1、知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 1 页 共 18 页函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数） 【学法导航】1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.2.考查与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力. 3.考查与指数函数和对数函数有关的试题. 对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解
2、决.4 加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.5、注意与导数结合考查函数的性质. 6、函数的应用，是与实际生活结合的试题，应加强重视【典例精析】1.函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫复习函数的性质，可以从“数”和“ 形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是：1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断
3、函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面1掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题3用数形结合的思想
4、、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力例 1、 （2008 广东汕头二模）设集合 A=x|x1，B=x|log2x0，则 AB=( ) Ax| x1 Bx|x0 Cx|x1【解析】:由集合 B 得 x1 , AB=x| x1，故选（A） 点评本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 2 页 共 18 页础题。例 2、 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终
5、点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）【解析】：选（B） ，在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。点评函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。例 3、设 1xf，又记 11, ,12,kkfxff则 208fx （ ）A ； Bx； C ； D1x；【解析】:本题考查周期函数的运算。112,fxff，32341,ffxfxf，据此，41421,nnxffx，434,nnff，因 208为 型，故选
6、C.点评本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。例 4、函数3()sin1()fxxR，若 ()2fa,则 ()fa的值为 （ ）A.3 B.0 C.-1 D.-2【解析】：3()if为奇函数，又 ()f()1f故 1fa即 )0fa.点评本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解例 5、 （2008 广东高考试题）设 kR，函数1()xfx， ， ，()Fxfkx， ，试讨论函数 ()F的单调性A B C D知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊
7、跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 3 页 共 18 页【解析】1,1,()kxFxfkx21,1,(),kxxF对于1()()x，当 0k时，函数 F在 ,1上是增函数；当 时，函数 ()x在,)k上是减函数，在1(,)k上是增函数；对于1()2Fx，当 0k时，函数 ()x在 ,上是减函数；当 时，函数 ()F在21,4k上是减函数，在21,4k上是增函数。点评在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便2.二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的
8、内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以
9、实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例 6、设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.【解析】：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数xf的表达式，从而得到函数 )(xf的表达式. 证明：由题意可知 )(21xaf.x1021， 0)(a，知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 4 页 共 18 页 当时， xf)(.又 )1)()( 211211 axxaxf ，,0,02ax且 1)(xf，综上可知，所给问题获证. 点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式 .21xay例 7、设二次函数 ()f
10、ax，方程 ()0fx的两根 1x和 2满足120x（I）求实数 a的取值范围；（II）试比较 (0)1()ff与 6的大小并说明理由【解析】法 1：（）令2(1)gxxa，则由题意可得012()ag或或013232a或或032a故所求实数 a的取值范围是 (0)， （II）2(0)1)1ffgaA，令2()ha当 时， h单调增加，当 032a时，20()32)()(172)h167A，即106ffA法 2：（I）同解法 1（II） 2(0)()()ffga，由（I）知 032a，4270a又 1或于是知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 5 页 共 18 页2
11、211(3)(42)(1)066aaa，即20，故0ff法 3：（I）方程 ()fx2(1)0xa，由韦达定理得12xa， 12x，于是1212210()0xxx， ， ，033， 或 032a故所求实数 a的取值范围是 ()， （II）依题意可设 12)gxx，则由 12x，得122(0)1(0()()()ff x226xx，故016ff点评本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力3.指数函数与对数函数指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基 , 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能
12、熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.例 8、已知函数 ()log(21)(01)xafba，的图象如图所示，则 ab， 满足的关系是（ ）A 10abB 1C D 0ab【解析】：由图易得 1,1;取特殊点 01log0,axyblogllog,aaab1b.选 A.Oyx知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 6 页 共 18 页点评：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。例 9、 （2007 全国高考试题）设 1a，函数 ()logafx在区间 2a， 上的最大值与最小值之差为12，则 a（ ）A B C 2D 4【解析】：设 1，函数 (
13、)logafx在区间 ,2a上的最大值与最小值分别为log2,laa，它们的差为12， 1la， 4，选 D。例 10、 （ 2008 全国高考试题）若1 3()ln2llnxexbcx， ， ， ，则（ ）A am(x 21) 对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取值范围。16. 设等差数列a n的前 n 项的和为 S n，已知 a 312，S 120，S 30） ，则 12x2 15，解出 x2，再用万能公式，选 A；8利用 Sn是关于 n 的一次函数，设 S pS qm， pqx，则（ mp,p） 、( q,q)、(x， p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得 x0
14、，则答案：0；9设 cosxt ，t-1,1，则 at 2t1 4,1，所以答案： 54,1；10设高 h，由体积解出 h 2 3，答案：24 6；11设长 x，则宽 4，造价 y41204x80 x801760，答案：1760 。12 运用条件知： (1)(fnf=2，且2222(1)43)(64)(8()57fff fff= ()68()357ffff=1613依题意可知21240bacx，从而可知 12,(,0)x，所以有21240()bacfx24bac，又 ,b为正整数，取 1c，则ab，所以 244aca，从而 5a，所以 240bac，又 56，所以 5，因此 b有最小值为 1。
15、下面可证 c时， 3，从而 2，所以 b, 又 5,所以,所以 1,综上可得: 的最小值为 1114分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把 f(x)分解为 u=ax 2+2x+1 和 y=lgu 并结合其图象性质求解知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 15 页 共 18 页解:(1) 2()lg1)fxax的定义域是 R 210uax对一切实数 x恒成立.a=0 或 a0 不合题意，所以 24故 a1即为所求 .(2) 2()lg1)fxx的值域域是 R 21uax能取遍一切正实数.a 0 时不合题意； a=0 时，u
16、=2x+1，u 能取遍一切正实数；a 0 时，其判别式 =22-4a10，解得 0a1 所以当 0a1 时 f(x)的值域是 R15分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，若变换一个角度以 m 为变量，即关于 m 的一次不等式(x 21)m(2x1)m(x 21)的解集是-2,2时求m 的值、关于 x 的不等式 2x 1m(x 21)在-2,2 上恒成立时求 m 的范围。一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
17、16分析： 问利用公式 a n与 S 建立不等式，容易求解 d 的范围；问利用 S n是 n 的二次函数，将 S n中哪一个值最大，变成求二次函数中 n 为何值时 S n取最大值的函数最值问题。解： 由 a 3 a 12d12,得到 a 1122d，所以S 12 12a 66d12(122d)66d14442d0，S 3 13a 78d13(122d)78d15652d0在 x(-,1 上恒成立的不等式问题。解：由题设可知，不等式 1 2 x4 a0 在 x(-,1上恒成立，即：( 12) x( ) xa0 在 x(-,1上恒成立设 t( ) , 则 t ， 又设 g(t)t 2ta，其对称轴
18、为 t 12 t 2t a0 在 ,+)上无实根， 即 g( 1)( ) 2 a 0，得 a 34所以 a 的取值范围是 a 34。PMA H BD C知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 17 页 共 18 页说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。在解决不等式( 12) x( ) xa 0 在 x(-,1上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法” ： 设
19、 t ( ) , t ，则有 at 2t( , 34，所以 a 的取值范围是 a 34。其中最后得到 a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想” 。20解：f( x)=cossinx(sinxcos cosx sin)+(tan2)sinxsin=sincosx+(tan2)sin xsin因为 f(x)是偶函数，所以对任意 xR，都有 f(x)=f (x)，即 sincos(x)+(tan 2)sin( x )sin=sincosx+(tan 2)sin xsin ,即(tan2)sinx =0，所以 tan=2由22sinco1,解得 ； ，5cos2in或
20、.5cos2in，此时，f(x)=sin(cos x1).当 sin= 52时 ，f (x)= 52(cosx1)最大值为 0，不合题意最小值为 0，舍去；当 sin= 时，f (x)= (cosx1)最小值为 0，当 cosx=1 时，f(x )有最大值为 54,自变量 x 的集合为 x|x=2k+,kZ21解：（1） 00c； ()fa 2()3fxb，若 ()f1,)上是增函数，则 ()0f恒成立，即 minb若 x上是减函数，则 x恒成立，这样的 不存在综上可得： ,3ab（2 ） （证法一）设 0()fm，由 0()fx得 0()fm，于是有30 12bx， （1 ）（ 2）得： 300()xbxx，化简可得 0()0b， 01,()1f，22014m，故 xm，即有 fx（证法二）假设 ()，不妨设 00()fxa，由（1）可知 ()fx在1,)上单调递增，故 ()ffx，这与已知 0()x矛盾，故原假设不成立，即有 0()f知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 18 页 共 18 页
