1、圆锥曲线大题集锦1在平面直角坐标系 中，F 是椭圆 的右焦点，已知xOy2:1(0)xyab点 （ 0，2）与椭圆左顶点关于直线 对称，且直线 AF 的斜率为 A 23（1）求椭圆 的方程；（2）过点 Q（1，0 ）的直线 l 交椭圆 于 M，N 两点，交直线 4 于点xE， ，证明： 为定值,MNE2 已知定圆 ： ，动圆 过点 且与圆 相切，记圆心M16)3(2yxN)0,3(FM的轨迹为 。NE（1）求轨迹 的方程；（2）设点 ， ， 在 上运动， 与 关于原点对称，且 ，当 的ABCABCBAA面积最小时，求直线 的方程。3.已知 ， 分别是椭圆 ： 的两个焦点， 是椭圆上一1F2C2
2、1(0)xyab)21(，P点，且 ， ， 成等差数列1P22PF（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知动直线 过点 ，且与椭圆 交于 两点，试问 轴上是否存在定点l2AB、 x，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理Q716AB Q由（2）假设在 轴上存在点 ，使得 恒成立x0Qm（ ， ） 716AQB当直线 的斜率不存在时， ， ，l 2(1,)(,)由于（ ，解得 或 ；27(1,)(,6A543m4.已知定点 C(1，0)及椭圆 x23y 25，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B 两点（1）若线段 AB 中点的横坐标是 ，求直线 AB 的方程；12（2）在 x 轴
3、上是否存在点 M，使 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，AB请说明理由解：（1）依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 yk( x1)，将 yk(x1)代入 x23y 25，消去 y 整理得(3 k21) x26k 2x3k 250.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 .36,0)(14221 2k由线段 AB 中点的横坐标是 ，得 ，解得 都满足-211x3k所以直线 AB 的方程为 或03yx03y（2）假设在 x 轴上存在点 M（m ，0） ，使 为常数AB（）当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由（1）知 x1x 2 ，x 1x2 6k23k2
4、1 3k2 53k2 1所以 (x 1m)(x 2 m)y 1y2(x 1m)(x 2m) k 2(x11)(x 21)AB(k 2 1)x1x2(k 2m)(x 1x 2)k 2m 2将代入，整理得 m 2M(6m 1)k2 53k2 1 m 22m 24()31k13 6m 143(3k2 1)注意到 是与 k 无关的常数，从而有 6m+14=0，此时 ，此AB 7时 49M（）当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A、B 的坐标分别为 ( ， )、( ， )，12323当 时，也有 综上，在 x 轴上存在定点 使 为常73m49AM 7,0MAB数5 设椭圆 C： (ab0)的一个顶点
5、与抛物线 C：x 24 y 的焦点重合，F 1，F 2 分12yx 3别是椭圆的左、右焦点，且离心率 e ，过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两12点（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 2，求直线 l 的方程；OM ON （3）若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MNAB，求证： 为定值|AB|2|MN|(1)解 由题意知，椭圆的一个顶点为(0 ， )，即 b ，e ，a2，3 3ca 12椭圆的标准方程为 1x24 y23(2)解 由题意可知，直线 l 与椭圆必相交当直线斜率不存在时，经检验不合题意当斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)(k0) ，且
6、M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)由 ，得(34k 2)x28k 2x4k 2120，)1(32xyx1x 2 ，x 1x2 ，8k23 4k2 4k2 123 4k2 x 1x2 y1y2x 1x2k 2x1x2(x 1x 2)1 k 2( 1)OM ON 4k2 123 4k2 4k2 123 4k2 8k23 4k22， 5k2 123 4k2解得 k ，故直线 l 的方程为 y (x1) 或 y (x1)，2 2 2即 x y 0 或 xy 02 2 2 2(3)证明 设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4)，由(2)可得|MN| |x1x 2| 1 k2 1 k2x1 x22 4x1x21 k2 8k23 4k22 44k2 123 4k2，12k2 13 4k2由 , 消去 y 并整理得 x2 ，xy123 4k2|AB| |x3x 4|4 ， 4，为定值1 k231 k23 4k2 |AB|2|MN|481 k23 4k212k2 13 4k2
