1、9.4 两个平面平行知识梳理1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.点击双基1.（2005 年春季北京，3）下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设 a、b 是两条互不垂直的异面直线，过 a、b 分别作平面 、 ，对于下面四种情况：b ，b ， ， .其中可能的情况有A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种解析：都
2、有可能，不可能，否则有 ba 与已知矛盾.答案：C3. 、 是 两 个 不 重 合 的 平 面 ， a、 b 是 两 条 不 同 直 线 ， 在 下 列 条 件 下 ， 可 判 定 的是A. 、 都平行于直线 a、bB. 内有三个不共线点到 的距离相等C.a、b 是 内两条直线，且 a ，b D.a、b 是两条异面直线且 a ，b ，a ，b 解析：A 错，若 ab，则不能断定 ；B 错，若 A、B、C 三点不在 的同一侧，则不能断定 ；C 错，若 ab，则不能断定 ；D 正确.答案：D4.a、b、为三条不重合的直线， 、 、 为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： aac cb
3、ab; ;其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）答案：典例剖析【例 1】 设平面 平面 ，AB、CD 是两条异面直线，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且 A、C ，B、D ，求证：MN平面 .ABCDEM Nab剖析：因为 AB 与 CD 是异面直线，故 MN 与 AC、BD 不平行.在平面 、 中不易找到与 MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过 MN 且与 平行的平面.根据 M、N 是异面直线上的中点这一特征，连结 BC，则此时 AB、BC 共面，即 BC 为沟通 AB、CD 的桥梁，再取 BC 的中点
4、 E，连结 ME、NE ，用中位线知识可证得 .证明：连结 BC、AD，取 BC 的中点 E，连结 ME、NE ，则 ME 是BAC 的中位线，故 MEAC，ME ，ME .同理可证，NEBD .又 ，设 CB 与 DC 确定的平面 BCD 与 平 面 交 于 直 线 CF， 则 CF BD， NE CF.而 NE 平 面 ， CF ， NE .又 MENE=E，平面 MNE ，而 MN 平面 MNE，MN平面 .【例 2】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC 1D1A1 中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于 a，并且 AA1CC 1.求证：平面 A1BC1平面 ACD
5、1.A A B C C D 1 1 1证法一：作正方形 BCC1B1 和 CC1D1D，并连结 A1B1 和 AD.AA 1 CC1 BB1 DD1，且 AA1AB，AA 1A 1D1，ABB 1A1 和 AA1D1D 都是正方形，且 ACC1A1 是平行四边形.故它们的对应边平行且相等.ABCA 1B1C1，A 1B1B 1C1.同理，AD CD.BB 1AB，BB 1BC，BB 1平面 ABC.同理，DD 1平面 ACD.BB 1DD 1，BB 1平面 ACD.A、B、C 、D 四点共面.ABCD 为正方形.同理，A 1B1C1D1 也是正方形. DDAA CCBB1 1 11故 ABCD
6、A1B1C1D1 是正方体.易知 A1C1AC，A 1C1平面 ACD1.同理，BC 1平面 ACD1， 平面 A1BC1平面 ACD1.证法二：证 ABCDA1B1C1D1 是正方体，同上.连结 B1D、B 1D1，则 B1D1 是 B1D 在底面 ABCD 上的射影，由三垂线定理知 B1DA 1C1，同理可证 B1DBA 1，B 1D平面 A1BC1.同理可证，B 1D平面 ACD1，平面 A1BC1平面 ACD1.思考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.【例 3】 如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N、P 分别是C1C、B
7、1C1、C 1D1 的中点，求证：AADDBBCC1111NPM（1）APMN；（2）平面 MNP平面 A1BD.证明：（1）连结 BC1、B 1C，则 B1CBC 1，BC 1 是 AP 在面 BB1C1C 上的射影.AP B 1C.又 B1CMN，APMN.（2）连结 B1D1，P、N 分别是 D1C1、B 1C1 的中点，PNB 1D1.又 B1D1BD ，PNBD.又 PN 不在平面 A1BD 上，PN平面 A1BD.同理，MN平面 A1BD.又 PNMN=N，平面 PMN平面 A1BD.评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由
8、于 M、N、P 都为中点，故添加 B1C、BC 1 作为联系的桥梁.闯关训练夯实基础1.（2003 年上海）在下列条件中，可判断平面 与 平行的是A. 、 都垂直于平面 B. 内存在不共线的三点到 的距离相等C.l、m 是 内两条直线，且 l ，m D.l、m 是两条异面直线，且 l ，m ，l ，m 答案：D2.设平面 ，A、C ，B 、D ，直线 AB 与 CD 交于 S，若AS=18， BS=9， CD=4，则 CS=_.解析：如图（1） ，由 可知 BDAC， = ，即 = ，SC=68.SB189S3SSA AB BC Ca a b b(1) (2)D D如图（2） ，由 知 AC
9、BD， = = ，即 = .SBDS918SC34SC= .368答案：68 或3.如图甲，在透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1 容器内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：A AA AB BB BC CC CD DD DE EFFG GH H1 11 11 11 1乙 乙水的部分始终呈棱柱状；水面四边形 EFGH 的面积不改变；棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行；当容器倾斜如图乙时，EFBF 是定值.其中正确命题的序号是_.解 析 ： 对 于 命 题 ， 由 于 BC 固 定 ， 所 以 在 倾 斜 的 过 程 中 ，
10、 始 终 有 AD EH FG BC，且 平 面 AEFB 平 面 DHGC， 故 水 的 部 分 始 终 呈 棱 柱 状 （ 四 棱 柱 或 三 棱 柱 、 五 棱 柱 ）， 且 BC为 棱 柱 的 一 条 侧 棱 ， 命 题 正 确 .对 于 命 题 ， 当 水 是 四 棱 柱 或 五 棱 柱 时 ， 水 面 面 积 与 上 下 底面 面 积 相 等 ； 当 水 是 三 棱 柱 时 ， 则 水 面 面 积 可 能 变 大 ， 也 可 能 变 小 ， 故 不 正 确 . 是 正 确 的（ 请 给 出 证 明 ） . 是 正 确 的 ， 由 水 的 体 积 的 不 变 性 可 证 得 .综 上
11、 所 述 ， 正 确 命 题 的 序 号 是 .答案：4.如下图，两条线段 AB、CD 所在的直线是异面直线，CD 平面 ，AB ， M、N 分别是 AC、BD 的中点，且 AC 是 AB、CD 的公垂线段.A BBC DEM Na （1）求证：MN ；（2）若 AB=CD=a，AC=b，BD= c，求线段 MN 的长.（1）证明：过 B 作 BB ，垂足为 B，连结 CB、DB，设 E 为 BD 的中点，连结 NE、CE，则 NEBB 且 NE= BB，又 AC=BB，21MC NE，即四边形 MCEN 为平行四边形（矩形）.MNCE.又 CE ，MN ，MN .（2）解：由（1）知 MN=
12、CE，AB=CB =a= CD，BD = = ，2B2bcCE= = ，即线段 MN 的长为 .)(422bca241cb 2241a5.如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=a.AADDBBCC11 11 1MNOO（1）求证：平面 AD1B1平面 C1DB；（2）求证：A 1C平面 AD1B1；（3）求平面 AB1D1 与平面 BC1D 之间的距离.（1）证明：D 1B1DB，D 1B1平面 C1DB.同理，AB 1平面 C1DB.又 D1B1AB 1=B1，平面 AD1B1 平面 C1DB.（2）证明：A 1C1D 1B1，而 A1C1 为 A1C 在平面 A1B1C1D
13、1 上的射影，A 1C1D 1B1.同理，A 1CAB 1，D 1B1AB 1=B1.A 1C平面 AD1B1.（3）解：设 A1C平面 AB1D1=M，A1C平面 BC1D=N，O 1、O 分别为上底面 A1B1C1D1、下底面 ABCD 的中心.则 MAO 1，NC 1O，且 AO1C 1O，MN 的长等于平面 AD1B1 与平面 C1DB 的距离，即 MN=A1M=NC= A1C= a.3培养能力6.如下图，直线 a直线 b，a 平面 ，b 平面 ， 平面 ， 平面 ，a与 b 所确定的平面不与 垂直.如果 a、b 不是 的垂线，则必有 .aabbm na bg 证明：令 =直线 a，
14、=直线 b.分别过 a、b 上任一点在 内、 内作a、b的垂线 m、n.根据两平面垂直的性质定理， ， ，m ，n .m n.a 不垂直于 ，m ，且 a、m 在 内， a 与 m 必 是 相 交 直 线 .又 b 与 n 在 内 ， 且 有 a b， m n， a ， m . .点评：根据 ab，在 、 内另找一对平行线.由 、 ，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.7.如 下 图 ， 已 知 平 面 平 面 平 面 ， 且 位 于 与 之 间 .点A、 D ， C、 F ，AC =B，DF =E. ACBDabgMEF（1）求证： = ；BCAEFD
15、（2）设 AF 交 于 M，AC DF， 与 间距离为 h， 与 间距离为 h，当的值是多少时，BEM 的面积最大?h（1）证明：连结 BM、EM 、BE . ，平面 ACF 分别交 、 于 BM、CF ，BMCF. = .同理， = . = .BCAFAEFDBC（2）解：由（1）知 BMCF， = = .同理， = .FMhMhS = CFAD （1 ）sinBME.BE2据 题 意 知 ， AD 与 CF 是 异 面 直 线 ， 只 是 在 与 间 变 化 位 置 .故 CF、 AD 是常 量 ，sinBME 是 AD 与 CF 所成角的正弦值，也是常量，令 hh=x.只要考查函数y=x
16、（1x）的最值即可，显然当 x= ，即 = 时，y= x 2+x 有最大值.21当 = ，即 在 、 两平面的中间时，S 最大.h2 BEM8.如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N、E、F 分别是棱A1B1、A 1D1、B 1C1、C 1D1 的中点，AB=a.AADDBBCC111 1EFMNOPHQ（1）求证：平面 AMN平面 EFDB；（2）求异面直线 BE 与 MN 之间的距离.（1）证明：MNEF，MN平面 EFDB.又 AMDF ，AM平面 EFDB.而 MNAM =M，平面 AMN平面 EFDB.（2）解：BE 平面 EFDB，MN 平面 AMN，且平面 AMN
17、平面 EFDB，BE 与 MN 之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面 A1ACC1 的交线 AP、OQ，作 OHAP 于 H.DB平面 A1ACC1，DBOH .而 MNDB，OHMN.则 OH平面 AMN.A 1P= a，AP= a，4223设A 1AP= ，则 cos = = ，432OH= AOsin = a a= a.2异面直线 BE 与 MN 的距离是 a.3探究创新9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为 的斜坡上种树，假设树高为 h m，当太阳在北偏东 而仰角为 时，该树在坡面上的影长为多少米？分析：如下图，DE
18、是高度为 h 的树，斜坡 AD 朝正南方向， AB 为东西方向，BC 为南北方向.CBD= ，ACB= ，EAC= ，AED=90 ，影长 AD=x 为未知量.但 x难以直接与上述诸已知量发生联系，故设DAC= 为辅助未知量，以揭示 x 与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.ADCBEabgq解：在ADE 中， = ，)sin(h)90si(ox即 = . cosx)i(在ACD 中，CD= xsin ，AC=xcos .在ABC 中，BC =ACcos =xcos cos .在BCD 中，tan = = . BCDcostan由推得 x= . )sin(ch由推得 tan =tan cos
19、 ，即 =arctan（tan cos ）.代入，即得树在坡面上的影长.思悟小结证明两平面平行的方法：（1）利用定义证；（2）利用判定定理证；（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.教师下载中心教学点睛1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.2.判定两个
20、平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交.拓展题例【例 1】 下列命题中，错误的是A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面 平面 ，a ，过 内的一点 B 有唯一的一条直线 b，使 baC. ， ， 、 、 、 的交线为 a、b、c 、d，则 abcd D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件解析：D 错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.如下图， ，直
21、线 AB 与 、 都成 45角，但 =l.ABabl答案：D【例 2】 在四棱锥 PABCD 中，ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，M、N 分别是AB、 PC 的中点 .A BCDMNEP（1）求证：MN平面 PAD；（2）当 MN平面 PCD 时，求二面角 PCDB 的大小.（1）证明：取 CD 的中点 E，连结 ME、NE.M、N 分别是 AB、PC 的中点，NE PD，MEAD. 于是 NE平面 PAD，ME平面 PAD.平面 MNE平面 PAD，MN 平面 MNE.MN平面 PAD.（2）解：设 MA=MB=a，BC= b，则 MC= .2baN 是 PC 的中点，MN平面 PCD，MNPC.于是 MP=MC= .2baPA平面 ABCD，PAAM ，PA= =b.2AMP于是 PD= b，EN 是PDC 的中位线，EN = PD= b.21MECD ，MN平面 PCD，ENCD，MEN 即为二面角 PCDB 的平面角.设为 ，于是 cos = = ， =45，即二面角 PCDB 的大小为 45.EMN2
