1、高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数 头htp:/w.xjkygcom126t:
2、/.j 表示函数的平均改变量，它是 x 的函数，而 f( x0)表示一个数值，即 f( x)= ，知道导数的等价形式 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco yli0头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )()(li)(lim000 0ffxfxx 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 对于函数求导，一般要遵循先化
3、简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjky
4、gco 例 1 求函数的导数 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco )1()3 sin() s)() 222 xfyxbay 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题 3 个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 这是导数中比较典型的求导类型 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘
5、量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 222()cos(1)cos(): xx 解 2 222 221cos1)()cs()o(1in1cos
6、()sixxxxx (2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y= 3, =ax bsin2 x, =av byv=x,y=sin = xy=( 3)=3 2 =3 2(av by)=3 2(av by)=3 2(av by )=3(ax bsin2 x)2(a bsin2 x)(3)解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 y=f( ), = ,v=x2+1,则y x=y vv x=f( ) v 2x1=f( ) 2x122= ),1(22xf解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/
7、wxjkygco y= f( )= f( )( )212x12x=f( ) (x2+1) (x2+1)1=f( ) (x2+1) 2x12x1= f( )2x2例 2 利用导数求和(1)Sn=1+2x+3x2+nxn1 (x0, nN *)(2)Sn=C +2C +3C +nC ,(nN *)1n3命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 通过对数列的通项进
8、行联想，合理运用逆向思维 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由求导公式( xn)= nxn1 ,可联想到它们是另外一个和式的导数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 关键要抓住数列通项的形式结构 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第(1)题要分 x=1 和 x1 讨论，等式两边
9、都求导 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)当 x=1 时Sn=1+2+3+n= n(n+1);2当 x1 时， x+x2+x3+xn= ,1两边都是关于 x 的函数，求导得(x+x2+x3+xn)=( )xn1即 Sn=1+2x+3x2+nxn1 = 21)(nx(2)(1+ x)n=1+C x+C x2+C xn,1n两边都是关于 x 的可导函数，求导得n(1+x)n1 =C +2C x+3C x2+nC xn1 ,2n3令 x=1 得， n2n1 =C +2C +3C +nC ,即 Sn=C
10、 +2C +nC =n2n1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12例 3 已知曲线 C 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=x33 x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点( x0,y0)(x00)，求直线 l 的方程及切点坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 l 过原点，知 k= (x00),点( x0,y0)在曲线 C 上，y0=x033 x02+2x0, =x023 x0+2y=3 x26 x+2,k=3x026 x
11、0+2又 k= ,3 x026 x0+2=x023 x0+22x023 x0=0, x0=0 或 x0=由 x0,知 x0= y0=( )33( )2+2 =38 k= =0xy41 l 方程 y= x 切点( ， )238学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j y=esinxcos(sinx)，则 y(0)等于( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1 D
12、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 22 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 经过原点且与曲线 y= 相切的方程是( )59A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x+y=0 或 +y=0 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x y=0 或 +y=055C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x+y=0 或 y=0 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x y=0 或 y=03 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若 f( x0)=2, =_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
13、 ffk)(li004 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则 f(0)=_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知曲线 C1:y=x2与 C2:y=( x2) 2,直线 l 与 C1、 C2都相切，求直线 l 的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求函数的导数(1)y=(x22 x+3)e2x;(2)y= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 37 头htp:/w.xjkygc
14、om126t:/.j 有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以 3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 m 时，梯子上端下滑的速度 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求和 Sn=12+22x+32x2+n2xn1 ,( x0, nN *) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 参考答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头
15、htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y= esinxcos xcos(sinx)cos xsin(sinx), y(0)=e0(10)=1答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco B2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设切点为 (x0,y0),则切线的斜率为 k= ,0xy另一方面， y=( )= ,59x2)(4故 y( x0)=k,即 或 x02+18x0+45=0)5(9)(0020xy得 x0(1)=3, x0 (2
16、)=15,对应有 y0(1)=3,y0(2)= ,5319因此得两个切点 A(3，3)或 B(15, ),53从而得 y( A)= =1 及 y( B)= ,3)5(425)1(4由于切线过原点，故得切线 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco lA:y= x 或 lB:y= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco A3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 根据导数的定义 头ht
17、p:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f( x0)= (这时 )ffk)(li 00 kx1)(2)(li21 (li)000 00 xfkxff fkk答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 14 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f( x)=g(x)+xg( x),f(0)= g(0)+0g(0)= g(0)=12n=n！答案 头htp:/w.xjk
18、ygcom126t126.hp:/wxjkygco n!5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 l 与 C1相切于点 P(x1,x12),与 C2相切于 Q(x2,( x22) 2)对于 C1 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=2 x,则与 C1相切于点 P 的切线方程为y x12=2x1(x x1),即 y=2x1x x12 对于 C2 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=2( x2),与 C2相切于点 Q 的切
19、线方程为y+(x22) 2=2( x22)( x x2),即 y=2( x22) x+x224 两切线重合，2 x1=2( x22)且 x12=x224,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0直线 l 方程为 y=0 或 y=4x46 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)注意到 y0,两端取对数，得lny=ln(x22 x+3)+lne2x=ln(x22 x+3)+2xx xex exyy22 2222)( )3(3)(3 )()( (2)两端取对数，得ln|y|= (ln|x|ln|1
20、 x|),31两边解 x 求导，得 31)()1(3)( xxyxy7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5 ,295t当下端移开 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 m 时， t0= ,15734又 s= (259 t2) (92 t)=9t ,11 2951t所以 s( t0)=9 =0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 875(m/s)57(921578 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)当 x=1 时， Sn=12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1),6当 x1 时，1+2 x+3x2+nxn-1= ,21)(1x两边同乘以 x,得x+2x2+3x2+nxn= 21)(xn两边对 x 求导，得Sn=12+22x2+32x2+n2xn-1= 321)1()(1 xn
