1、弹簧专题1、如图 4 所示，质量为 m 的物体 A 放置在质量为 M 的物体 B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐振动，振动过程中 A、B 之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为 k，当物体离开平衡的位移为 x 时，A、B 间磨擦力的大小等于 （ ）分析和解：此题属于简谐振动。当物体位移为 x 时，根据题意将 M、m 视为整体，由胡克定律和牛顿第二定律，得：再选 A 为研究对象，使 A 随 B 振动的回复力只能是 B 振动的回复力只能是 B 对 A 的静磨擦力，由 f=ma 联立得 ，故选（D）2、如图 2 所示，两个木块质量分别为 m1和 m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1和
2、 k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为：分析和解：此题用整体法求最简单。由题意可将图 2 改为图 3 所示，这样便于分析求解，当 m1、m 2视为一系统（整体）时，整个系统处于平衡状态，即F=03、 （2005 年全国理综 III 卷）如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块 A、B，它们的质量分别为 mA、m B，弹簧的劲度系数为 k,C 为一固定挡板。系统处一静止状态，现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动，求物块 B 刚要离开 C 时物块 A 的
3、加速度 a 和从开始到此时物块 A 的位移 d，重力加速度为 g。解：令 x1表示未加 F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知kxmAsin令 x2表示 B 刚要离开 C 时弹簧的伸长量， a 表示此时 A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：kx2=mBgsinFm Agsink x2=mAa由式可得 ABmgFsin)(由题意 d= x1+x2由式可得 kgmdBAsin)(4：在原子物理中，研究核子与核子关联的最有效途经是“双电荷交换反应” 。这类反应的前半部分过程和下面力学模型类似。两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直轨道的固
4、定档板 P，右边有一小球 C 沿轨道以速度 v0射向 B 球，如图 7 所示，C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A 球与档板 P 发生碰撞，碰后 A、D 静止不动，A 与 P 接触而不粘连。过一段时间，突然解除销定（锁定及解除锁定均无机械能损失） ，已知 A、B、C 三球的质量均为m。（1）求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度。（2）求在 A 球离开档板 P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。解：整个过程可分为四个阶段来处理（1）设球与球粘结成时，D 的速度为 ，由动量守恒定律，得 2 ， 当弹簧压至
5、最短时，与的速度相等，设此速度为 ，由动量守恒定律，得2 3 ， 联立、式得 （13） 此问也可直接用动量守恒一次求出（从接触到相对静止） 3 ， （13） （2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为，由能量守恒定律，得（2） （3） ， 21撞击后，与的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成的动能，设的速度为 ，有 （2） ， 以后弹簧伸长，球离开挡板，并获得速度设此时的速度为 ，由动量守恒定律，得2 3 ， 当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设此势能为 ，由能量守恒定律，得（2） （3） ， 121联立式得 65：（2005 年全国理综 II 卷）如图，质
6、量为 m1的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2的物体 B 相连，弹簧的劲度系数为 k，A、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为 的物体 C 并从静止状态释放，已知它恰好能使 B 离3开地面但不继续上升。若将 C 换成另一个质量为 的物体 D，仍从上述初始位置由静)(31止状态释放，则这次 B 刚离地时 D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为 g。解：开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为 x1，有 k x1=m1g挂 C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动
7、，设 B 刚要离地时弹簧伸长量为 x2，有kx2=m2gPmm mA B V0 C图9B 不再上升，表示此时 A 和 C 的速度为零，C 已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为E=m 3g(x1+x2)m 1g(x1+x2)C 换成 D 后，当 B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得Exgmxgv )()()( 21213113由式得 22由式得kmgv)2(312练习：1. 一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为 M 的平板，处在平衡状态，一质量为 m 的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为 h，如图 5-5 所示，让环自由下落，撞击平板，已知碰后
8、环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长 （ ）若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动能守恒；若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板总机械能守恒；环撞击板后，板的新平衡位置与 h 的大小无关；在碰后板和环一起下落的过程中，它们减小的动能等于克服弹簧弹力所做的功以上 4 种说法中完全正确的是（ ）A B C D答案：C 碰撞瞬时动量守恒，两者一起运动过程中，机械能守恒2、一根劲度系数为 k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为 m 的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图 7 所示。现让木板由静止开始以加速度 a(ag匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。分析与解：
9、设物体与平板一起向下运动的距离为 x 时，物体受重力 mg，弹簧的弹力 F=kx 和平板的支持力 N 作用。据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma 得 N=mg-kx-ma当 N=0 时，物体与平板分离，所以此时 kagmx)(因为 ，所以 。21atxkagt)(23.一弹簧秤的秤盘质量 m1=1 5kg，盘内放一质量为 m2=105kg 的物体 P，弹簧质量不计，其劲度系数为 k=800N/m，系统处于静止状态，如图 9 所示。现给 P 施加一个竖直向上的力 F，使 P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初 02s 内 F 是变化的，在 02s 后是恒定的，求 F 的最大值和最小值各
10、是多少？（g=10m/s 2）分析与解：因为在 t=0.2s 内 F 是变力，在 t=0.2s 以后 F 是恒力，所以在 t=0.2s 时，P 离开秤盘。此时 P 受到盘的支持力为零，由于盘的质量 m1=15kg，所以此时弹簧不能处于原长，这与例 2 轻盘不同。设在 0_0.2s 这段时间内 P 向上运动的距离为 x,对物体 P 据牛顿第二定律可得： F+N-m2g=m2a对于盘和物体 P 整体应用牛顿第二定律可得： agxkgmF)()()( 212121 图 7F图 9令 N=0，并由述二式求得 ，而 ，所以求得 a=6m/s2.kamgx122tx当 P 开始运动时拉力最小，此时对盘和物
11、体 P 整体有 Fmin=(m1+m2)a=72N.当 P 与盘分离时拉力 F 最大，F max=m2(a+g)=168N.4如图 44 所示，在一粗糙水平上有两个质量分别为 m1 和 m2 的木块 1 和 2，中间用一原长为 、劲度系数为 k 的轻l弹簧连结起来，木块与地面间的动摩擦因数为 ，现用一水平力向右拉木块 2，当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离是（2001 年湖北省卷） （A ）A Bgmkl1gkl)(21C Dl2ml215.（18 分）如图所示，两木块 A、B 由轻弹簧连接，起初静止于光滑水平面上。某时刻一 粒子弹以水平速度 击0v中木块 A 并留在其中，子弹打入木块的过
12、程持续时间极短，可不考虑此过程中木块 A 的移动。已知木块 A 的质量为（Mm） ，木 B 的质量为 M，子弹的质量为 m，弹簧原长为 L0，劲度系数为 k，弹簧的弹性势能与形变量的对应关系为.如果此后运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，且 A、B 不会21kxEp发生直接碰触。试求：（1）当弹簧压缩到最短时，B 的速度大小；（2）运动中弹簧出现的最大长度。解：（18 分） （1）子弹打入木块以及木块运动的整个过程中，子弹和两木块组成的系统动量守恒。当弹簧压缩到最短时，A 、B 的速度相等，设为 v则： MmvVmv2200（2）子弹打入木块 A 的过程中，子弹和 A 组成的系统动量守恒设二者共
13、同速度为 ，则 （1）1v0110vmv当弹簧达到最大长度时两木块速度相等，由动量宗教恒定律得： （2）0vM从子弹射入木块 A 有共同速度 以后的 A、B 运动过程中，系统机械能守恒，故1v（3）kmxMvkxm 2/2121 0弹簧的最大长度为：L= （4）kvllm006 （18 分）如图所示，光滑轨道上，小车 A、B 用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在 A、B 上，然后使 A、B 以速度 v0 沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A 的速度刚好为 0，已知 A、B 的质量分别为 mA、m B，且 mAmB，求：（1）被压缩的弹簧具有的弹性势能 Ep.（2
14、）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车 B 有无速度为 0 的时刻？图 44解：（1）设弹簧第一次恢复自然长度时 B 的速度为 ，以 A、B 及弹簧组成的系统为研究对象，系统在水平方向v上所受合外力为零（弹簧对 A、B 的相互作用力为系统的内力） ，故系统动量守恒，机械能守恒 有： BBAvm0)( 212201)(BpmEm由解出 0)(vEBAp（2）设以后运动过程中 B 的速度为 0 时，A 的速度为 ，此时弹簧的弹性势能为 ，用动量守恒、机械能守AvpE恒ABAvm0)(+ 21221pEp由解出 200)()(vmvABBA因为 所以 0，弹性势能小于 0 是不可能的，所以 B
15、的速度没有等于 0 的时刻.,BAmp7 （13 分）一个劲度系数为 K=800N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为 m=12kg 物体 A 和 B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图所示。施加一竖直向上的变力 F 在物体 A 上，使物体 A 从静止开始向上做匀加速运动，当 t=0.4s 时物体 B 刚离开地面（设整个匀加速过程弹簧都处于弹性限度内，取 g=10m/s2）. 求：（1）此过程中物体 A 的加速度的大小（2）此过程中所加外力 F 所做的功解：（13 分） （1）开始时弹簧被压缩 X1，对 A：KX 1=mAg（1 分）B 刚要离开地面时弹簧伸长 X2，对 B：KX 2=mB
16、g（2 分）又 mA=mB=m 代入得：X 1=X2整个过程 A 上升：S=X 1+X2=2mg/K=0.3 米 （2 分）根据运动学公式： atS物体 A 的加速度： （2 分）)/(75.32smts（2）设 A 末速度为 Vt 则由： 得： （2 分）tVS0)/(5.1smtStX 1=X2此过程初、末位置弹簧的弹性势能不变，弹簧的弹力做功为零。设此过程中所加外力 F 做功为W，根据动能定理：（3 分） （1 分）2tmgs )(5.492JmgsWt8 （15 分）如图所示，光滑水平面上放有 A、B、C 三个物块，其质量分别为 mA=2.0gk，m B=mC=1.0kg，用一轻弹簧连
17、接 A、B 两物块，现用力压缩弹簧使三物块靠近，此过程外力做功 72J，然后释放，求：（1）释放后物块 B 对物块 C 一共做了多少功？（2）弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性热能为多大？解：（15 分） （1）释放后，在弹簧恢复原长的过程中 B 和 C 和一起向左运动，当弹簧恢复原长后 B 和 C 的分离，所以此过程 B 对 C 做功。选取 A、B、C 为一个系统，在弹簧恢复原长的过程中动量守恒（取向右为正向）： （3 分）0)(vmv系统能量守恒： （2 分）JWvmCBA7)(212B 对 C 做的功： （2 分）CW联立并代入数据得： （1 分）J8（2）B 和 C 分离后，选取 A、B 为一个系统，当弹簧被压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大，此时 A、B 具有共同速度 v，取向右为正向由动量守恒： （3 分）)()(CBBAvvmvm弹簧的最大弹性势能： （2 分）2211mEBAP 联立并代入数据得：E p=48J（2 分）
