1、第十六章 坐标系与参数方程1. 【2014 新课标 I 版（理）23】已知曲线 ，直线 ： （ 为参数）.21:49xyCl2,xty（I）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；l（II）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ， 的最大值与最小P30lAP值【答案】2cos.().3in60.xyl （ I） 曲 线 C的 参 数 方 程 为 为 参 数直 线 的 普 通 方 程 为 csi54cos3in.ld（ I） 曲 线 上 任 意 一 点 P()到 的 距 离 为25 4si()6, tan.si0 325n .si()1.PAPA则 其 中 为 锐 角 ， 且当 +
2、=-时 ， 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为当 时 ， 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为2. 【2013 新课标 I 版（理）23】已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正45cos,inxy半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 .2sin(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标( 0,0 2)【答案】（1）因为 ，消去参数，得 ，即45cosinxty22(4)(5)xy，28106故 极坐标方程为 ；1C28cos10in60（2） 的普通方程为 ，2xy由 解得 或 ，2106xy1x2y所以 、
3、 交点的极坐标为 .1C2(2,),43. 【2012 新课标 I 版（理）23】选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程是 ( 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为2cos3inxy ， ，极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 正方形 ABCD 的顶点都在 上，且22 2CA， B， C， D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2， )3(1)求点 A， B， C， D 的直角坐标；(2)设 P 为 上任意一点，求 的取值范围22222PBCPD 【答案】（1）点 的极坐标为,AB541(,),(,),3636点 的直角坐标为,CD1,(,3)(,1)（2）设 ；
4、则0(,)Pxy02cos()3inx为 参 数22240tABPxy560si56,741. （河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学（理）试题） 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已知直线 l 的参数方程为 为参数),曲线 C 的极坐标方程为12,(3xty2sin8cos.(I)求 C 的直角坐标方程;(II)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求弦长|AB|.【答案】52. （河北省井陉县第一中学 2014 届高三 10 月月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,曲线 C1的参数方程为 2cosinxy( 为参数
5、)M 是 C1上的动点,P 点满足,P 点的轨迹为曲线 C2()求 C2的方程OQP2()在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 3与 C1的异于极点的交点为 A,与 C2的异于极点的交点为 B,求 A.【答案】解:(I)设 P(x,y),则由条件知 M( ).由于 M 点在 C1上,所以 2yx即 sin2coyxsin4coy从而 C的参数方程为 4cosinxy( 为参数) ()曲线 1的极坐标方程为 4sin,曲线 2C的极坐标方程为 8sin. 射线 3与 C的交点 A的极径为 1i3, 射线 与 2的交点 B的极径为 28s. 所以 1|3AB. 3.6. （河
6、北省邯郸市武安三中 2014 届高三第一次摸底考试数学理试题） 【在 直 角 坐 标 系 中 ,以 原 点 为 极 点 , x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 ,已 知 曲 线2:sincos(0)Ca,已知过点 (2,4)P的直线 l的参数方程为:42xty,直线 l与曲线 C分别交于 NM,两点.(1)写出曲线 和直线 l的普通方程 ;(2)若 ,PMN成等比数列, 求 a的值.【答案】解:()根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:sin 2=2acos 2sin2=2acos, 即 y 2=2ax, 直线 L 的参数方程为: ,消去参数 t 得:直线 L 的方程为 y+4=x
7、+2 即y=x2 ()直线 l 的参数方程为 (t 为参数), 代入 y2=2ax 得到 , 则有 因为|MN| 2=|PM|PN|,所以 即:2 (4+a)248(4+a)=8(4+a)解得 a=1 74.（河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学（理）试题）在直角坐标系 中,曲线 C 的参数方程为 为参数),以该直角坐标系的原点 O 为极点,xOy2(1xty轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 的方程为 .P24cos30(1)求曲线 C 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;(2)设曲线 C 和曲线 的交点为 、 ,求 .PAB|【答案】解:(1)曲线 的普通方程为 ,曲线 的直
8、角坐标方程为01yxP0342xy(2)曲线 可化为 ,表示圆心在 ,半径 的圆, P)2(y)2(r1则圆心到直线 的距离为 , C21d所以 22rAB5.8. （河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）选修 44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1:21yxC,以平面直角坐标系 xOy的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线 8sin2co3:l.(1)将曲线 C1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 2 倍,3 倍后得到曲线 C2,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2的
9、参数方程;(2)求 C2上一点 P 的 l 的距离的最大值.【答案】6.9. （山西省太原市第五中学 2013 届高三 4 月月考数学（理）试题）选修 4-4:极坐标与参数方程选讲已知曲线 C的极坐标方程为 cos,直线 l的参数方程是: tyx25(t为参数).()求曲线 的直角坐标方程,直线 l的普通方程;()将曲线 横坐标缩短为原来的 21,再向左平移 1 个单位,得到曲线 1C,求曲线 1上的点到直线 l距离的最小值.【答案】7.10. （河南省商丘市 2013 届高三第三次模拟考试数学（理）试题）选修 44;坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点, x轴的正半轴为极轴建坐标系,
10、已知曲线2:sincos(0)Ca;过点 (2,4)P的直线 l的参数方程为24xty( 是参数), 直线 l与曲线 C 分别交于 M、 N 两点.(1) 写出曲线 C 和直线 l的普通方程 ;(2) 若 |,|,|PMN成等比数列,求 a的值.【答案】解:()曲线 的普通方程为 2:,Cyx 直线 l的普通方程为 20xy ()将直线的参数表达式代入抛物线得 2141640tat, 12128,38tata因为 | 211 tMNPt , 由题意知, 212 5)(| tt, 代入得 a. 8.12. （河北省衡水中学 2013 届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）选修 44:坐标系与参数
11、方程已知圆 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点, x 轴的正半轴为极1C=cosinxyO轴建立极坐标系,圆 的极坐标方程为 .2C2cos()3()将圆 的参数方程化为普通方程 ,将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程 ;1 C()圆 、 是否相交,若相交 ,请求出公共弦的长;若不相交 ,请说明理由.2【答案】解:()由 得 x2+y2=1, =cosiny又 =2cos( + )=cos - sin , 3 3 2= cos - sin . 3 x2+y2-x+ y=0,即 3 221()()1xy()圆心距 ,得两圆相交 223(0)()d由Error!得, A(1,0),B ,
12、 1(,) 223|(+)(0)=9.13. （山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中 2013 届高三第四次四校联考数学（理）试题）(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴 的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 l的参数方程为 sinco1ty (t 为参数,0 ),曲线 C 的极坐标方程为cos4sin2.(1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点,当 变化时,求| AB|的最小值.【答案】(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(I)由 cos4sin2,
13、得 cos4)in(2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 xy (II)将直线 l 的参数方程代入 2,得 t2sin2 -4tcos -4=0. 设 A、B 两点 对应的参数分别为 t1、t 2,则 t1+t2= sinco4,t1t2= sin4, |AB|=|t 1-t2|= = 224ii6i6, t1 t2 2 4t1t2当 = 时,| AB|的最小值为 4 210.14. （河南省中原名校 2013 届高三下学期第二次联考数学（理）试题）选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,直线 的参数方程为 (t 为参l23xty数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长
14、度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 .23sin(1)求圆 C 的直角坐标方程;(2)设圆 C 与直线 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(2, ),求|PA|+|PB|.l 3【答案】()由 得 423sin22()xy分 ()将 l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 , 22()()3tt即 由于 ,故可设 12,t是上述方程的两实根, 210tt所以 故由上式及 t 的几何意义得: 21t|PA|+|PB|= 2|+t|= 1. 10 分 211.15. （山西省康杰中学 2013 届高三第二次模拟数学（理）试题）选修 4-4:坐标系与参数方
15、程选讲已知曲线 C的极坐标方程是 1,以极点为原点,极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l的参数方程为 23txyt( 为参数)()写出直线 l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程;()设曲线 C经过伸缩变换 xy得到曲线 ,设曲线 C上任意一点为 (,)Mxy,求 23xy的最小值.【答案】() :23(1)lx;圆 2:1Cxy ()曲线2:19xCy令 3cosiny 223sin21si()x 3y的最小值为 12.16. （河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）(本小题_分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 x
16、Oy 中,以原点 0 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知 圆 C 的极坐标方程为)(4cos2aa.(I)当 2a时,设 OA 为圆 C 的直径,求点 A的直角坐标;(II)直线 l 的参数方程是 tyx42(t 为 参 数 ),直 线 l 被圆 C 截得的弦长为 d,若 2d,求a 的取值范围.【答案】选修 4-4:坐标系与参数方程 解:()法一: 2a时,圆 C 的直角坐标方程为 8)2()(2yx, 圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0),且点 A 与点 O 关于点 C 对称, 所以点 A 的直角坐标为(4,-4) 法二: 2a时,圆 C 的直角坐标方程为
17、8)2()(2yx 圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0), 所以直线 OA 的直线方程为 y 联立解得 0x(舍)或 4x 所以点 A 的直角坐标为(4,-4) 法三:由 )cos(24得圆心 C 极坐标 )4,2(, 所以射线 OC 的方程为 4 , 代入 )4cos(2得 2 所以点 A 的极坐标为 , 化为直角坐标得 A(4,-4) ()法一:圆 C 的直角坐标方程为 22)()( ayax, 直线 l 的方程为 y=2x. 所以圆心 C( a2,)到直线 l 的距离为 52, d=2 109= 5. 所以 a5 2,解得 a 法二:圆 C 的直角坐标方程为 022ay
18、xyx, 将 tyx42化为标准参数方程 my20代入得 0512am,解得 21,ma510, d= |21= a5, ,所以 0 ,解得 法三:圆 C 的直角坐标方程为 022ayxyx, 直线 l 的方程为 y=2x. 联立 xya20 得 05a 解得 ax52,01 d= |221= 0, 所以 a50 ,解得 5a 13.17. （河南省郑州市 2013 届高三第三次测验预测数学（理）试题）选修 4-4:坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是 =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐 标 系 ,直 线 l 的参数方程为 ,231,tyx(t 为参数) .(I
19、)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标系下的方程;(II)设曲线 C 经过伸缩变换 ,2yx得到曲线 C设曲线 上任一点为 M(x,y),求yx213的取值范围.【答案】解:()直线 l的普通方程 ,0132yx 曲线 C的直角坐标方程 42yx; ()曲线 经过伸缩变换 /得到曲线 /C的方程为 42yx, 则点 M参数方程为 )(,sin4co2参yx,代入 213得, x213= 1 )3sin(4cosi y的取值范围是 , 14.18. （河南省开封市 2013 届高三第四次模拟数学（理）试题）选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 tyx
20、32(t 为参数),直线 l 与曲线 C:(y 一 2)2一 x=1 交于 A,B 两点(I)求|AB|的长;()在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为( 43,2)求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 【答案】15.19. （河南省六市 2013 届高三第二次联考数学（理）试题）选修 44,坐标系与参数方程已知直线 的参数方程是 ( 是参数),圆 C 的极坐标方程为l24xtyt.2cos()4(1)求圆心 C 的直角坐标;(2)由直线 上的点向圆 引切线,求切线长的最小值.l【答案】16.20. （山西省山大附中 2013 届高三 4 月月考数学（理
21、）试题）已知点,参数 ,点 Q 在曲线 C: 上.)sin,co1(P0)4sin(210(1)求在直角坐标系中点 的轨迹方程和曲线 C 的方程;(2)求|PQ|的最小值.P【答案】试题分析:设点 P 的坐标为(x,y),则有 消去参数 ,可得1co,sixy由于 0,y0, 故点 P 的轨迹是上半圆2(1).xy曲线 C: ,即).0()4sin(210,即 sin-cos=10,故曲线 C 的直角坐标方程:210(sincos)x-y+10=0.(2)如图所示:由题意可得点 Q 在直线 x-y+10=0 上,点 P 在半圆上,半圆的圆心 C(1,0)到直线 x-y+10=0 的距离等于 .
22、即|PQ|的最小值为 -102121. 17.21. （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013 届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）选修 4-4:坐标系与参数方程平面直角坐标系中,将曲线2cos(inxy为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的 2倍得到曲线 1C,以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线 的方程为 4si()求 1和 2的普通方程:()求 C和 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.【答案】()横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到2cos(inxy为 参 数 ）214xy为又22Cy为 =sin,即() 12和 公共弦的垂直平分线的极坐标方程是cos24
