1、第八讲 时钟问题时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周分为 60 分格，当分针走 60 格时，时针正好走 5 格，所以时针的速度是分针的 560= 。分针每走 60（1 ）= （分） ，与时针12601重合一次。时钟问题变化多端，也存在着不少的学问。这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数（1 ）=追及时间（分2钟） 。其中，1 为分针每分钟比时针多走的格数。12例 1 现在是 3 点，什么时候时针与分针第一次重合？分析 3 点时分针指向 12，时针指向 3，分针在时针后53=15（个）格。每分钟分针比时针多走（1 ）格，要使分针560与时针重合，即使分针比时针多走 15 格
2、，需要 15（1 ）=162（分钟） 。所以，所求的时刻应为 3 点 16 分。41 4解：15（1 ）=16 （分钟）124答：所求的时刻应为 3 点 16 分。1例 2 在 10 点与 11 点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？分析 分两种情况进行讨论。（1）在顺时针方向上分针与时针成 270角：在顺时针方向上当分针与时针成 270时，分针落后时针60（270360）=45（个）格，而在 10 点整时分针落后时针510=50（个）格。因此，在这段时间内，分针要比时针多走5045=5（个）格，而每分钟分针比时针多走（1 ）个格，因此12由基本公式，到达这一时刻所用的时间为：5（1 ）=5
3、 （分钟） 。251（2）在顺时针方向上分针与时针成 90角：在顺时针方向上当分针与时针成 90角时，分针落后时针60（90360）=15（个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走 5015=35（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：35（1 ）=38 （分钟） 。21解：（1）在顺时针方向上当分针与时针成 270角时：51060（270360）（1 ）=5 （分钟） 。125（2）在顺时针方向上当分针与时针成 90角时：51060（90360）（1 ）=38 （分钟）1答：所求时刻为 10 点 5 分和 10 点 38 分。2例 3 在 9 点与 10 点之间的什么时刻，分针与时针在一条
4、直线上？分析 分两种情况进行讨论。（1）分针与时针的夹角为 180角：当分针与时针的夹角为 180角时，分针落后时针60（180360）=30（个）格，而在 9 点整时，分针落后时针59=45（个）格。因此，在这段时间内分针要比时针多走4530=15（个）格，而每分钟分针比时针多走（1 ）个格，因12此，到达这一时刻所用的时间为：15（1 ）=16 （分钟）241（2）分针与时针的夹角为 0，即分针与时针重合：9 点整时，分针落后时针 59=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走 45 个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45（1 ）=49 （分钟） 。21解：（1）当分针与时针
5、的夹角为 180角时：5960（180360）（1 ）=16 （分钟）124（2）当分针与时针的夹角为 0，即分针与时针重合时：59（1 ）=49 （分钟） 。21答：所求时刻为 9 点 16 分和 9 点 49 分。41例 4 小明在 7 点与 8 点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合。小明解题共用了多少时间？分析 要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。（1）小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针一时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为 180，此时分针落后时针 60（180360）=30（个）格，
6、而 7 点整时分针落后时针 57=35（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走 3530=5（个）格，则这一段时间为：5（1 ）=5 （分钟） 。所以小明开始解题时是 7 点 5 分。251 1（2）小明解题结束时的时刻：因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从 7 点整到这一时刻分针要比时针多走 57=35（个）格，因此这一段时间为：35（1 ）=38 （分钟） 。所以小明解题结束时是 7 点 38 分。21 21这样小明解题所用的时间就可以求出来了。解：先求小明开始解题的时刻：5760（180360）（1 ）=5 （分钟） ，所125以小明开始解题时是 7 点 5 分。再求小明结束解题的
7、时刻：57（1 ）=38 （分钟） ，所以小明结束解题时是217 点 38 分。2最后求小明解题所用的时间：7 点 38 分7 点 5 分=32 （分钟）118答：小明解题共用了 32 分钟。例 5 一只钟的时针与分针均指在 4 与 6 之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央。问这时是什么时刻？分析 由于现在可以是 4 点多，也可以是 5 点多，所以分两钟情况进行讨论：（1）先设此时是 4 点多：4 点整时，时针指 4，分针指 12。从 4 点整到现在“5 在时针与分针的正中央” ，分针走的格数多于 25，少于 30，时针走不足 5 格。由于 5 到分针的格数等于 5 到时针的格数，
8、所以时针与分针在这段时间内共走 30 格。又由于时针的速度是分针的 ，所以从 4 点整到12目前状态共用了：30（1 ）=27 （分钟）2913所以这时是 4 点 27 。（2）再设此时是 5 点多：5 点整时，时针指 5，分针指 12，从 5 点整到现在“5 在时针与分针的正中央” ，分针走的格数多于 20 少于 25 格，时针走的格数不足 5 格，由于 5 到分针的格数等于 5 到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走 25 格。因此，从 5 点整到目前状态共用了25（1 ）=23 （分钟） 。213所以此时是 5 点 23 分。解：（1）如果是 4 点多：30（1 ）=27 （分钟）
9、2913（2）如果是 5 点多：25（1 ）=23 （分钟） 。因此，这时可以是 4 点 27 分，也可以是 5 点 23 分。91313例 6 一只旧钟的分针和时针每 65 分钟（标准时间的 65 分钟）重合一次。问这只旧钟一天（标准时间 24 小时）慢或快几分钟？分析 前面已知标准钟每 65 标准分钟时针、分针重合一次，51旧钟每 65 分钟重合一次，显然旧钟快。本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的 65 标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度（每标准分钟旋转多少格） ，进而推算出旧钟的针 24 标准小时旋转多少格；它与标准准的针用 24 标准小时所走的格数的差就是旧钟面上显示的比标准钟
10、快的时间读数。设旧钟分针每标准分钟走 格，那么，每走 1 格用 标准分钟。xx如用复合单位表示：旧钟分针速度为 （格/标准分） 。旧钟分针走60 格时针走 5 格，时针速度总是分针的 ，所以旧钟时针速度为1212（格/标准分） 。重合两针耗用 65 标准分钟，表示两次重合之间针x分针赶超了时针 60 格，列方程：60（ ）=65x12解此方程， =（1 ） 得 =605x123标准时间一天有 6024=1440 标准分，一天内旧钟分针走的格数为： 6024，但是我们只须求出旧钟分针比标准分针多走123了多少格，即减去 1440 个（标准钟的）格，所以有602460241=（ 1）602423=
11、 60244= 601=10 （旧钟格）43但读者一定明白，这 10 只是旧钟上显示的多走的格数，也1043是旧钟的非标准分钟数，并非标准的分钟数。解：设这只旧钟的分针用标准时间 1 分钟走 格，则旧钟的时x针速度为 格/标准分。12x根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用 65 标准分钟，列方程得： 60（ ）=65x12解出 =x143标准时间一天有 6024 标准分，标准时间一天内旧钟分针走的格数为： 6024 格。143这只旧钟的分针标准时间一天所走的格数与标准分针一天走的格数差为： 60246024=10 （旧钟格）11043答：这只旧钟在标准时间一天内快 10 分钟（按旧钟上的时间）
12、。习 题 八1、在 6 点和 7 点之间，两针什么时刻重合？2、现在是 2 点 15 他，再过几分钟，时针和分针第一次重合？3、2 点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？4、在 7 点与 8 点之间（包含 7 点与 8 点）的什么时刻，两针之间的夹角为 120？5、在 10 点与 11 点之间，两针在什么时刻成一条直线？6、一旧钟钟面上的两针每 66 分钟重合一次，这只旧钟在标准时间的一天中快或慢几分钟？7、李叔叔下午要到工厂上 3 点的班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在 12 点 10 分就停了。他上足发条后忘了拔针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有 10 分钟。8 小时工作后夜里11 点下班，李叔叔回到家里，一看才 9 点整。假定他上班和下午在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？
