1、小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继 Fourier 变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个发展阶段：Fourier 变换阶段：Fourier 变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。设信号 ，其 Fourier 变换为：()ft()itFfed确定了 在整个时间域上的频谱特性。但 Fourier 变换不能对信号从时域和频()F()ft域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。例： ，其 Fourier 变换对应图如下：()1,2)ftt短时 Fourier 变换阶段：短时 Fourier 变换即加窗 Fou
2、rier 变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier 分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。其表达式为： (,)(,)()jt jtf RGftgeftged式中， 为时限函数，即窗口函数， 起频限作用， 大致反映了 在()gt jt ,fG()ft时、频率为 的信号成分含量。由上式，短时 Fourier 变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时
3、间窗长度上减小，而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上的分析。小波的定义：设 （为能量有限的空间信号） ，其 Fourier 变换为 ，若满2()tLR A()足容许条件： A2|()|d则称 为母小波，由容许条件可得： ，说明 具有波()t(0)()0t()t动性，在有限区间外恒为 0 或快速趋近于 0.以 Marr 小波 为例，如下图：21()()tte将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下: ,1()(),0batbta其中 a 为伸缩因子，b 为平移因子。a以 Marr 小波为例，分别取伸缩平移因子 a，b 为 0.5、1、2、4；-1、0、1，对应图形如下:Da
4、ubichies 小波常见的小波有 Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer 小波等，其对应的图形及性质如下：Daubechies 小波是正交小波，没有解析表达式（除 Haar 小波外） 。其简写形式为 dbN，N 表示阶数，支集区间为（0，2N-1） 。Symlets 小波与 db 小波的差别是 sym 小波有更好的对称性。Morlet 小波不具备正交性，不存在紧支集，不能做离散小波变换，没有解析尺度函数，其小波函数为： 2/()cos(5)xeMexican Hat 小波不具有正交性，不存在尺度函数，是高斯函数的二阶导数，小波函数为： 21/4
5、/()3xxeMeyer 小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波，不存在紧支集，但其频谱有限，具有对称性。小波函数的特点：正交性：小波函数与自身内积为 1，而与其伸缩平移后的小波系列内积为 0。正交小波的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上，并且可以进行高效的离散小波变换。对称性：不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。紧支性：具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的，其局部化能力强，小波变换复杂度低。正则性：用于刻画小波函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。消失矩：用于衡量小波逼近光滑函数时的能力。消失矩越大，压缩比越大。尺度函数：若函数 ，其整数平移系列 满足：
6、2()tLR()kt(),kt则称 为尺度函数。()t对尺度函数 进行平移和伸缩，可得一个尺度和位移均可变的函数集合：()t/2,()()(2)jj jjk kttt称每一个固定尺度 上的平移系列 所张成的空间 为尺度 的尺度空间：jjk jVj(2),jjkVspantZ正交多分辨分析：Hilbert 空间 中，若一列闭子空间 满足如下LRjz性质：嵌套性： 1,();jjz逼近性： 20jjzzV伸缩性： 1()();j jftftV平移不变性： ,;j jkZ正交性（Riesz 基）：存在 ，使得 是 的标准正交基。0()t(),tkz0V滤波器：在二尺度方程中，对系数系列 和 作kzh
7、1(),kkghzFourier变换得 和 ，其中 ， ，称()HG1()2ikkzHe()2ikkzGe和 分别为低通滤波器和高通滤波器。称 和 分别为低通()HGkzhkzg滤波器系数和高通滤波器系数。小波变换连续小波变换：设 为一母小波， ，称2()ftLR12,(),|()abtbWfffda为 的连续小波变换。f离散小波变换离散小波：通过离散化连续小波变换中的平移因子 b 和尺度因子 a 得到，通常取 .00,mabnaZ离散小波变换： 2,000(),|()mmabWfffttndt 若取 ，可以得到二进小波：02,1/2, ,n Z信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数 和对应的
8、小波 与信号内积来实现，()t()t而是利用滤波器组 和 来实现，用矩阵形式表述如下：hng 110 01010 2j jjjc chkn nkhc 110 0101 0 2j jjjd cggkn nkg 其中，设滤波器长度为 k。并且两滤波器系数间有如下关系：1(),kkghz；2|kz；z;221kkzzh0,nnkz z以 db5 小波为例，其低通滤波器系数如下（这里取二尺度方程为）所得的系数：()2()kzthth0=0.160102397974;h1=0.603829269797;h2=0.724308528438;h3=0.138428145901;h4=-0.242294887
9、066;h5=-0.032244869585;h6=0.077571493840;h7=-0.006241490213;h8=-0.012580751999;h9=0.003335725285;变换所得系数 和 分别为离散小波变换的不同尺度下的低频和高频系数。jcjd小波逆变换即信号的重建运算，重构是从尺度最低的近似系数 和细节系数 开始，jcjd通过低频和高频重构滤波器恢复出上一尺度的近似信号 ，继续这个过程，直1j到恢复原始信号。其计算公式为： 1, ,(2)(2),jmjkjkchdgmZ离散小波变换与重构实例如下：所采用的信号为添加白噪声的正弦信号，信号共 1000 个采样，采用 db4 小波做 3 层分解，其原始信号、低频系数、高频系数和重构信号如下图：
