1、数 学 建 模 课 程 设 计 报 告标枪投掷模型学 院专 业学 号姓 名指导教师成 绩教师评语：指 导 教 师 签 字 ： 2014 年 7 月 16 日数学与统计学院课程设计报告 第 2 页1 绪 论1.1 课题的背景标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，还与选手所采用的技术有关。而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。建立标枪掷远模型。不考虑阻力，设标枪初速度为 ，出手高度为 ，出手角
2、度为h（与地面夹角） ，建立投掷距离与 ， ， 的关系式，计算在确定的 ， 下，计算最h佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。1.2 预备知识上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。2 计算机工具简介MATLAB 具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。
3、本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用 MATLAB 作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。3 模型的假设3.1 模型假设(1)标枪运行的过程中没有任何阻力；(2)可以将标枪看作一个质点；数学与统计学院课程设计报告 第 3 页(3)投射角度 与投射初速度 是两个相互独立的量；(4)设当地的重力加速度为 ，且
4、取值为 9.8m/s，并在投掷的任意点都相等；g(5)标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。(6)不考虑标枪的旋转。3.2 符号说明：标枪初速度；： 在水平方向上的分量；xv： 在竖直方向上的分量；y：重力加速度；g：投射高度；h：出手角度；：标枪运行的时间；t：标枪在水平方向的位移（即为投掷距离） ；x：标枪在竖直方向的位移。y4 模型的建立与求解一、 在确定的 ， 下计算最佳出手角度 h由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度 和出手高度 一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直两个方向进行分析，标h枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直
5、方向受重力影响作竖直上抛运动，加速度为 。所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图 1 所示。gh xy图 4.1 标枪投掷轨迹图数学与统计学院课程设计报告 第 4 页出手时的速度 可以分解为：水平方向： cosx垂直方向： iny则有水平位移和竖直位移分别为： 2cos1inxtyhgt消去 ，有t hxgytacos22令方程中的 为 0，有：y2221sinsincos()xggg222ii()h舍去负根，有： 222sinsincos()hxggg取 =1.8m, =10m/s，利用 MATLAB 作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。ha = 0:0.01:1.57x = (
6、25.*sin(2*a)./19.6 + sqrt(25.*sin(2*a)./19.6).*(25.*sin(2*a)./19.6) + (360.*(cos(a).*(cos(a)./9.8)plot(a, x)title(标枪投掷距离与出手角度的关系)xlabel(出手角度 )ylabel(投掷距离 )grid结果如图4.2所示：数学与统计学院课程设计报告 第 5 页图 4.2 标枪投掷距离与出手角度的关系图由图可知，最大值的坐标为（0.40, 6.50） 。二、 研究不同的出手速度 下最佳的出手角度当 和 一定时，研究 的变化对出手角度 的影响。 便为关于 的函数，即：vhvx222s
7、insincos()()hxggg则 对 求一阶导数为：x 12422222cos1sincosinsicos()( )()vvhhggggg 令 ，有：0x4223242215cos(16)cos(156)cos0hhhghg解得： 21=arcos2ghv所以在给定出手高度，对于不同的出手速度， 为最佳出手角度。2rcs将上式代入数学与统计学院课程设计报告 第 6 页222sinsincos()()hxggg中，得： 2maxhgMatlab 命令：1.在给定出手速度 v 下要达到最大射程时对应的角度函数文件：function f=fun_sv(v)f=0.5*acos(1.8*9.8/(
8、1.8*9.8+v*v)/pi*180;绘出图像：fplot(fun_sv,0,100);xlabel(速度 V m/s);ylabel(角度);title(v 不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线 );axis(0 50 0 60);结果如图 4.3 所示：图 4.3 出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线数学与统计学院课程设计报告 第 7 页5 模型结果 5.1 模型的评价标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到，在运动员身体条件大致相当的情况下，该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性，而且模型的最终计算方法简便，计算过程简单，最终得
9、到结果与理论基本相符。但是由于条件限制，本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下，而实际情况中都会有一定的阻力。此外，标枪投掷的距离由很多因素决定，重力加速度也会随地域的不同而变化。我们建立的模型只是简单地研究了这个问题，比起实际问题的复杂程度，有很多因素没有考虑到。5.2 模型的推广本模型不仅可以用于标枪投掷问题，还可以推广到其他运动中。运用该模型的目的就是确定出手角度和最大投掷距离。此外，还可以根据此来引导运动员的一些运动习惯，从而在训练和比赛中队运动员和教练有一定的理论指导意义。结 论标枪运动作为一个传统的比赛项目，对增强体质，特别是发展躯干和上下肢力量有显著的作用。如何能够在比赛中取得
10、更好的成绩，是个困扰很多运动员和教练的问题。因此，能够通过数学模型的知识解决这个问题是很有意义的。本模型首先建立了铅球投掷的轨迹图，然后根据物理知识，把该运动分为水平和竖直两个方向来考虑，计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用 MATLAB 作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。得到结论是：在 =1.8m, =10m/s 时，出手的角度约为 0.40（约为 23 度） ，投掷距离h约为 6.5m。当出手角度为 时，标枪投得最远。由图 4.3 得，不同的出手速度21=arcos2ghv对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于 45。根据不同运动员的具体情况可从图 4.3 中确定最佳出手角度。数学与统计学院课程设计报告 第 1 页参考文献1 冯杰, 黄力伟, 王勤, 易成义. 数学建模原理与案例M. 北京: 科学出版社, 2007: 222-226.2 姜启源, 谢金星, 叶俊 . 数学模型 ( 第三版 ) M. 北京: 高等教育出版社, 2003.8: 135-153, 248-262, 358-375.
