1、 上海交通大学博士后士学位论文1.分形、小波理论在金融工程中的应用研究;个优化问题姓名：侯建荣申请学位级别：博士后士专业：管理科学与工程指导教师：黄培清20050301摘要现代管理科学和工程中存在有许多问题尚待解决。小波分析在处理非平稳性和局域分析方面有着独特的优越性，可被用来提取有关有价证券尺度性质的细微信息。此外，现代数学优化方法也是解决管理问题的一个重要工具。本工作报告的内容可分为以下两部分：对原有分数布朗运动模型加以拓展，使其成为具有局部自相似性的随机过程。给有更好的指导作用。失，在未知非平稳时间序列分形维数的情况下，序列相似性匹配的局部误差就会法的特点是，在某一分辨级水平上进行曲线形
2、状相似性查询和度量的同时，亦进行维数曲线的度量和匹配。用算例对方法的有效性加以验证。第二部分管理工程中的几个优化问题定单任务分批次完成并确定每一批次的调运开始时间，是当前第三方物流企业提高运作效率迫切需要解决的实际问题。给出了一个不允许出现拖期且提前惩罚的分批次优化模型和优化规则及算法，算例的结果表明了方法的有效性。和成本均设为随机变量，在随机网络中建立了一个费用成本和延迟时间双重期望值目标的最小化模型，应用遗传算法对移动代理从服务提供商到内容提供商的路径进行了最优化求解，最后进行了仿真计算。个客户群数量的时变模型，进而分析了客户群体中新旧客户的结构性变化及其对经营决策的影响。 ：甊 甌 吐
3、瓵 甌猯 甌甌： 第一部分分形、小波理论在金融工程中的应用研究分形理论是非线性科学研究中一个十分活跃的分支，它的研究对象是自然界和非线性科学中出现的不光滑和不规则的几何体。虽然分形理论在本世纪年代才提出来，但经过十几年的发展，它已广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有领域，成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。并在理论研究中应该排除这类“怪物” ，而且更 进一步认为一条连续曲线上不可任意一点均不具有有限或无限导数。这一结果在当时曾引起极大震动；但人们还是认为维尔斯特拉斯型的函数是极端“病态” 的例子。即使如此，人们依然从不同的方面推广了上述函数，并对其奇异性作了深入的研究，获得了极为丰富的
4、结果。康托尔在年引入了一类全不连通的紧集，后被称为康托尔三分集【。其构造过程是这样的：对于单位直线段，去掉中间三分之一的线段后开始对以往长度和面积概念的反思叫。皮亚诺衄线及其它的例子导致了后来拓扑维数概念的引入。在二十世纪的初期，一类典型的随机分形集一硕川已受到物理第二阶段暌，在这半个世纪里，人们对分形集的维数的研究获得了丰硕的成果“，不仅逐渐形成了理论，而且研究的范围扩大以追溯到他的工作；其二，他建立了分数布朗运动的理论，可以说，他是随机第三阶段曛两，分形理论在各个领域的应用取得了全面的发展，并形成了独立的学科。曼德布罗特将前人的结果加以总结，集其大成，于年以“分形：形状、机遇和维数” 为名
5、发表了他的划 时代的著作。他是第一个跳出传统物理学和几何学的人。在这本专著中，他第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法，标志着分形几何作为一门独立的学科正式诞生。但是，关于分形是否是一门数学科学的讨论在这个时候也此起彼伏，更加激烈。特别一提的是，年以来瓸与甂争论总归争论。自年以来，分形理论在数学基础和应用方面都取得了相当迅速的发展。在物理的相变理论、材料的结构、力学中的断裂与破坏、高分子链的聚合、酶的生长机理研究、自然图形的模拟和模式识别等领域取得了令人满意的成就【韕“。近十几年来，在非 线性应用学科和计算机制图的刺激和推动下，分形的数学理论也得到了更加深入的发展，这主要体现在以下
6、几个方面：分形维数的估计与算法，分形集的生成结构，分形的随机理论，动力系统的吸引子理论，分形的局部结构，小波分析方法开始在分形分析中得到应客观上图形压缩的迫切需要，分形反演问题的研究增掀起了一场高潮。在此期间，自然科学中的分形学术论文呈指数增长趋势，哲学社会科学领域中涉及分形的论文和书籍也不断增加。国内国际有关分形的专题会议有增无减，特别是 和分形琖“分形”一词传入我国以后，立即在各行各业中引起了广泛的传播，研究分形理论及应用的队伍目益壮大。我国政府和学术界很早时候就都对分形理论一方法等胺中蔚奈锢砘怼多重分形结构、分形统计模型的相变、酶结构分分形及其维数的定义中的同源词狭和形容词质，他在这些词
7、的基础上创造了分形淮省最初的意思是破碎的和不规则的，并将分形定义为够全面和精确。英国数学家在其著作中认为，分形的定义应该以生物学家定义生命的类似方式给出，也就是说不寻求分形的严格确切简明的定义，而是寻求分形的特性，在这种观点的指导下，人们将分形看成是具有如下性质的一类集合：种数理模型；次结构，而自然界中的分形只是有有限层次的嵌套，在进入到一定的层次以后才会有分形的规律：近，则愈相似。级别相差愈大，相似形也就愈差。整体的级别最高，最低的是级生成元。可以用无标度区间或者标度不变形范围加以表示。自然界的分形往往均具有一个最大和最小的标度，在无标度区域内，对象才具有分形规律，否则，一旦越过无标度区，自
8、相似性也就随之消失：国内学者也对分形的定义进行了专门的研究，吴敏金】在其分形信息导论一书中讨论了分形的定义问题，认为分形是一个不断分化演变的动态过程，并从演化的观点在这方面做出了许多开创性的工作。 分形度量则是另外一个与分形概念相关的比较敏感的问题，大多数分形集的定量刻画和判别要借助于参数维数概念，因此维数的定义也是一个人们比较关心的问题。义出发作维数的计算是相当困难的，这种计算上的困难也极大地限制了挠谩A私夥中危嗣蔷陀斜匾A私釮测度与能根据不同的研究对象来使用各别的计算方法。除疆维数以外，还有相似个子，忽略尺度小于占的不规则性，并且考虑测量值尸谡甲时的情则称集合哂形齭，而勺魑显趕 维下的长度
9、。们认为维数是集合层次的量值标号。当人们从不同的角度考查一个集合中的元素时，就会发现这些元素具有差异性。此时，我们可以赋予集合某种“层次结构”，按这个层次结构对集合的元素去分类处理，每一类中的元素属于同一层次，不同层次中的元素相对于考查内容来说具有质的不同。在确定的层次中去考察不属于曲线层次中褂貌舛任狪观测一条直线时，得到的是“无穷小” 的 结果，而去观测曲线则都是一个有界实数。由此可见，集合的奇异性或复杂性的产生是由于人们跨越层次考察事物导致的。目前分形几何学的研究工具和研究方法分形集无论在局部还是在整体都是不光滑的，这就决定了经典数学中与微积分有关的许多分析工具在这里不能发挥其作用。分形早
10、期的主要研究工具是点集拓扑与集合测度论，这主要体现在虷两人的研究工作特别值得一提的是，近几年来，有“数学 显微镜” 之称的小波分析理论为具有“无穷 精细结构”的分形的研究提供了一个 绝好的分析工具，通过小波变换，人们可以看到分形对象的丰富细节，为推测分形生成的动力学根源提供了工作中。另外，本人在论文中也做了一些有关这方面的研究工作。在方法上，除理论性的研究外，通过计算机强大的计算能力和图形能力，开展“实验 数学” 方法在分形的研究中也将起到重要的作用。在实验的基础上进行理论的思考，实验有助于人们更好的借助“直觉” 理解数学规律，在创立分形几何时就曾经使用该方法。美国大学已经设立了实验数学系。随
11、着计算机辅助方法的大量使用和推广，有理由相信，实验数学有可能成为一门探索性的独立学科。分形理论是在发展中不断完善和走向成熟的。年在中国科技大学召开表了目前分形研究的热点。如前所说，分形没有完整而精确、一致公认的定义，要判断分形与多分形是很困难的。也有人认为，分形就象生命一样理解其含义就可以了。在理论上，自仿射性是分形产生的重要方式，所以有关自仿射性方面的研究应该是一个重点方面。但对于实际中出现的分形进行判断依然是一个复杂而未解的问题。则或不规则的的集合尺度，而在动力系统方面，则大体上表示独立变量的个数。多分形的奇异谱主要表征多分形的奇异性。在时间序列中所用的关联维数或广义维数也反映了序列的某种
12、相关性和复杂程度。继续探索各类维数的实际意义仍然是今后工作的一个方向。研究分形体集团生长的时间演化规律和结构的表度行为，可以改变分形理论中仅仅只对分形进行形态描述的单调而被动的局面。非平衡物理学中的耗散结构理论和协同学中许多概念有必要引入分形的研究领域，另外对于分数阶微分方程、非线性发展方程、神经网络方面也应该予以一定程度的关注。要重视随机噪程的研究观测中，国外和成功地建立了其分形生长动力学模型。广义而言，分形重构是指一个被认为是分形的图形能否以某种指定的方式生成它。这是动力系统研究领域中的反问题。分形所表现出的自相似性和拟自相似赜贘集和集的问题分形集往往存在分数阶导数，这种分数阶导数对刻画分
13、形对象有重要的作用并由此建立一个完整的分数阶微积分体系。图形的分形压缩问题；小波变换分析方法是八十年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法，是中得到篷勃的发展，目前正受到数学界和工程界的极大重视。小波分析是数学家、应用数学家和信号处理、数据处理工程师们在各自工作领域分别独立发现的。小波分析方法的提出，最早应追溯于在年提出和物理学家等人共同建立了完整的连续小波变换几何体系，其基础是平移和伸缩下的不变性，这使得能将一个信号分解成对空间和时间尺度的独立贡献，同时又不丢失原有信号的信息。 小波级数理论则依赖于小波基的发展。法国马赛大学的数学家甅在构造了具有一定衰减性的光滑函数，其二迸制尺度位移体系构成
14、了工空间的一组标准正交基，同时甅与瓽氨壤迸襂合作，通过构造三上的一准正交完备集的方法选取了小波空间的离散子集年发表了她的著名长篇论文，证明了具有有限紧子集的正交小波基的存在性。在出多分辨率分析经典治鲋械牡匚弧辏琁在美国妒主办的小波专题研讨会上进行了次讲演，引起了广大数学家、观察学家、物理学家甚至某些企业家的高度重视，由此将小波分析的理论发展与实际应用推向了一个高潮。满足下式要求及尺度函数有着密切的关系。为此下面引入多分辫分析和尺度函数的概念。蒫巧琻巧，盯丐，弧，蕑如果函数口陋 懿的一个多分辨分析，而巧是由庐似所张成则称庐为的一个尺度函数。时一频局部化。獁平面上的时频窗口为在考虑位移和尺度均离散
15、时的小波变换重建问题时，很自然地要引入和小波密切相关的另一个概念框架，它是规范正交基的推广。虰，使得下式成立为一个紧框架只。，三一，么数衰减率。这种满足容许条件的解析小波具有时域和频域良好的局部性质，常被用来研究分形的局部性质。小波理论中的多分辨分析思想，体现了人们认识和识别形体的过程遵循了一种从低分辨率到高分辨率的原理。对于分形的研究观察也正是这样的方式。从大到小的不同尺度变换，在越来越小的尺码上观察越来越丰富的分形细节问题。小波分析和分形具有深刻的内在联系，两者在尺度变换上具有一致性，分形是一种几何语言，而小波是一种分析局域奇异性的工具，两者相得益彰。与此同时，小波在信号处理、图象边缘检测
16、等领域中的广泛应用为小波在分小波在以往分形研究中的应用主要在以下几个方面进行。分形的典型性质是在小标度下表现出某种自相似性。局部自相似性也就意味着分形测度诘鉮附近的标度变化满足下式：这表明了分形测度卢具有相同指数口。的小波变换、单谒婊中畏质祭试硕或者方面的小波分析研究。钊绲缱釉F骷械 纳簟网络流量、股票价格的涨落等绿方面发挥着重要的作用。其定义如下：模型的小波合成问题。国内华中理工大学的王晓军等人吭诶肷场理论的基础上阐述了分形小波多分辨图像识别的概念，提出了一种高效快速的识别算法。”过程是一种非平稳过 程，是通过带 通滤波后表现出来的统计自相似过程，因其功率谱具有如下特点而得名。程的小波表示和
17、合成、小波系数相关性等问题做了大量的研究工作，得出小波变换对自相似过程具有好强的去相关作用结论：小波系数的相关性系数随着采样间隔增大而衰减的速度要远快于分形函数本身自相关函数随采样间隔增大而衰减的速度。除此而外，在分形其他方面，还有一些涉及小波的比较零散的研究。譬如，了研究，探讨各类分形曲线维数的计算一直是分形几何学的研究热点之一。目前量尺码占是一个较敏感的参数，稳定性的丢失意味着维数参量原本价值也就无法体现出来；二是实际测量的数据要受到各种各样的污染，由此会增大或者减小维数的估计值，同时在光滑去噪的人为操作下很显然也会减小维数估值。为此，我们有必要引入多分维曲线模式反映分形曲线的局部分维特征
18、，这也就意味着曲线效地保留其分形维数，仿真算例结果也验证了方法的有效性。同时，我们也得到了基于小波去噪处理后的分形曲线维数计算式，并可很自然地应用于局部化维数的计算。贰通过最小二乘法得到抒墓兰蒲，并在数学上得到有关蜃和日的两个极限表达式嗳菪越峁： ，犯寸提出了实现这一过程的算法，算例结果也显示该算法是有效的。另外，对上海股市的实证分析，对于投资策略决策有着重要的指导意义。同时，我们相信，在目前金融工程的未来研究发展中，这一概念及其小波分析方法的价值将会愈来愈快地体现出来。岢隽艘恢中碌幕谛治鍪北銱指数序列相似性判别标准。传统相似性查询方法导致金融时间序列数据的非线性和分形这些重要特征消失，在未知非平稳时间序列分形维数的情况下，序列相似性匹配的局部误差就方法的特点是，在某一分辨级水平上进行曲线形状相似性查询和度量的同时，亦琌，
