1、第九章 多元函数微分法及其应用第 一 节：多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。教学难点：计算多元函数的极限。教学内容：第一节 多元函数的基本概念一、 区 域讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念。由于讨论多元函数的需要，我们首先把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念。1 邻域设 是 平面上的一个点， 是某一正数。与点 距离小于 的),(0yxpo),(0yxp点 的全体，称为点 的 邻域，记为 ，即0P
2、),(0PU= ， ),(0PU也就是= ),(yx 2020)()(yx。),(0在几何上， 就是 平面以上点 为中心、 为半径的圆的内0Po,(0xp0部的点 的全体。),(yx2 区域设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。如果存在点 的某一邻域P，则称 为 的内点（画图 8-1 显示） 。显然， 的内点属于 。U)( E如果 的点都是内点，则称 为开集。例如，点集 中每EE41),(21yxE个点都是 1 的内点，因此 1 为开集。如果点 的任一邻域内既有属于 的点，也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，P PE也可以不属于 ） ，则称 为 的边界点（可画图 8-2 显示）
3、。 的边界点的全体称为的边界。例如上例中， 1 的边界是圆周 和 =4。EE12yx2yx设 D 是开集。如果对于 D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称开集 D 是连通的。连通的开集称为区域或开区域。例如， 及0),(yx都是区域。41),(2yx开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如 0及 1 4),(),(yx2y都是闭区域。对于点集 ，如果存在正数 K，使一切点 与某一定点 A 间的距离|A |不超过EPEPK，即|A |k, 对一切 成立，P则称 为有界点集，否则称为无界点集。例如， ),(yx1 2y4 是有界闭区域， ),(yx 0是无界开区域。3 维
4、空间n我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线。在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组 一一对应，从而),(yx二元数组 全体表示平面上一切点的集合，即平面。在空间引入直角坐标系后，空间),(yx的点与三元数组（ ）一一对应，从而三元数组（ ）全体表示空间一切点的集z, zyx,合，即空间。一般地，设 为取定的一个自然数，我们称 元数组（ ）的全nnnx,21体为 维空间，而每个 元数组 称为 维空间中的一个点，数 xi 称为该点n),(21nx的第 i 个坐标。 维空间记为 Rn。维空间中两点 及 间的距离规定为),(21xP ),(21n
5、Q。2221 )()()( nxyxyxyPQ容易验知，当 =1，2，3 时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴） ，平面，空间内两n点的距离。前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到 维空间中去。例如，设 ，nnRP0是某一正数，则 维空间内的点集n=),(0PU,0nRP就定义为点 的 邻域。以邻域概念为基础，可定义内点、边界点、区域、聚点等一系列概念。二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例 1 圆柱体的体积 V 和它的底半径 、高 之间具有关系rh。hrV2这里，当 、 在集合 0,),(r内取定一对值 时， 的对应值就随之确定。),
6、(rV例 2 一定量的理想气体的压强 、体积 和绝对温度 之间具有关系pVT= ，pVRT其中 为常数。这里，当 、 在集合 时， 的对应值就随之确定。T0,),(p例 3 设 是电阻 、 并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系R1221对应值就随之确定。上面三个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽象出这些共性就可得出以下二元函数的定义。定义一 设 是平面上的一个点集。如果对于每个点 ，变量 按照一定DDyxP),(z法则总有确定的值和它对应，则称 是变量 的二元函数（或点 的函数） ，记为zyx、（或 ） 。),(yxfz)(Pfz点集 称为该函数的定义域， 称为自变量，
7、 也称为因变量。数集Dyx、 z),(Dyxfz称为该函数的值域。是 的函数也可记为 ， 等等。zyx, ),(z),(类似地可以定义三元函数 以及三元以上的函数。一般的，把定义 1 中yxfu的平面点集 换成 维空间内的点集 ，则可类似地可以定义 元函数DnDn。 元函数也可简记为 ，这里点 。当),(21xfu )(PfDxn),(21时， 元函数就是一元函数。当 时， 元函数就统称为多元函数。n2n关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数 时，就以使这个算式有确定值 u 的自变量所确定的点集为这个函)(Pfu数的定义域。例如，函数 的定义域为)
8、ln(yxz0)(yx（图 8-3） ，就是一个无界开区域。又如，函数 的定义域为)arcsin(2yxz1)(2yx（图 8-4） ，这是一个闭区域。设函数 的定义域为 。对于任意取定的点 ，对应的函数值为),(yxfzDDyxP),(。这样，以 为横坐标、 为纵坐标、 为竖坐标在空间就确定一),(f yfz图 8-3 图 8-4x+y=0点 。当 ),(yx遍取 上的一切点时，得到一个空间点集),(zyxMD，),(f这个点集称为二元函数 的图形（图 8-5） 。通常我们也说二元函数的图形是一张yxz曲面。例如，由空间解析几何知道，线形函数 的图形是一张平面；由方程 cbyaxz所确定的函
9、数 的图形是球心在圆点、半径的为 球面，它22azyx),(yfz a的定义域是圆形闭区域 。 在 D 的内部任一点 处，这函数),(22xD),(yx有两个对应值，一个为 ，另一个为 。因此，这是多值函2y22xa数。我们把它分成两个单值函数： 及 ，前者表示2yxaz2yz上半球面，后者表示下半球面。以后除了对多元函数另做声明外，总假定所讨论的函数是单值的；如果遇到多值函数，可以把它拆成几个单值函数后再分别加以讨论。三、多元函数的极限我们先讨论二元函数 当 ， ，即 时),(yxfz0x0y),(),(0yxPy的极限。这里 表示点 以任何方式趋于点 ，也就是点 与点 间的距离趋于零，0P
10、0P0即 。)()(2020yx与一元函数的极限概念类似，如果在 的过程中，对应的函数值),(),(0yxy无限接近一个确定的常数 ，我们就说 A 是函数 ， 时的极限。下),(yxf 0y面用“ ”语言描述这个极限概念。定义 2 设函数 在开区域（或闭区域） 内有定义， 是 的内点),(yxf D),(0xPD或边界点。如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切点 ，都有 20200 )()(P yx),( Ayf),(成立，则称常数 为函数 当 ， 时的极限，记作 A,yxf0x0y，yxf),(lim0或 （ ） ，这里 。Ayxf),(00P为了区别于一元函数的
11、极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。例 4 设 （ ） ，221sin)(), yxyxf 02yx求证 。0,lim0yx证 因为 ，可见，22222 1sin)(1sin)( yxyxyx 对任给 ，取 ，则当 时，总有0220)0成立1sin)(22yxyx所以 0,lim0fx我们必须注意，所谓二重极限存在，是指 以任何方式趋于 时，函数都),(yxP),(0yxP无限接近于 A。因此，如果 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于),(yxP时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但),(0yxP是反过来，如果当 以不同方式趋于 时，函数趋于不同
12、的值，那么就可以断),(yx),(0yx定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。考察函数 ,0,0),( 22yxyxf显然，当点 沿 轴趋于点 时， ；又当点)(P)( 0lim),(li0xxf沿 轴趋于点 时， 。),(yxP,lim0yyf虽然点 以上述两种特殊方式(沿 x 轴或沿 y 轴) 趋于原点时函数的极限存在并且),相等,但是 并不存在.这是因为当点 沿着直线 趋于点lim0yxfy,(Pkx)0,(时,有 ，22020 1limli kyxkyxky 显然它是随着 的值的不同而改变的.以上关于二元函数的极限概念,可相应的推广到 元函数 即n)(Pfu上去。),(21n
13、xfu关于多元函数极限的运算,有与一元函数类似的运算法则.例 5 求 .xyy)si(lm20解： 这里 在区域 和区域xyf)sin(),(0),(1xyD内都有定义， 同时为 及 的边界点。但无论在 内还是0),(2xyD20P121在 内考虑，下列运算都是正确的：。21lim)sin(l)sin(lm2020 yxxyy四、多元函数的连续性明白了函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性，定义 3 设函数 在开区域（闭区域） 内有定义， 是 的内点或),(yxf D),(0yxPD边界点且 。如果DP0,)(),(lim00ffyx则称函数 在点 连续。,f,yx如果函数 在开区域（或闭
14、区域） 内的每一点连续，那么就称函数 在)( D),(yxf内连续，或者称 是 内的连续函数。D,yxf以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到 元函数 上去。n)(Pf若函数 在点 不连续，则称 为函数 的间断点。这里顺便),(yxf),(0yxP0P,yx指出：如果在开区域（或闭区域） 内某些孤立点，或者沿 D 内某些曲线，函数D没有定义，但在 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都),(f是函数 的不连续点，即间断点。),(yxf前面已经讨论过的函数 ,0,0),(22yxyxf当 ， 时的极限不存在，所以点 是该函数的一个间断点。二元函数的间0),(断点可以形成一条
15、曲线，例如函数 1sin2yxz在圆周 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。性质 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，在 上一定有DD最大值和最小值。这就是说，在 上至少有一点 及一点 ，使得 为最大值而D1P2)(1Pf为最小值，即对于一切 PD, 有)(2Pf.)()(12fff性质 2（介值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，如果在 上取得两个不同D的函数值，则它在 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果 是函数D 在 上的最小值 和最大值 之间的一个数，则在 上至少有
16、一点 ，使得 。mMQ)(f一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则， 可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数。多元连续函数的复合函数也是连续函数。与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这里指出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合） 。例如，21xy是两个多项式之商，它是多元初等函数。又例如 是由基本初等函数 与多项)sin(yxsin式 复合而成的，它也是多元初等函数。yx根据上面
17、指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性，再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 处的极限，而该点又在此函数的定义区0P域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即.)(lim00PffP例 6 求 .xy21li解 函数 是初等函数，它的定义域为 。f),( 0,),(yxD因 不是连通的，故 不是区域。但 是区域，且 ，所D0,),(1yxD1以 是函数 的一个定义区域。因 , 故),(yxf 102P.23,1li
18、m21fyx如果这里不引进区域 ，也可用下述方法判定函数 在点 处是连续的：1D),(yxf)2,1(0P因 是 的定义域 的内点，故存在 的某一邻域 ，而任何邻域都是0P),(yxf 0PDU区域，所以 是 的一个定义区域，又由于 是初等函数，因此0U),(yxf ),(yxf在点 处连续。),(yxf一般地，求 ，如果 是初等函数，且 是 的定义域的内点，则)(lim0Pf)(f0P)(f在点 处连续，于是 。)(Pf li00f例 7 求 。xyyx1li0解 = = = 。xyyx1lim0)1(li0xyyx 1lim0xy2小结：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论
19、中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推。作业：已知函数 ,试求 yxxyftan),(),(tyf试证函数 满足关系式Fl,.),(),()()(),( vyFuvxuvxyF已知函数 ，试求 .vwf, ),xyxf求下列各函数的定义域：（） ; （） ;1)(y-2xln zyxz1（） ； （） ； 21)ln(y（） （ ） ；22zyxR22rzyx0rR（） 2arcosyxu求下列各极限：（） ； （） ；210limyxy201)ln(imyxey（） ； （） ；yx4li0li0yx（） ； （） yxx)sin
20、(lm02 2)(cos1lim20yxyxe证明下列极限不存在：（） ； （） yxy0li 220)(liyxyx函数 在何处是间断的？z2证明 0lim20yxy第 八 章 多元函数微分法及其应用第 二 节：偏导数教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数的偏导数。教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。教学内容：第二节 偏 导 数一、 导数的定义及其计算法在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念。对于多元函数同样需要讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因
21、变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。以二元函数 为例，如果只有自变量 变化，而自变量 固定（即看作常量） ，这时它就),(yxfzxy是 的一元函数，这函数对 的导数，就称为二元函数 对于 的偏导数，即有如下定义：zx定义 设函数 = ),(yx在点 的某一邻域内有定义，当 固定在 而 在zf),(0 y0x处有增量 时，相应地函数有增量0xx,)(),(000yxfxf如果 (1)0limx yxf),(,0存在，则称此极限为函数 在点 处对 的偏导数，记作),(fz),(0x, , 或0yx0yxf0yxzxf),(0y例如，
22、极限（1）可以表示为. (2)00lim),(xxyf xff),(),(00类似地，函数 在点 处对 的偏导数定义为),(yfz),(0y(3)0liy xxf,(00记作 , , 或0yxz0yxf0yxzyf),(0x如果函数 在区域 D 内每一点 ,处对 的偏导数都存在，那么这个偏导),(f数就是 的函数，它就称为函数 对自变量 的偏导数，记作yx、 )(yxfzy, , 或xzfxx,类似地，可以定义函数 对自变量 的偏导数，记作),(yfy, , 或zyzyf),(x由偏导数的概念可知， ),(x在点处对 处对 的偏导数 显然就f,0xf),(0y是偏导函数 在点 处的函数值； 就
23、是偏导函数 在点 xf),(y0yf),(0xy处的函数值。就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函),(0yx数简称为偏导数。至于实际求 的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在),(yxfz变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题。求 时，只要xf把 暂时看作常量而对 求导数；求 时，则只要把 暂时看作常量而对 求导数。yxyfxy偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数 = ( ) 在点 (ufzx,) 处对 的偏导数定义为zyx,x xzyfzfzyfxx ),(),(),(0lim其中 ( )是函数 的定义域的内点。它
24、们的求法也仍旧是一元函数的微zyx, ,fu分法问题。例 1 求 在点(1, 2)处的偏导数。223yxz解 把 y 看作常量，得 x把 x 看作常量，得 yz23将 (1, 2)代入上面的结果，就得，812xyz732xy例 2 求 的偏导数。zsin解 , yxy2i12yxzy2cos12例 3 设 ,求证：)0(z，+xyln1y2证 因为 1yxz, ,xzylnx0所以 + = +yxzln1y1yxzxyy2ln例 4 求 的偏导数。22zr解 把 和 都看作常量，得yz= =xr22rx由于所给函数关于自变量的对称性，所以= , = .yrzr例 5 已知理想气体的状态方程 (
25、 为常量) ，求证：RTpV =1.VpT证 因为 , = ;Vp2, = ;pRTV, = ;所以 = = =1.VpT2VRpVRT我们知道，对一元函数来说， 可看作函数的微分 与自变量的微分 之商。而dxydydx上式表明，偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商。二元函数 在点 的偏导数有下述几何意义。),(yxfz),(0设 为曲面 上的一点，过 作平面 ，截此,00M),(yxfz0M0y曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ，则导数 , 0y),(fz 0|),(xfdx即偏导数 ,就是这曲线在点 处的切线 对 轴的斜率（见图 8-6） 。同样，)(0yxf MxT0
26、偏导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线,y 0对 轴的斜率。yTM0我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点 沿着平行于坐标轴的方向趋于 时，函数值 趋于 ,但不能保证P0P)(Pf)(0f点 按任何方式趋于 时，函数值 都趋于 。例如，函数0)(f)(f,0,0,),( 22yxyxfz在点（0，0）对 的偏导数为x),(),0(),(limfffxx同样有 0),()0,()0,(liyfffyy但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连
27、续。二、 高阶偏导数设函数 在区域 内具有偏导数),(yxfzD, ,)(yxfz)(yxfz那么在 D 内 、 都是 的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则),(yxf,f，称它们是函数 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导,z数：= , = ,xz)(2yxfxz)(2yxf= , =y)(fyxy),(2fy其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及 阶偏导数。二阶及n二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。例 6 设 ，求 、 、 、 及 。132xyyxz 2xzyxz22y3xz解 = , = ；32 39= , = ；2xz26yxyz2162y
28、= , = ；1922x812= 63xzy我们看到例 6 中两个二阶混合偏导数相等，即 = 这不是偶然的。事实上，xyz2我们有下述定理。定理 如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续，),(yxfzxyz2y2那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。这定理的证明从略。对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数。而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。例 7 验证函数 满足方程2lnyxz+ =0 。2xy证 因为 ,)ln(21ln22yxxz所以 = , = ,yz2= = ,2xz2)(y
29、x2= =2y2)(2yx因此 + = + =0.2xzy2x2y例 8 证明函数 ，满足方程ru1+ + =0 ,2xy2z其中 .r证 = = = ,xu21r2rx3r= + = + .2x3r435由于函数关于自变量的对称性，所以= + , = + .2yu31r52yzu31r52z因此 + +2x2= + = + =0.3r5)(rzy3r52例 7 和例 8 中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础。作业：求下列函数
30、的偏导数：（） ； （） ；xyz3uvs2（） ； （） ；)ln( )(cos)in(2xyz（） ； （） ；yxztal1（） ； （） 。zyxu zyxu)arctn(设 ，求证 。glT20gTl设 ，求证 。)1(yxezzyxz22设 ，求 aref sin)(),( )1,(xf曲线 在点（，）处的切线对于 轴的倾角是多少？4,2yxz x求下列函数的 ， ， ：2xzyxz2a) ；4zb) ；xarctnc) yz设 ，22),(zxyf求 )1,0(),0(1,0zzxzx fff 设 ，求 及 )lnyyx2323验证：a) 满足 ；nxeytksi2t2xkb)
31、满足 22zr2ry2zr第 八 章 多元函数微分法及其应用第 三 节：全微分及其应用教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分。教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。教学难点：计算多元函数的全微分。教学内容： 第三节 全微分及其应用一、全微分的定义我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得，xyfxfyxf x),(),(),(上面两式的左端分别叫做二元函数对 和对 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对
32、和xy x对 的偏微分.y在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题下面以二元函数为例进行讨论设函数 在点 的某一邻域内有定义，并设 为这),(yxfz),(yxP ),(yxP邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 为函数在点 P),(fyxf对应于自变量增量 、 的全增量，记作 c，即xy),(),(ffz一般说来，计算全增量z 比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量 、 的线性函数来近似的代替函数的全增量 ,从而引入如下定义xy z定义 如果函数 在点 的全增量),(yxfz),(yxP),(),(yxfyxfz可表
33、示为，)(oBAz其中 、 不依 赖于 、 而仅与 有关， ，则称函数yxyyx、 22)(yx在点 可微分，而 称为函数 在点 的全微),(xfz),(PBA,fz),xP分，记作 ，即 。dyxz如果函数在区域 内各点处都可微分，那末称这函数在 内可微分。DD在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由上述定义可知，如果函数 在点 可微分，那末函数在),(yxfz),(yxP该点必定连续。事实上，这时由（2）式可得，0limz从而。),(),(lim),(li 00 yxfzyxyxyx 因此函数 在点 处连续。,(fz,P下面讨论函数 在点
34、可微分的条件。)yxf),(yx定理 1（必要条件）如果函数 在点 可微分，则该函数在点fz),(yxP的偏导数 、 必定存在，且函数 在点 的全微分为),(yxPxzy,fz),(= + 。dz证 设函数 在点 可微分。于是，对于点 的某个邻域的任意一点),(yxfz),(yxPP， （2）式总成立。特别当 时（2）式也应成立，这时 ，),(yxP0|x所以（2）式成为。|)(),(),( xoAff 上式两边各除以 ，再令 而取极限，就得x0lim = ，xyff),(),(A从而偏导数 存在，且等于 。 同样可证 = 。所以（3）式成立。证毕。zyzB我们知道，一元函数在某点的导数存在是
35、微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 + ，xzy但它与 之差并不一定是较 高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。换句话说，z各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如，函数=),(yxfz0,0,22yx在点 处有 及 ，所以)0,(P),(xf),(yf= ,0,fzyx22)(x如果考虑点 沿着直线 趋于 ，则),( y0,P= = = ,22)(.yx22)(.yx22)(.x1它不能随 而趋于 0，这表示 时，0),(),0(yfxfzyx并不是较 高阶的无穷小，因此函数在点 处的全微分并不存在，即函
36、数在点),(P处是不可微分的。),(P由定理 1 及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理。定理 2（充分条件） 如果函数 的偏导数 、 在点 连续，则),(yxfzxzy),(xP函数在该点可微分。证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此） ，所以假x0定偏导数在点 连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡),(yxP说到偏导数在某一点连续均应如此理解） 。设点 为这邻域内任意一点，),(yxP考察函数的全增量 ),(),(yxfyxfz。),(),( y
37、xfyxf在第一个方括号内的表达式，由于 不变，因而可以看作是 的一元函数 y的增量。于是，应用拉格郎日中值定理，得到),(yxfxyfz ),(),= (1xfx10又假设， 在点 连续，所以上式可写为),y),yP(xfxf = ， （4）yf1),其中 为 、 的函数，且当 ， 时， 。1x0xy01同理可证第二个方括号内的表达式可写为， （5）yffyf 2),(),(),( 其中 为 的函数，且当 时， 。 20由（4） 、 （5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z 可以表示为。 （6）yxyxfyxfzy21),(),( 容易看出| | ，21|21它是随着 ， 即 而趋于零。
38、0xy0这就证明了 在点 是可微分的。),(fz),(yxP以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上，我们将自变量的增量 、 分别记作 、 ，并分别称为自变量xydxy的微分。这样，函数 的全微分就可以写为yx、 ),(fz= + . (7)dxyd通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。例如，如果三元函数 可以微),(zyxu分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即= + duxydzu例 1 计算函数 的全微分2yx解 因为 ， ，z
39、zyx2所以 dyd)(例 2 计算函数 在点 处的全微分xez1,2解 因为 =yexy, =xexyy| = , | = ,xz2ez2e所以 = ddyx22例 3 计算函数 的全微分.zeusin解 因为 = , = + , = ,x1y2coyzuyze所以 = ( + ) + dusyzdyzx=2y=1 x=2y=1小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）全微分的定义及存在条件和求法，也可以简单介绍全微分在近似计算中的应用。作业：求下列函数的全微分：（） ； （） ；yxzxyez（） ； （） 2xyzu求函数 当 ， 时的全微分)1ln(yz1x2
40、求函数 当 ， ， ， 时的全增量和全微分x2.0.y求函数 当 ， ， ， 时的全微分yez 5x1第 八 章 多元函数微分法及其应用第 四 节：多元复合函数的求导法则 教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形式不变性。教学重点：针对多元函数的表达状态（参数方程、复合函数） ，能够求其导函数。教学难点：抽象复合函数的求导。教学内容：第四节 多元复合函数的求导法则定理 如果函数 及 都在点 可导，函数 在对应点)(tu)(tvt),(vufz具有连续偏导数，则复合函数 在点 可导，且其导数可用下列公式),(vu ,fz计算： dtztudtvz)1(证 设 获得增量
41、，这时 的对应增量为 、 ，由此，函数)(tvtu、uv对应地获得增量 根据假定，函数 在点 具有连续偏导数，),(vfzz),(vfz),(于是由第三节公式 有)6(zuvz1u2,v这里，当 ， 时， ， 001将上式两边各除以 ，得t tzutvzt1tu1tv因为当 时， ， ， ， ，所以00dutv= +tzt0limdtvzt这就证明了复合函数 在点 可导，且其导数可用公式 计算证)(,tft )1(毕用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形例如，设、 ， 复合而得复合函数),(wvufz)(t)(tv)(tw,t则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点 可导
42、，且其导数可用下列公式计算t dtztudtvzt)2(在公式 及 中的导数 称为全导数)1(2t上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形例如，设， ， 复合而得复合函数),(vufz),(yx),(yxv3如果 及 都在点 具有对 及对 的偏导数，函数),(yx),(yxv),(yxy在对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在点 的两个偏导数存在，ufzu)3(),x且可用下列公式计算：= + , xuvzx)4(= + yzy5事实上，这里求 时，将 看作常量，因此中间变量 及 仍可看作一元函数而应用xzuv上述定理但由于复合函数 以及 和 都 、 是的二元函数，所)3(),
43、(yxu),(yxv以应把 式中的 改为 ，在把 换成 ，这样便由 得到 式。同理由 式可得到)1(dt14)1(式。5类似地，设 、 及 都在点 具有对 及对 的),(yxu),(yxv),(yxw),(yxy偏导数，函数 在对应点 具有连续偏导数，则复合函数wfzu),(,),(yxyxfz在点 的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：= + ， xzuvzxw )6(= + yy 7如果 具有连续偏导数，而 具有偏导数，则复合函数),(vufz),(yxu,),(yxfz8可看作上述情形中当 ， 的特殊情形，因此vw， ，xvx， ，yvyw从而复合函数 具有对自变量及的偏导数，且由公式
44、 及 得)8( )6(7 ，xzufxf yfyf注意 这里 与 是不同的， 是把复合函数 中的 看作不变而对 的偏导数，xzfxz)8(yx是把 中的 及 看作不变而对 的偏导数 与 也有类似的区别xf),(yuyzf例 设 而 ， 求 和 vezusinxyvxy解 = +xz= 1veusinveyucos= ，)()(yxxxy= +zuvz 1esinvexucos )()(yxyxy例 设 ，而 求 和 2,zxefusin2xuy解 xz2zyx2zyxesin )sin1(yz22i yufzy22zyxe2zyxecos )sin(4 yxye242sin例 设 ， 而 ，
45、求全导数 tuvzsinteutvcosdtz解 dttdtztin= = tecsicosttet cs)(例 设 ， 具有二阶连续偏导数，求 及 ),(xyzfwf xwz2解 令 , ，则 yxuv),(vufw为表达简便起见，引入以下记号： ， ，1fuv),(12fvuf),(这里下标 1 表示对第一个变量 求偏导数，下标 2 表示对第二个变量求偏导数，同理有 、 、 等等。2f2f因所给函数由 及 ， 复合而成，根据复合函数求导法),(vuwzyxxyv则，有 ，xufvfx1fz2f （ ） zw21fyz2fy2fzf2求 及 时，应注意 及 仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有f12 1f2 ，zf1uzvf1z1fxy12f f2f f2 1f2f于是 + zxw21fxy12ff21yz2zfx 1f12)(f2fyf例 设 的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换成极坐标系中的形式：),(yxu ； )1(2xu2y)(2xuy解 由直角坐标与极坐标间的关系式，cosrsinr可把函数 换成极坐标 及
