1、4.1四、随机变量的数字特征这一部分， “数学一” 、 “数学三”和“数学四”的考试大纲、内容和要求完全一致 考试大纲要求 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev ）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求1、理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征定义和基本性质计算具体分布的数字特征；掌握常用分布（二项分布、超几何分布、泊松分布、一维和二维均匀分布、指数分布、一维和二维正态分布）的数字特征（解题时可以直接利用这些数字特征） 2、会根据随机变量的概率分布求其函数
2、的数学期望；会根据二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望3、理解有关数字特征的概率意义，例如，对于指数分布， “平均无故障工作的时间”或“平均等待时间”可以理解为相应时间的数学期望 考试内容提要 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、 “中心”位置或“集中”位置1、数学期望的定义 (1) 定 义 离散型和连续型随机变量 X 的数学期望定义为(4.1) d)( )()(，连 续 型离 散 型xfkkPE其中 表示对 X 的一切可能值求和对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在4.2(2) 随机变量的函数的数学期望 设
3、 为连续函数或分段连续函数，)(xgy而 X 是任一随机变量，则随机变量 的数学期望可以通过随机变量 X 的XY概率分布直接来求，而不必先求出 的概率分布再求其数学期望；对于二元函数 ，有类似的公式：),(YgZ(4.2a)；（ 连 续 型 ）离 散 型 d)( )( )(xfgkkPE(4.2b) ；连 续 型离 散 型 d, , yxfyxgYXYXgZij jiji2、数学期望的性质 (1) 对于任意常数 c，有 E(2) 对于任意常数 ，有 X(3) 对于任意 ，有mX,21mXE 21(4) 如果 相互独立，则,21 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征1、方差的定
4、义 称 22)()(XXEED为随机变量 X 的方差，称 为随机变量 X 的标准差随机变量 X 的方差有如下计算公式：(4.3)；连 续 型离 散 型 )( d)( 2xfxk kEP2、方差的性质 (1) ，并且 当且仅当 （以概率）为常数；0XD0X(2) 对于任意实数 ，有 ；D2(3) 若 两两独立或两两不相关，则m,21mmXD 2121 协方差和相关系数 4.3考虑二维随机向量 ，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以),(YX及 和 的联合数字特征协方差和相关系数XY1、协方差和相关系数的定义 (1) 协 方差 随机变量 和 的协方差定义为， (4.4)YXYEE)(),co
5、v(其中 ；连 续 型离 散 型 d, ,yxfXXYij jijiPE(2) 相关系数 随机变量 X 和 Y 的相关系数定义为 (4.5)yxYXED ,cov2、协方差的性质 设随机变量 和 的方差存在，则它们的协方差也存在(1) 若 和 独立，则 ；对于任意常数 c，有 XY0),cov(YX0),ov(cX(2) ,),cov(3) 对于任意实数 a 和 b，有 ),ov(),Yab(4) 对于任意随机变量 ，有Z, ， ),c(),c(),cov( ZXYX(5) 对于任意 和 ，有 D,(6) 对于任意 和 ，有 ,ov2YD3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它
6、的重要应用设 和 的相关系数， , 2121E(1) 1(2) 若 和 相互独立，则 =0；但是，当 =0 时 和 却未必独立XYX(3) 的充分必要条件是 和 （以概率）互为线性函数XY三条性质说明，随着变量 和 之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值 从 0 增加到 1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量4、随机变量的相关性 假设随机变量 和 的相关系数 存在若 = 0，则称 和 不相关，否则称 和 相关XYXY(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；4.4(2) 若 和 的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等XY价 矩 在力
7、学和物理学中用矩描绘质量的分布概率统计中用矩描绘概率分布常用的矩有两大类：原点矩和中心矩数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩1、原点矩 对任意实数 ，称 为随机变量 的 阶原点矩，简0kkkXEk称 阶矩 原点矩的计算公式为：kXE1(4.6)；连 续 型离 散 型 d)( )()(xfkiikkP2、中心矩 称 为随机变量 的 阶中心矩 kkXEkXD2 切比雪夫 （切贝绍夫 ）不等式 设随机变量 的数学期望 和方差XE都存在，则对于任意 ，有XD0 (4.7)2D P 典型例题分析填空题 例 4.1（函数的方差 p.91） 已知随机变量 的分布函数为：X 若 ，若 ，若 ，若 1 ,
8、0.75 ,2xxF则 = 21XD分析 由分布函数，可得随机变量 的概率分布X， 125.0.25.04112501222 XED例 4.2（函数的期望 p.92） 设随机变量 分布函数为 F(x)，则随机变量4.501, ,XY若若若的数学期望 YE分析 随机变量 只有 和 1 两个可能值（因为 ）0XYP ；， )0()0()0( )(11 1 FFXPP例 4.4（函数的期望 p.92） 设随机变量 X 服从参数为 0.5 的泊松分布，则随机变量 的数学期望 = )(YYE分析 事实上，有 )e1(2e2e! 5.0e2 ! 5.0.! .11 5.05.05.05.0. 1 m kk
9、kXE例 4.6（标准差 p.93） 假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布已知随机测量的绝对误差以概率 0.95 不大于 20 米，则随机测量误差的标准差 = 分析 由条件“无系统误差”知，测量误差 服从正态分布 ，因X),0(2N此， .196.2 .12095. 20 XP例 4.8(方差 p.93) 设随机变量 和 独立同正态分布 ，则XY2,0= YXD分析 易见， = 0， = 1，故 N(0,1)因此，)(YE)(DU； ，21de2de2 2 022U xxE例 4.9(标准差 p.84) 100 次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 分析 100 次独
10、立重复试验成功的次数 X 服从参数为 的二项分布由）（ p,04.6于当 p =0.5 时， 取最大值这时 ，可见标)1(p 25.010pqXD准差的最大值等于 5例 4.11（二项分布 p.94）有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为 18 瓶，标准差为 4 瓶则变质饮料的瓶数 的概率分布是 分析 假设总共有 n 瓶超过保质期的饮料， 是其中变质饮料的瓶数所占p的比重显然变质饮料的瓶数 X 服从参数为（n,p）的二项分布现在求 n 和p由条件知 ， 916214)( 182 pnpXDE例 4.12（协方差 p.94）假设随机变量 和 的方差都等于 1， 和 的相YXY关系数为
11、 0.25，则随机变量 和 的协方差为 XUV分析 已知 因此，有25.0,1Ycov，25.1.1),c(2 ),cov(, )(, YXYVDovcov选择题例 4.19(p.96) 对于任意随机变量 和 ，如果 ，则XD(A) 和 独立 (B) 和 不独立XY(C) (D) D DE分析 由 可见，YX ， ，YXED0),cov( ),cov(2),c(2例 4.23(p.98) 设 X 在区间 1,1 上均匀分布，则 和XUarcsin的相关系数等于XVarcs(A) (B) 0 (C) 0.5 (D) 1 A 1分析 由于 和 有明显的线性关系：UarcsinVarcos，2i可见
12、 和 相关系数 的绝对值等于 1因为 和XrsirsXarcsin增减变化趋势恰好相反，所以立即可以断定 arco 例 4.26(p.98) 假设试验 E 以概率 p 成功，以概率 失败，分别以pq和 表示在 n 次独立地重复试验中成功和失败的次数，则 和 的相关系数Y Y等于4.7(A) (B) 0 (C) 1/2 (D) 1 A 1分析 因为 + =n，即 和 互为线性函数，故 和 的相关系XYYXY数 由于 =n ，可见 和 为负相关，故 计算题例 4.29 (期望的应用 p.99) 自动生产线加工的零件的内径 X mm 服从正态分布 ，内径小于 10 或大于 12 mm 的为不合格品，
13、其余为合格品每)1,N件产品的成本为 10 元,内径小于 10 mm 的可再加工成合格品，尚需费用 5元全部合格品在市场上销售，每件合格品售价 20 元问零件的平均内径 取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？解 每件产品的销售利润 L 与自动生产线加工的零件的内径 X(mm)有如下关系： .12 ,0, ,5X若若若， 10 512 0 12 05 XLPPPE其中 是标准正态分布函数， 标准正态密度因此，有x x， ， ， 4ln2)10()2(e4 05e0 2d)(2)(2)1()1( 2XL由此，可见当 mm 时，平均利润最大3.10例 4.31（函数的期望 p.100） 假设某季
14、节性商品，适时地售出 1kg 可以获利 s 元，季后销售每千克净亏损 t 元假设一家商店在季节内该商品的销售量X（kg ）是一随机变量，并且在区间 内均匀分布问季初应安排多少这种),(ba商品，可以使期望销售利润最大？解 根据条件随机变量 X 的概率密度为：4.8， 若 不 然 ， 若 01bxabxf以表示 销售利润，它与季初应安排商品的数量 h 有关由条件，知)(hPY， 若 ， 若 XshtXY )()(为求使期望利润最大的 h，我们计算销售利润 的数学期望为此，)(hPY首先注意到： ，销售利润 的数学期望为：ba)(P；shxfhxfts xfftft xfshxfhts xfstP
15、Yh hh h 00 0000d)()( d)(1)(d)()( d)(E对求导并令其等于 0，得 ，0d)(d)()(d 00 sxftsxfhfftshY hE， tsabtsabxfh00d)(于是，季初安排 kg 商品，可以使期望销售利润最大， 4.34（数学期望 p.102） 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p假设前 5 次试验每次的试验费用为 10 元，从第 6 次起每次的试验费用为 5 元试求这项试验的总费用的期望值 a解 (1) 以 X 表示试验的总次数，首先求 X 的概率分布设 =第 k 次试kA验成功 （k =1,2,） ，则 ；X 的概率分布为
16、pAk)(P，),21()1 nqnn其中 于是试验的总次数 X 服从参数为 p 的几何分布pq14.9(2) 现在求试验的总费用的期望值 a由条件知，试验的总费用为 若 ，若，若 ，若 XXXY 5 ,210 5 , 501该项试验的总费用 Y 是一随机变量，其期望值为 ， 15516112nn nnqpqpaE；， 256256651 61051 1dpqqqntnn ；qpqpnnn )1(d2111 55615512qann 例如，设 p = 0.8, q = 0.2，得 12.498 元；设 p = q = 0.5，得 19.6875 元；aa设 p = 0.2, q = 0.8，得
17、 41.808 元；设 p = 0.1, q = 0.9，得 70.4775 元例 4.35（变量和的期望 p.103） 假设 n 个信封内分别装有发给 n 个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的以 X 表示收到自己通知的人数，求 X 的数学期望和方差解 (1) 记 =第 k 封信的地址与内容一致 第 k 个人的通知随意装入 nkA个信封中的一个信封，恰好装进写有其地址的信封的概率等于/n，故 =)(kAP同理1)(1)()( jinAijiji P引进随机变量(k=1,n)，, ,01不 出 现若 出 现若 kkU则 从而，有nX214.10 ； ； 1 )()( 1)( 1P21
18、2nUXAnAUnkkkkk EEDP(2) 对于任意 ，乘积 只有和两个可能值，且jiji1)()(1 nAAUijijiji PP因此，对于任意 ，有2,covUjijiji E(3) 最后求方差 DX 1)(1,cov1 ,cov)()( 22211 22 nnUnUUjijinknmmDE注 该题的解法具有典型性：求解时并没有直接利用 X 的概率分布，仅利用数学期望和方差的性质当然，也可以先求 X 的概率分布，然后再根据定义求数学期望然而，求概率分布需要相当繁杂的计算,并且由此概率分布求数学期望并非易事例 4.38（函数的期 p.105） 求 ，假设随机变量 服从柯西分1 ,minE布
19、，其概率密度为xxf 1)(2解 由于 ， 若 ， 若 1 ,inxX可见 21ln1d 21d 2 , min20 12xxxXE例 4.39（数学期望 p.106） 假设一种电器设备的使用寿命 X（单位：小时）是一随机变量，服从参数为 =0.01 的指数分布使用这种电器每小时的费用为C1=3 元，当电器工作正常时每小时可获利润 C2=10 元此设备由一名工人操作，4.11每小时报酬为 C3=4 元，并且按约定操作时间为 h 小时支付报酬问约定操作时间 h 为多少时，能使期望利润最大？解 以 Y 表示销售利润，则由条件知 ， 若 ， 若 )( 312 hXCY由条件知，随机变量 X 的分布函
20、数和概率密度相应为和 ；， ， 0 e1)(xxF；， ， 0 e)(xxf其中 期望销售利润为0.；hChChhxXfxgY h3112 11233 012 ee)( e)(d)(d PE ；0)(d 312 ChY hE123lnh将 C1=3 元，C 2=10 元C 3=4 元，以及 =0.01 代入，得 小时9.5h例 4.41（最小值的期望 p.107） 一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障假设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为和 0.5(千小时 )，试求线路无故障工作时间 X 的数学期望解 设 是第 i 个中间站无故障工作时间，
21、则 由)2,1(iX 21,minX条件知，可以认为 和 独立，E =1，E =1/0.5；X2 若 不 然， ；， 若 ；若 ，若；若若 0 02e),( , e , 211 1 21 xxfff xxx解法 根据（4.2b）式，有4.12千 小 时 )(31deed2de d,min 00120x21 21212111 2 txx xfxffXxE解法 先求 X 的概率密度 X 的分布函数为)(f，)(1)(1,1 ,min,min)( 221 12xFxXF PP若 若 ；若若 0 , ,e0 , ,e 1xx因此，有 ；若若 ；若若 千 小 时 )(31de0 ,e30 , ,e 0
22、3 tXxxfxxF E 例 4.42（最小值的期望 p.108） 设随机变量 X 和 Y 相互独立，并且都服从正态分布 ，求随机变量 的数学期望),(2N,minZ解 设 ， ，有XUYV,i,inVUZU 和 V 都服从标准正态分布 ，其联合密度为1 0N2exp, vuy因此根据(4.2b) 式，有( 见插图)1de21de21de 2expmin21 d,i 222 2 uvvvv22 uu,U,VminE例 4.42 插图vuOu=vuv4.13, min ,inVUYXZEE注 同样可以求得 ax例 4.44（方差 p.109） 假设随机向量 在以点 为顶点的三),(YX)1,(0
23、),(角形区域上服从均匀分布试求随机变量 Z=X+Y 的方差解 区域 是以点 为顶点的三角1,0),(yxyD，： ,形区域（见插图） 随机向量( X , Y )的概率密度为 ，若 ；，若 Dyxf,2,解法 1 首先求 Z=X+Y 的概率密度 ：显然当 z2 时 =0；设zf f，当 0x 1 而且z x（即 z 1x ）时， =2，2z ),(x否则 =，故有),(f 2d,1zf因此 1896; d2 34122ZYXzEED解法 2 设 是 X 的概率密度当 x1 时 =0；当 0x 1)(1xf )(xf时, 有 2d,1-1 yxff x于是，随机变量 X 的概率密度为： 若 不
24、然， ；若 0,21xf ； 18942 21d 3d2 1031201 XxxfxfEDE同理可得：EY =2/3，DY=1/18现在求 ：YXYE,covD 1 x1Oy x+y1x+y1 x+y=1 例 4.44 插图4.14； 3619425 Y)cov(X, dd,10YXyxyxfDEE 8),cov(例 4.45（相关系数 p.110） 假设随机变量 X 和 Y 的数学期望都等于 1，方差都等于 2, 其相关系数为 0.25，求随机变量 和 的相关U2YXV2系数 解 首先求 U 和 V 的数学期望和方差， 132VYXEE由条件知，5.021.,cov ， ,cov,cov2,
25、cov YX124DD8,YXV注意到, ， , 有24YXU322EE61,cov22 VUV从而，随机变量 和 的相关系数为YXV24.064 ,covD例 4.47(相关系数 p.111)假设随机变量 独立同分布，且方差存1021,X在求随机变量 和 的相关系651XU 1065XV数 解 记 由于 独立，可见(),(ibaXiiE， 21,)和 ( )独立，以及( )和( )独立因此61,X 107, 41 65bXXV2)(),cov,c 65656561 10DD 于是，由 DU= DV=6b，可见4.153162 bVUD证明题4.56（相关性和独立性 p.114） 对于任意二随
26、机事件 A 和 B，设随机变量，不 出 现若 出 现若,1,AX；不 出 现若 出 现若 , ,BY试证明“随机变量 X 和 Y 不相关” 当且仅当“事件 A 和 B 独立” 证明 易见事件 A 和 B 独立当且仅当事件 A 与 独立记， ， 1pP212pP有； E 2YE现在求 EXY 显然，XY 只有 1 和1 两个可能值； ； ；212121 21214),cov(4 ,pYXYXppBABAXXYEEPP P由此可见，随机变量 X 和 Y 不相关的充分和必要条件是，事件 A 和 独立，B即021 BApP由独立事件的性质知，若事件 A 与 独立，则事件 A 与 B 也独立从而随机变量 X 和 Y 不相关当且仅当事件 A 和 独立
