1、第 11 章 一元二次方程11.1 一元二次方程及解法11.1.1 若方程 (1996x)219951997 x10 较大根为 m，方程x21995 x19960 的较小根为 n，则 m n 等于（ ）（A）1997 （B）1996 （C） （D）9617195611.1.2 对任意两个实数 a、 b，用 max(a， b)表示其中较大的数，则方程xmax(x， x)2 x1 的解是（ ）（A）1，1 （B）1，1 （C）1，1 （D）221，1 211.1.3 已知方程( x19)( x97) p 有实数根 r1和 r2（其中 p 为实数）， 则方程( x r1)(x r2) p 的最小实数
2、根是（ ）（A）19 （B）97 （C）19 （D）9711.1.4 已知 a 是方程 x2 x 0 的根，则 的值是_1431a11.1.5 已知关于 x 的方程 3x22 ax a20 的一个根为 1，则另一个根是_11.1.6 已知以 x 为未知数的二次方程 abx2( a2 b2)x ab0，其中 a、 b 是不超过 10 的质数，且 a b，那么两根之和超过 3 的方程是_11.1.7 已知方程 ax2 bx c0( a0)的两根和为 S1，两根平方和为 S2，两根立方和为 S3，则 aS3 bS2 cS1的值是_11.1.8 把关于 x 的一元二次方程 x2 px q0 的系数 p
3、 及 q 每次加 1，这样的步骤重复四次，使得五个方程都具有整数根请举出这样的实例11.1.9 小杰和小丁依下列规则玩游戏首先，小杰写下一个二次方程式ax2 bx c0，其中 a、 b、 c 都是正整数接着，小丁可以随意地将这个方程式中的 0 个、1 个或 2 个“”号改为“”号若改变后的方程式有两个整数根，则小杰获胜；若改变后的方程式没有实数根或至少有一个根不是整数，则小丁获胜请问：小杰有没有必胜的策略？11.1.10 下面的等式成立： x1x2 x2x3 x3x4 x99 x100 x100x101 x101x11，求 x1， x2， x100， x101的值11.2 一元二次方程的根的判
4、别式11.2.1 设 b 取 216 的奇数， c 取任意正整数，则可以组成有两个不等实根的一元二次方程 3x2( b1) x c0 的个数为（ ）（A）64 （B）66 （C）107 （D）无穷多个11.2.2 设二次方程 x22 px2 q0 有实数根，其中 p、 q 都是奇数那么，它的根一定是（ ）（A）奇数 （B）偶数 （C）分数 （D）无理数11.2.3 把三个非 0 实数 a、 b、 c 按任意的次序分别填入 x2 x0的三个方框中，所得的方程的根均为有理数，这样的实数 a、 b、 c（ ）（A）不存在 （B）有一组 （C）有两组 （D）有，多于两组11.2.4 若方程 x2 ax
5、2 b0 有相等两实数根， x22 bx a0 也有相等两实数根，且 a b，则 ab_11.2.5 求证：对于正数 a、 b、 c，如果方程 c2x2( a2 b2 c2)x b20 没有实数根，那么，以 a、 b、 c 为长的线段能够组成一个（面积不为 0 的）三角形11.2.6 已知实数 a、 b、 c、 R、 P 满足条件 PR1， Pc2 b Ra0，求证：一元二次方程 ax22 bx c0 必有实数根11.2.7 设 a、 b 为实数，已知方程 x2( a b)x 0 有两个21实数根，求 a、 b 的取值范围11.3 一元二次方程根与系数的关系11.3.1 已知关于 x 的二次方
6、程 2x2 ax2 a10 的两个实数根的平方和为 ，174则 a 的值为（ ）（A）11 或 3 （B）11 （C）3 （D）511.3.2 如果方程( x 1)(x22 x m)0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m 的取值范围是（ ）（A）0 m1 （B） m （C） m1 （D）3434 m13411.3.3 已知 a、 b 是方程 x2( m2) x10 的两个根，则(1 ma a2)(1 mb b2)的值为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）411.3.4 已知 、 是方程 x2 x10 的两个实数根，则 43 _11.3.5 设方程 x2 px q0 的两根分
7、别比方程 x22 qx p0 的两根大 1，求这两个方程的根11.3.6 设 x2 px q0 的两实数根为 、 （1）求以 3、 3为根的一元二次方程（2）若以 3、 3为根的一元二次方程仍是 x2 px q0，求所有这样的一元二次方程11.3.7 设方程 a1x2 b2x c10( a10)的根为 1 a1、1 a1，方程a1x2 b1x c20 的根为 1、1 ，又设方程 a1x2 b1x c10 的两根相等，求3a1a1、 b1、 c1的值11.3.8 甲、乙、丙、丁四人分别按下面的要求做一个解为 x1、 x2的一元二次方程 x2 px q0甲： p、 q、 x1、 x2都取被 3 除
8、余 1 的整数乙： p、 q、 x1、 x2都取被 3 除余 2 的整数丙： p、 q 取被 3 除余 1 的整数， x1、 x2取被 3 除余 2 的整数丁： p、 q 取被 3 除余 2 的整数， x1、 x2取被 3 除余 1 的整数问：甲、乙、丙、丁是否能按上述要求各自做出方程？若可以做出，请你写出一个这样的方程；若不能做出，请你说明理由11.3.9 若适当选取非 0 实数 p0、 q0为初始值，写出方程x2 p0x q00 若方程有实数根 p1、 q1，可再写出方程x2 p1x q10 若方程有实数根 p2、 q2，可再写出方程x2 p2x q20 一般情况下，只要所写出的第 k 个
9、方程 x2 pk1 x qk1 0 有实数根 pk、 qk，就可继续写出第( k1)个方程 x2 pkx qk0依上述规则一直写下去，当写出第 1997 个方程 x2 p1996x q19960 有两个实数根p1997、 q1997时算“达标”，求证：可以找到选定初始值 p0、 q0的方式，以保证可以“达标”，并请你说明理由11.4 二次三项式的因式分解11.4.1 对任意实数 x，二次三项式 x23 mx m2 m 是一个完全平方式，则14m_11.4.2 m 为何值时， x2 y2 mx5 y6 能够分解因式？并分解之11.4.3 设二次三项式 ax2 bx c 的系数是正整数已知当 x1
10、997 时，二次三项式的值 a19972 b1997 c p 是一个质数证明： ax2 bx c 不可能分解为两个整系数一次式的乘积11.4.4 甲、乙两人 做数学游戏，乙先给出一个或两个整数，甲根据乙给出的数再给出两个或一个整数，两人合计给出三个不全为 0 的整数如果以这三个整数为系数的所有二次三项式都能在有理数范围内分解因式，则甲胜问：甲一定能取胜吗？若甲一定能取胜，甲给出的数与乙给出的数有何关系？并说明理由11.5 含字母系数的一元二次方程11.5.1 如果关于 x 的方程 mx22( m2) x m50 没有实数根，那么关于 x 的方程( m5) x22( m2) x m0 的实数根个
11、数为（ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）不确定11.5.2 设三个方程 x24 mx4 m22 m30， x2(2 m1) x m20，( m1)x22 mx m10 中至少有一个方程有实数根，则 m 的取值范围为（ ）（A） m （B） m 或 m （C） m 或 m （D）314214321 m4211.5.3 已知 a、 b、 c 均为正数，方程 ax2 bx c0 有实数根，则方程acx2 b2x ac0（ ）（A）有两个不相等的正根 （B）有一个正根，一个负根（C）不一定有实数根 （D）有两个不相等的负根11.5.4 已知 x1、 x2是方程 x2( k2) x( k23 k5
12、)0( k 为实数)的两个实数根，则 的最大值是（ ）21x（A）19 （B）18 （C） （D）不存在5911.5.5 关于 x 的方程( a24) x22( a2) x10 恰有一个实数根，则a_11.5.6 若两个关于 x 的实系数一元二次方程 x2 x a0 与 x2 ax10 至少有一个公共的实数根，则 a_11.5.7 设 m、 n 为正整数，二次方程 4x2 mx n0 有相异实数根 p、 q，且p q，如果方程 x2 px2 q0 和 x2 qx2 p0 有公共根（1）求它的公共根（2）求 m、 n 的一切正整数组（ m， n）（3）若 p、 q 均为有理数，求方程 x2 px
13、2 q0 的另一根11.5.8 若方程 的两根 ， 也是方程 的根，其中 p,q2310x620xpq均为整数，试求 p、 q 的值.11.5.9 若 k 为正整数，一元二次方程 有两个正整数根，求2(1)0kxpk之值.()kpk11.5.10 求所有的实数 k,使方程的根 都是整数.2(1)()0kxk11.5.11 设 m 为整数，且 40 时有三个实数根.A.0 B.1 C.2 D.311.6.6 方程 的根的和是_. 2197|x11.6.7 关于 x 的方程 恰好有三个实数根，则 m 的值是_.2|xm11.6.8 方程 的解是_.2|45|611.6.9 当 a 在什么范围内取值
14、时，方程 有且只有相异两实数根？2|5|xa11.7 一元二次方程的应用11.7.1 已知实数 x,y 满足 xy+x+y=9， ,则 的值为（ ）20xy2xyA.1 B.17 C.1 D.6 或 1711.7.2 已知实数 a,b 满足 和 则代数式 的值423a423b4ab为（ ）A.175 B.55 C.13 D.711.7.3 a、 b、 c 是实数，且 ， 则 a 的取2870abc260bc值范围是（ ）A.一切实数 B.a1 C.1a13 D.1 a911.7.4 设 x,y 是实数，且 ，求 的取值范围.223xy22xy11.7.5 已知 x+y+z=6, ，其中 x,y
15、， z 是实数,求证z0 x4，0 y4,0 z4.11.7.6 设 a、 b 是实数，关于 x 的二次方程，无论 k 取何实数，都有根 x=1.222(1)()(3)0kxakxakb(1)求 a,b 的值.(2)当 k 变化时，求方程另一根的取值范围.11.7.7 对正数 a、 b 定义运算*如下，当 a b 时， a * b=ab；当 ba2b 时， a * b= ；当 a b 时, a * b= .若 3 * x=8,试求 之值 .（其中， x2234x表示不超过 x 的最大整数.11.7.8 已知 t 为一元二次方程 的根.210x(1)对任一给的有理数 a,求有理数 b、 c，使得
16、( t+a）( bt+c)=1 成立.(2)将 表示成 dt+e 的形式，其中 d、 e 为有理数.21t11.7.9 设 a,b 是方程 的两个根， c,d 是方程 的两个根.已2310x240x知 + + + =B.abcdcdabc求证：（1） + + + =7B-7.2b22d2abc（2） + + + =49B-68.3acd3a3b311.7.10 设 都是实数， ，且有 =1212、 、 、 121()ab12()1()ab=1.2()ab求证： = =-1.1()21()ab2()2()ab11.7.11 在周长为 300cm 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速运动，
17、甲球从 A 点出发按顺时针方向运动，乙球同时从 B 点出发，按逆时针方向运动，两球相遇于C 点，相遇后，两球各自反向做匀速圆周运动，但返回时甲球速度是原来的 2 倍，乙球速度是原来的一半，它们第二次相遇于 D 点（见图），已知 =40cm， =20cm，求 A的长度AMCABNDCB11.7.12 如图所示，甲、乙、丙三人同时分别从 A、 B、 C、出发，甲向 C，乙、丙向 A 行进，过了 h，甲与乙于 M 点相遇；又过了 ，丙于 N 点追上乙.已知 B 点恰127514h为 N、 C 的中点， M、 N 之间的距离为 ，又知甲比丙提前 1h 到达目的地.问： A 与107kmB， B 与 C
18、 之间各有多少千米？11.7.13 批零兼经营的文具店规定：凡购买铅笔 51 支以上（含 51 支）,按批发价结算；而购铅笔 50 支以下（包括 50 支）按零售价结算.批发价每购 60 支比零售价降价1 元,现有班长小王来购铅笔,若给全班每人买 1 支，则必须按零售价结算，需用 m 元（ m 为正整数）；但若多买 10 支则可按批发价结算,恰好也是用 m 元,问：小王班上共有多少学生？11.7.14 A、 B 两港在大湖南岸， C 港在大湖北岸， A、 B、 C 三港恰为一等边三角形的三个顶点， A 港甲船与 B 港乙船同时出发都沿直线向 C 港匀速行驶，当乙船行驶处40km 时，甲、乙两船与 C 港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行驶到达 C 港时，乙船尚距 C 港 20km，问： A、 B 两港之间的距离是多少千米？11.7.15 如图所示，有一块矩形地 ABCD，要再中央修一矩形花圃 EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条.问：如何量出道路的宽度 ？11.7.16 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 的两根，当这260xa样的三角形只有一个时，试求 a 的取值范围.11.7.17 某村民在第一年增加了 n 人，而在第二年又增加了 300 人，但也能说是居
