为 0.例如:若 ,则 , ,abcabc绝对值的其它重要性质:(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于 这个数的相反数,即 ,且 ;aa(2)若 ,则 或 ;abab(3) ; ;(0)(4) ;22|a(5) ,bab对于 ,等号当且 仅当 、 同号或 、 中至少有一个 时,等号成立;abab

3、0对于 ,等号当且 仅当 、 异号或 、 中至少有一个 时,等号成立ab绝 对 值 化 简1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 2 of 15板块一:绝对值代数意义及化简【例 1】 (2 级) 下列各组判断中,正确的是 ( )A若 ,则一定有 B若 ,则一定有ababababC. 若 ,则一定有 D若 ,则一定有22 如果 ,则 ( )2A B C D 下列式子中正确的是 ( )A B C Daaaa 对于 ,下列结论正确的是 ( )1mA B C D| 1|m 1|m 1|m若 ,求 的取值范围20xx【例 2】 已知: ,且 ; ,分别求 的值52ab, ab20bab,【例 3】

4、 已知 ,求 的取值范围3xx【巩固】 (4 级)若 且 ,则下列说法正确的是( )A 一定是正数 B 一定是负数 C 一定是正数 D 一定是负数【例 4】 求出所有满足条件 的非负整数对1abab,【巩固】 非零整数 满足 ,所有这样的整数组 共有 mn, 50mn,如果有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示,求 的值.c 1ac a b 0 c 1【巩固】 已知 ,那么 0xzyzx, , zyxy【例 5】 是一个五位自然数,其中 、 、 、 、 为阿拉伯数码,且 ,则abcdeabcdeabcd的最大值是 cde【例 6】 已知 ,其中 ,那么 的最小值为 20yxx020bx, y【

5、例 7】 设 为整数,且 ,求 的值, , 1ccac【巩固】 已知 且 ,那么 13ab, , , ab【例 8】 (6 级) (1) (第 届希望杯 试)已知 ,则 029x22459437xxx(2) (第 届希望杯 试)满足 ( )有理数 、 ,一定不满足的关系是( )2()()abab0aabA B C D 00(3) (第 届希望杯 试)7已知有理数 、 的和 及差 在数轴上如图所示,化简 abab27ab a-ba+b10-1这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 3 of 15(2)为研究问题首先要先将题干中条件

6、的绝对值符号通过讨论去掉,若 时, ,ab 2 22()()()()0babab若 时, , 2()a从平方的非负性我们知道 ,且 ,所以 ,则答案 A 一定不满足0(3)由图可知 , ,01ab两式相加可得: , 进而可判断出 ,此时 , ,20b20b7所以 7(2)(7)a【巩固】 (8 级) (第 届希望杯 试)若 ,则91198m22120m【 ,()70,29291896故 (1)()20mm【补充】 (8 级)若 ,求 的值0.239x131972196xxxx 【 法 1: ,则原式 (1)()()() 5 32(4)1976法 2:由 ,可得 ,则xab xab原式 (1)(

7、32)(1976)x9点评:解法二的这种思维方法叫做构造法 这种方法对于显 示题目中的关系, 简化解题步骤有着重要作用【例 9】 (10 级)设 ,其中 ,试证明 必有最小值20Axbxb020bx A【 因为 ,所以 进而可以得到:0 , , ,所以 的最小值为2x A【例 10】 (8 级)若 的值是一个定值,求 的取值范围.4513aaa【 要想使 的值是一个定值,就必须使得 ,且 ,2 450130a原式 ,即 时,原式的值永远为 3.45(13)aa45a 1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 4 of 15【巩固】 (8 级)若 的值为常数,试求 的取值范围123208xx

8、x x【 要使式子的值为常数, 得相消完,当 时,满足题意145 【例 11】 (2 级)数 在数轴上对应的点如右图所示,试化简,ab abab0a【 2ababb【巩固】 (2 级)实数 在数轴上的对应点如图,化简abc, , acbac 0 cb a【 由题意可知: ,所以原式00cabc, , , 2c【巩固】 (2 级)若 且 ,化简 .abab【 若 且 , ,0,0,02abababa【例 12】 (8 级)(北大附中 2005-2006 学年度第一学期期中考试)设 为非零实数,且 ,,abc0a, 化简 ab0cbacba【 , , ; , ; , ,a 0 c0所以可以得到 ,

9、 , ;c b【例 13】 (6 级)如果 并且 ,化简 .01m10x 10xmx【 .1 2xx【巩固】 (2 级)化简: ; 3x12x【 原式 ;原式3 3212x 1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 5 of 15【巩固】 (6 级)若 ,求 的值.ab15ab【 .154b【巩固】 (8 级) (第 届希望杯 试)若 , ,那么 等于 720ab15bab【 , ,可得: ,所以 , , 0abb0154ab【巩固】 (2 级)已知 ,化简15x 15x【 因为 ,所以 ,原式 0 , 14x【例 14】 (8 级)已知 ,化简 .3x2【 当 时, .3x21133xx

10、x【巩固】 (8 级) (第 届希望杯培训试题)已知 ,化简 1612x421x【由 的几何意义,我们容易判断出 2x 所以 41x4431xxxx【例 15】 (8 级)若 ,化简 0x23x【 23x【巩固】 (8 级) (四中)已知 , ,化简 a0b242()43abba【 , ,又 , , a0 24 ,24()()b22()()aba又 ,42ab又 ,230a 2143(2)43babab原式 412baa点评:详细的过程要先判断被绝对值的式子 ,再去 绝对值 的符号 、x1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 6 of 15【例 16】 (8 级) (第 14 届希望杯邀

11、请赛试题)已知 是有理数, 且abcd, , , 916abcd , ,求 的值25abcdbadc【 因 ,故 ,又因为916 , 91625,所以 ,故原式25 c c, 7板块二:关于 的探讨应用a【例 17】 (6 级)已知 是非零有理数,求 的值.23a【 若 ,那么 ;若 ,那么 .0a231a0231a【例 18】 (10 级) (2006 年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)已知 ,且abcax都不等于 ,求 的所有可能值abc, , 0x【 或 或4【巩固】 (10 级) (北京市迎春杯竞赛试题)已知 是非零整数,且 ,求abc, , 0abc的值abca【 因为 是非零有

12、理数,且 ,所以 中必有一正二负,不妨设 , , 0cc, , 0abc, ,则原式 11abca【巩固】 (2 级)若 ,则 ;若 ,则 .0a_0a_【 ; .重要结论一定要记得.1【巩固】 (6 级)当 时,化简3m3【 , ,0当 ,即 时, ,所以 ;3m31当 ,即 时, ,所以 .3()1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 7 of 15【例 19】 (8 级) (2009 年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题)若 , ,则01a21b的值是( )12abaA B C D034【 C特殊值法:取 , 代入计算即可0.51.b【巩固】 (2 级)下列可能正确的是( )A B

13、1ab2abcC D3cd 4dabcd【 选 D排除法比较好或特殊值法 , , , 1【巩固】 (6 级)如果 ,则 等于( )20ab12abA B C D345【 B【例 20】 (8 级)如果 ,则 的值等于000abcabcabc, , 202020abc( )A B C D13【 易知 ,所以原式 ,故选择 A2020201abc, , 1【例 21】 (8 级)已知 ,求 的值0abcabc【 , 、 、 三个数都不为零0abc若 、 、 三个数都是正数,则 、 、 也都是正数,故原式值为 3若 、 、 中两正、一负,则 、 、 中一正、两 负,故原式值为 acb1若 、 、 中

14、一正、两负,则 、 、 中一正、两 负,故原式值为 若 、 、 中三负,则 、 、 中三正,故原式 值为 abcb3【巩固】 (6 级)若 , , 均不为零,求 .abc【 若 , , ,全为正数,则原式 ;若 , , ,两正一 负,则原式 ;abc31若 , , ,一正两负,则原式 ;若 , , ,全为负数,则原式 .13【例 22】 (6 级) (第 届希望杯 试)如果 ,求 的值1320ab12ab1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 8 of 15【 由 得 ,进而有 ,20ab2a122aab 12ab若 ,则 ,113若 ,则 0a22ab【巩固】 (6 级)若 , , 均

15、不为零,且 ,求 .abc0abcabc【 根据条件可得 , , 有 1 个负数或 2 个负数,所以所求式子的值为 或1【例 23】 (8 级) , , 为非零有理数,且 ,则 的值等于多少?abc0abcabca【 由 可知 , , 里存在两正一负或者一正两负;0cabc若两正一负,那么 ;1baa若一正两负,那么 c综上所得 1abca【巩固】 (10 级) (海口市竞赛题)三个数 , , 的积为负数,和为正数,且abc, abcacx求 的值.321x【 , , 中必为一负两正,不妨设 ,则 ;bc0a,0bc,所以原式1.11abcax【巩固】 (8 级)(第 届希望杯培训试题)13如

16、果 , , ,求 的值0abc0abc0abc20203204()()()abc【 由 , , ,两两相加可得: , , ,所以原式结果为1若将此题变形为:非零有理数 、 、 ,求 等于多少?11-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 9 of 15从总体出发: ,所以原式 208()1a1【例 24】 (8 级) (“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)设实数 , , 满足 ,及 ,abc0abcabc若 , ,那么代数式 的值为_|abcx11()()()yabcc23xy【 由 及 ,知 实数 , , 中必有两个负数,一个正数,从而有 0 1又 = ,则 1()()()ybc 3c69【例

17、 25】 (8 级)有理数 均不为零,且 ,设 ,则代数式abc, , 0abcabcxca的值为多少?2047x【 由 易知 中必有一正两负或两正一负,不妨 设 或abc, , 0ab, ,0, ,所以 或者 ,所以 ,所以原式1cxab1abcxcx204【巩固】 (8 级)有理数 均不为零,且 ,设 ,则代数式c, , 0abcabcxca的值为多少?1920x【 由 易知 中必有一正两负或两正一负,不妨 设 或abcab, , 0c, , ,所以 或者 ,所以当 时,原式1cx1abcxca1x902当 时,原式12098【巩固】 (8 级)已知 、 、 互不相等,求 的值abc()(

18、)()abccab【 由题意可得 且 ,把 , , 当成整体分类()()00ca讨论: 两正一 负,原式 值为 ; 两负一正,原式值为 11【例 26】 (8 级) (第 届希望杯 试)若有理数 、 、 满足 ,求 的值182mnp1np23mnp【 由 可得:有理数 、 、 中两正一负,所以 ,所以 ,mnpnp022331-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 10 of 15【巩固】 (6 级)已知有理数 满足 ,则 ( )abc, , 1abcabcA B C D不能确定 10【 提示:其中两个字母为正数,一个 为负数,即 0【巩固】 (8 级)有理数 , , , 满足 ,求 的值

19、abcd1abcabcd【 由 知 ,所以 , , , 里含有 1 个负数或 3 个负数:1abcd0d若含有 1 个负数,则 ;若含有 3 个负数,则 2cab 2abcd【例 27】 (6 级)已知 ,求 的值0ab【 若 异号,则ab, 若 都是正数,则, 2ab若 都是负数,则ab, 【巩固】 (6 级)已知 ,求 的值0abab【 分类讨论:当 , 时, 当 , 时, 0100ab1()2ab当 , 时, 当 , 时, ab2ab 0综上所述, 的值为 , , 0【例 28】 (6 级)若 均为非零的有理数,求 的值abc, , abc【 当 都是正数时,原式, , 3abc当 都是

20、负数时,原式c, , 当 有两个正数一个负数时,原式ab, , 1当 有两个负数一个正数时,原式, ,1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 11 of 15【巩固】 (6 级) (第 届希望杯培训试题)若 ,求 的值160abcabc【 由 可得, 、 、 中有 个负数或 个负数,0abcabc31当 、 、 中有 个负数时,原式 ;3()当 、 中有 个是 负数时,原式 ;1当 是负数时,原式 c(1)3板块三:零点分段讨论法(中考高端,可选讲)【例 29】 (4 级) (2005 年云南省中考试题)阅读下列材料并解决相关问题:我们知道 ,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数

21、式,如化简代数式0x时,可令 和 ,分别求得 (称 分别为 与12x1x2012x, 1, 1x的零点值) ,在有理数范围内,零点值 和 可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下 中情况:3当 时,原式当 时,原式12x 123x当 时,原式综上讨论,原式321x 通过阅读上面的文字,请你解决下列的问题:分别求出 和 的零点值x4化简代数式【 分别令 和 ,分 别求得 和 ,所以 和 的零点值分别为202x42x4和x当 时,原式 ;当 时,原式24x ;当 时,原式46 所以综上讨论,原式 24x 【例 30】 (6 级)求 的值1m【 先找零点, , , ,解得 , , 020m12依这三

22、个零点将数轴分为四段: , , , 当 时,原式 ;31-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 12 of 15当 时,原式 ;01m123mm当 时,原式 ;2 1当 时,原式 【例 31】 (4 级)化简: 21x【 由题意可知:零点为 0,当 时,原式12xx当 时,原式 3当 时,原式 1【巩固】 (4 级)(2005 年淮安市中考题)化简 523x【 先找零点. , ; ,零点可以将数轴分成三段50x230,当 , , , ;32 x xx当 , , , ;5x 50 235238当 , , , xx【巩固】 (6 级)(北京市中考模拟题)化简: .12【 先找零点. , , 1

23、0x0x, , 或 ,可得 或者 ;2213x1综上所得零点有 1,-1,3 ,依次零点可以将数轴分成四段 , , , , ;3 122x , , , , ;1x 00xx4 , , , , ; 2 1x , , , , 1122x【例 32】 (6 级) (选讲) (北京市中考题)已知 ,求 的最大值与最小值x3【 法 1:根据几何意义可以得到,当 时,取最大值为 ;当 时,取最小值为 252x3法 2:找到零点 、 ,结合 可以分为以下两段进行分析:32x当 时, ,有最值 和 ;x31当 时, ;综上可得最小 值为 ,最大值为 535【巩固】 (8 级) (第 届希望杯 试)已知 ,那么

24、 的最大值等于 10204a2a【 (法 1):我们可以利用零点,将 的范围分为 段,分类讨论3(先将此分类讨论的方法,而后 讲几何意义的方法, 让学生体会几何方法的 优越性)1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 13 of 15(1)当 时, ,当 时达到最大值 ;02a352a0a5(2)当 时,31(3)当 时, ,当 时,达到最大值4a235a4a3综合可知,在 上, 的最大值为0 5(法 2):我们可以利用零点,将 的范围分为 段,利用 绝对值 得几何意义分类讨论,很3容易发现答案:当 时达到最大值 a5【巩固】 (6 级)如果 ,且 ,求 的最大值和最小值12yxx12x

25、y【 当 时,有 ,所以 ;10 313当 时,有 ,所以2x 综上所述, 的最大值为 ,最小值为y3【巩固】 (6 级) (2001 年大同市中考题)已知 ,求 取何值时 的最大值与最小值759x13x【 法 1: 表示 到点 和 的距离差,画出数轴我们会发现当, 时两者的距离3xx13 79差最小为 ,即 ;当 时,两者的距离差最大 为 4,即29min23xmax()4x法 2:分类讨论:先找零点,根据范 围分段,当 时, ;当 时, ,当 有最小值 ;5313479x132x79x329当 有最大值 综上所得,当 时,最大值为 4;当 时,最小值为 x453 练习 1 (2 级)若 ,

26、则下列结论正确的是 ( )abA. B. C. D. 0, 0b, 0ab, 0ab【 答案 不完善,选择 BCD练习 2 (2 级)(人大附期中考试)如果有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示,求c的值.abc课后练习1-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 14 of 15b -1 c 0 a 1【 原式 ()()(0abcb练习 3 (6 级)已知 ,求 的值.0,xzyzxzyxy【 由 可得: ,又 ,可得: ;,xzyyz原式 .0xy练习 4 (8 级) (第 届希望杯培训试题)13若 ,则 20x|1|2|3|4|5|xxx【 因为 ,所以 ,原式 23(1)2)(34)(

27、59x练习 5 (6 级) (2006 年七台河市中考题)设 ,其中 ,20yxbxb02,0bx求 的最小值.y【 ,20()()4xbxb则 时, 有最小值为 .练习 6 (4 级)若 ,化简 .0aa【 .2练习 7 (6 级)若 ,试化简 0a3a【 2354a练习 8 (6 级)若 的值恒为常数,则 应满足怎样的条件?此常数的值为多少?213xxx【 要使 的值恒为常数,那么须使 , ,454 45013x即 ,原式 .13x2513247xxx练习 9 (8 级) (第 届希望杯 试)61-2-1 绝对值化简 题库教师版 page 15 of 15、 、 的大小关系如图所示,求 的值abcabcabc c10ba【 从图中可知 且 , , ,abc0b0c所以 , , , , ,0aa所以 ,原式 (1)12练习 10 (8 级)若 , ,则 0abcabcabc , , 、 、 中一正二负, c 1abc练习 11 (6 级)求 的最大值和最小值15yx【 法 1:根据几何意义可以得答案;法 2:找到零点 ,1,可以分为以下三段进行讨论:当 时, ; 5x56yxx当 时, ;124x当 时, ;1 5综上所得最小值为 ,最大值为 6练习 12 (6 级) (第 届希望杯 试)如果 ,求代数式 的值212x21xx【 当 时, , , ,原式 1x0x0

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