1、11.前言1.1 背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于 A 函数类的函数转化属于 B 函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。 傅里叶变换能够分析信号的成分 析 信 号 的 一 种 方 法 是 傅 立 叶 变 换 ，分， 可以当做信号的成分的波形有很多，例也 能 够 利 用 成 分 合 成 信 号 。如锯 傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的齿 波 ， 正 弦 波 ， 方 波 等 等
2、。成分。（拉普 PierSmonLaplce拉 普 拉 斯 变 换 最 早 由 法 国 数 学 家 天 文 学 家拉斯） （1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品概率分析理论之中。即使在 19 世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的 Oliver Heaviside 奥利弗亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。之
3、后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。21.2 预备知识定理 1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-，+）上，函数 满足一下条件：()（1）在任意一个有限闭区间上面 满足狄利克雷条件；()（2） ，即 在（-，+）上绝对可积；+|()|dt 10解 该积分方程可改写为2+0 g()=2()为的傅里叶正弦逆变换，故有：2()g()=+0 2g()=0=120cos(
4、1)cos(1+)=12例 2.3.2求积分方程()=()+()()，其中 是已知函数，而且 的傅里叶变换存f()， () f()， ()， ()在。解 设 ， 。由定义 1.2.6（卷积）可()=()()=()知，方程右端第二项 。故 对方程两边取傅里叶变换， =f()()根据卷积定理可得：()=()+()()，所以()= ()1()。求出原方程的解：由 傅 里 叶 逆 变 换 ，11()= 12+()jd= 12+()1()jd例 2.3.3求微分积分方程ax()+()+()=()的解，其中 ， 均为常数， 为已知函数0|=0=， |=0=， 解 由于未知函数 中 的变化范围为 ， u(,
5、) (， +)故对方程和初值条件关于 取傅里叶变换，记(， )=(， )，2u2=()2(， )=2(， )，2u2=22(， )=22(， )，cosx=(+1)+(1)，x=(+1)(1)。定解问题已经改变为求含参变量 的初值问题：22=2，|=0=(+1)+(1)，dd|=0=(+1)(1)。 是一个关于 t ：(， ) 的 二 阶 常 系 数 齐 次 微 分 方 程 ， 求 得 通 解 为(， )=c1sint+c2cost。由初值条件可知：c1=(+1)(1)， c2=(+1)+(1)。13因此初值问题的解为：(， )=(+1)(1)sint+(+1)+(1)cost=(cost+s
6、int)(+1)+(costsint)(1)。对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质 2.2.4（ 函数的筛选性质）原定解问题的解为： u(,)= 1(， )= 12+(cost+sint)(+1)+(costsint)(1)=2 +2 =+=()143.拉普拉斯变换的性质及应用3.1 拉普拉斯变换的性质性质 3.1.1（存在性）假如在 这个区间上 可以满足如下的条件：0,+) f()(1)在任意的一个有限的区间上面 分段连续；f()(2) ，使得0， 是常数， c00，|f()|0+0 f()est存在，由这个积分确定的 。()解析性质 3.1.2（线性性质）设 k1，k 2是常数， ， ，则：
7、1()=1() 2()=2().11()+22()=11()+22().11()+22()=11()+22()性质 3.1.3（微分性质）若 ，且 (n)(t)连续，则：()=() .()=()(0) ( c)更一般的，nZ +，有：15()=()1(0)2(0)1(0) ( c)更一般的，nZ +，有：()=()1(0)2(0)1(0)证明 由拉普拉斯变换的定义，分部积分法得： ()=+0 ()sdt=()s|+0 +s+0 ()sdt= limt+()s(0)+s(s)=()(0)性质 3.1.4（积分性质）若 ，则：()=()。0()=()证明 令 则 ， ，则：()=0()， ()=(
8、) (0)=0()=()(0)=()，0()=1()=() 。16性质 3.1.5（延迟性质）若 ，t0 时 ，则0， 为常数，有：()=() ()=0e-s( )= ()定理 3.1.1（卷积定理）如果 ， ，那么1()=1() 2()=2()1()2()=1()2()或者11()2()=1()2()证明 由定义有：1()2()=+0 1()2()sdt=+0 t01()2()dsdt由于二重积分绝对可积，可交换积分次序：1()2()=+0 1()+ 2()sdtd令 ：=u+ 2()sdt=+0 2()s(+)17=s2()故：1()2()=+0 1()s2()d=2()+0 1()sd=
9、1()2()3.2 应用3.2.1 解线性微分方程（组）例 3.2.1（线性微分方程）求 满足初始条件 的特解+=() (0) (0)=0解 对方程两端取拉普拉斯变换，得像方程()0+()=1于是18()= (+1)+0+1取逆变换，得()=1()()+0=0， 0t0，n 0)满足 的解x(0)=x(0)=0解 由性质 3.1.3（微分性质）可知tx=x=2()(0)(0)=2()2()对原方程两边做拉普拉斯变换得：2()+(1+)1()=0解这个分离变量方程：20()= +11将 展开为收敛的幂级数，而后逐项取拉普拉斯变换：()x()=2(2)214.傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系对于函数
10、 ，设 时， ,当 足够大时，函数ft0t()0 即tfe的 傅 里 叶 变 换 就 有 可 能 存 在 ，()=+()=+0 ()(+)再根据傅立叶逆变换可得()=12+()记 ，注意到 ，于是可得=+， F()=() ds=ids=+0 ()s， ()= 12i+ii()s当 实际上就是 的傅里叶变换，所以在一些时候把傅()=0， ft引入 的缘故是： 不一里 叶 变 换 称 为 拉 普 拉 斯 变 换 的 特 殊 情 形 。 ft而 在 足够大时能够定 可 以 符 合 傅 里 叶 变 换 的 狄 利 克 雷 条 件 ， ()符合傅里叶变换的条件。 的拉普拉斯变换的本质是 的傅ft ()里
11、叶变换，对于 来说，ft数（原函数乘以指数衰减函这 种 变 换 改 变 了 傅 里 叶 正 变 换 里 的 原 函数项） ， 分因子（ ） ，这种同 时 也 改 变 了 傅 里 叶 逆 变 换 的 积 ds=id变换就是 的拉普拉斯变换。注意这时 ，ft =+，而是一个复数(包含频率 )的 。它 的 讨 论 范 围 就 不 仅 仅 是 频 率 22连 续 的 时 间 域 信 号 转傅 里 叶 变 化 到换 是 把 频 率 域 ；斯变换的特例，它 可 以 说 是 拉 普 拉里叶变换要宽，拉 普 拉 斯 变 换 是 傅 里 叶 变 换 的 推 广 ， 存 在 的 条 件 比 傅是 把 连 续 的
12、时 间 域 信 号 转 化 到 复 频 率 域 。23总结本文先介绍了一些傅里叶变换的基础知识，先后介绍了两种不变换的性质，对重要的性质或定理进行了证明，并且介绍了两种变换的应用，列举了一些立体加以说明，最后总结了一下两种变换的关系。这两种变换都具有线性性质，微分性质，积分性质，卷积定理，等。都可以可用于解微分，积分方程。应用十分广泛，可以简化有些计算。两种变换的相关理论应用是一个广泛的领域，将来可能会有更多精彩的应用，希望大家通过这篇论文，对进一步研究这两种变换产生兴趣，将它们运用到更多地方。24参考文献1苏变萍，陈东立.2010.复变函数与积分变换.2 版.背景：高等教育出版社2蔺小林，白云霄，王晓琴，岳宗敏，胡明昊.2016.复变函数与积分变换.1版.北京：科学出版社3河北科技大学理学院数学系.2014.复变函数与积分变换.1 版.北京：清华大学出版社4 Hansen, Eric W. (Eric William). 2015.Fourier transforms: principles and applications, with an introduction to complex analysis. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc
