1、第三章 快速傅里叶变换（FFT）,3.1 引言 3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 3.3 按时间抽取（DIT）的基2FFT算法 3.4 按频率抽取（IDFT）的基2FFT算法 3.5 N为复合数的FFT算法混合基算法 3.6 线性调频Z变换（Chirp-z变换）算法 3.7 利用FFT分析时域连续信号频谱 3.8 FFT的其他应用,本章内容,一、FFT变换的思想,二、如何利用FFT分析时域连续信号频谱,三、FFT变换的简单应用,3.1 引言,FFT不是一种新的变换，而是DFT的一种快速算法。,3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径,一、直接计算DFT的运算量,二、如何减小运算量,长度
2、为N的有限长序列x(n)的DFT为,对某一个k值，计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复数加法。N点DFT的复数乘法次数等于N2 、N(N-1)次复数加法。,一、直接计算DFT的运算量,一次复数乘法需要四次实数乘法和两次实数加法 一次复数加法需要两次实数加法。,对某一个k值，计算X(k)值需要4N次实数乘法N点DFT的实数乘法次数等于4N2 、2N(2N-1)次实数加法。,1、根据 的周期性，对称性，可约性，减小DFT运算量,二、如何减小运算量,2、当N很大时，将N点DFT分解为几个较短的DFT进行计算,如：分解为M个N/M点DFT 则：复数乘法运算量为 ,下降到原来的1/M。,FFT
3、,按时间抽取（DIT）的基2FFT算法,按频率抽取（IDFT）的基2FFT算法,设序列x(n)的长度为N，且满足,为自然数,按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列,3.3 按时间抽取（DIT）的基2FFT算法,算法原理：把序列x（n）按奇偶分解为越来越短的序列。,X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即,由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且,N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即,那么，X1(k)又可表示为,式中,同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和W
4、m N/2的对称 性 Wk+N/4 N/2=-Wk N/2 最后得到：,用同样的方法可计算出,其中,N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8),N点DITFFT运算流图(N=8),DITFFT算法与直接计算DFT运算量的比较,复数加次数为,例如，N=210=1024时,每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘次数为,3.4 按频率抽取（IDFT）的基2FFT算法,算法原理：把序列X（k）按奇偶分解为越来越短的序列。,为自然数,设X（k）序列的点数为,在把输出序列按奇偶分组前，先把序列x（n）按前一半后一半分开，把N点DFT写成两部分
5、：,3.7 利用FFT分析时域连续信号频谱,一、有限长序列的DFT与序列的傅里叶变换的关系 二、利用FFT分析时域连续信号频谱方法 三、分析过程中可能出现的误差,频谱分析就是计算信号各个频率分量的幅值、相位和功率。,有限长序列的DFT和傅里叶变换的区别：,（1）定义式不同,长度为N的有限长序列x(n)的DFT为,该序列的傅里叶变换为,一、有限长序列的DFT与序列的傅里叶变换的关系,无单位，只能取整数值，对于任意一点 ，对应的实际频率为,为数字域频率，单位是rad，可连续取值。,有限长序列的DFT和傅里叶变换的联系：,T为采样周期,f为采样频率,离散的频率第k点对应的模拟频率为,离散频率、数字域
6、频率以及模拟频率的联系：,N为采样点数,二、利用FFT分析时域连续信号频谱方法,1、基本步骤,谱线间距：又称频谱分辨率（单位：Hz），用F表示，指可分辨的两频率的最小间距。,样本长度：用tp表示，指截取的连续信号的长度。,由采样定理得：,实际中，根据信号的最高频率fh和频谱分辨率F的要求，确定T、tp和N的大小。,（1）T的确定,由采样定理得：,（2）由频谱分辨率F和T确定N,(3)已知T和N，即可确定样本长度tp 。,例3-3 有一频谱分析用的FFT处理器，假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为： （1）频率分辨率小于等于10Hz （2）信号最高频率小于4kHz. 试确定以下参量：
7、（1） 求tp； （2）最大采样间隔 （3）在一个记录中的最少点数N.,三、 可能出现的误差,1、频谱混叠失真,解决办法：增加记录长度的点数N。,2、栅栏效应,利用FFT计算频谱，只能在离散点上看到信号的频谱，这就像是通过一个“栅栏”观看信号的频谱，称之“栅栏效应”。,缺点：如果在两个离散的谱线间有一个特别大的频谱分量，就无法检测出来。,改变方法：增加频域采样点数N。,3、频谱泄漏与谱间干扰,原信号在时域乘以一个窗函数后所得信号的频谱与原信号的频谱不同，造成频谱“扩散”，这就是所谓的“频谱泄漏”。,后果：导致频谱混叠，降低频谱的分辨率，同时引起不同频率间的干扰即谱间干扰。,解决方法： （1）在计算量和存储量允许的情况下尽可能增加窗的时域宽度； （2）不用矩形窗而采用缓变的窗。,功率谱PSD:,功率谱具有突出主频率的特性，在分析带有噪声干扰的信号时特别有用。,频谱图,根据频谱图可以知道信号存在哪些频率分量。,
