1、 中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 1 精锐教育教学管理部精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号 年 级：高二 辅导科目：数学 课时数：3课 题 抛物线概念与性质教学目标1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程；2、抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；应用抛物线定义解决一些与焦点 弦长有关的问题。教学内容一、知识梳理1、抛物线的定义定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 （定点 F 不在定直线 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点llF 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。l思考：如果定点 F 在定直线 上，动点的轨迹是什么？ 2、抛物线
2、的标准方程和性质标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线pxy2(0,0) 轴x( ,0)2p2pxxy2(0,0) 轴x(- ,0) xpyx2(0,0) 轴y(0, )2pyyx2(0,0) 轴y(0,- ) y我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 2 精锐教育教学管理部3、直线与抛物线它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离。具体来说：1、相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；2、只有一个公共点，对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行；3、有两相异的公共点，
3、表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。常见的问题有：（1）直线与圆锥曲线位置关系的研究。包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。（2）直线与圆锥曲线相交成弦的问题。包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程，对称性问题等等。弦长的求法：由 ，2(,)00()FxyaxbcaABC弦长 .21()(dk21()|kl为 直 线 斜 率注意：消去 可得关于 的二元方程有 直线 斜率 .xy21 21()(|dyka(k为 l)求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而
4、判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。4、抛物线的特殊性质（1）过抛物线 （ ）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 、 两点，设 ，pxy20),(1yxA),(2yBmFA，O 为原点，则有：（ 1） ；（2） ；（3） ；（4） 。nFB4px21pyOAkpn21（2）直线 l 交抛物线 （ ）于 、 两点，O 为原点，若 OAOB，则直线 l 经pxy20),(1yxA),(2yxB过定点（2p，0）， ，反之亦然（证明略）。14二、例题解析1、抛物线 的准线为_ _ ,焦点坐标为_2xy81y )81,0
5、(2、已知圆 ，与抛物线 的准线相切，则 _20762 )0(2pxp3、点 M 与点 F 的距离比它到直线: 的距离小 1，则点 的轨迹方程是 _(4,)5M中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 3 精锐教育教学管理部xy1624、抛物线 （ ）与椭圆 有一个共同的焦点，则 的取值范围是_p20192myxP)18,0(5、抛物线 上一点 到 轴的距离为 12，则点 到焦点的距离为_13xy16PP6、一个正三角形的顶点都在抛物线 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（ A ）24yx（A） （B）（C） （D）4834316394637、若点 A 的坐
6、标是（3，2） ，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MA|+|MF|取最小值的 M的坐标为_(2,2)_8、若抛物线 与双曲线 没有公共点，则实数 的取值范围为_xky)1(01k)3,1(.9、求顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线 3x-4y=12 上的抛物线方程。解:直线 L 与 X 轴交点(4,0),与 Y 轴交点(0,-3)所以抛物线方程为 yxy1262或焦点弦有关的问题1、已知 是抛物线 上的点， 是该抛物线的焦点，求证： .),(0yxPpxy2F2|0pxPF说明利用抛物线的定义，将点 到焦点的距离转化为到准线的距离， 称为抛物线的焦半径.
7、P|证明：过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则 .根据抛物线的定义，),(0yx2:xlQ),2(0yp.2| 0pPQF2、在抛物线 y2=8x 上一点到 x 轴的距离为 4，则该点到焦点 F 的距离为 63、在抛物线 y2=8x 上与焦点 F 的距离等于 6 的点的坐标为 . 24,4、过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于 A(x1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果 x1+ x2=6，那么|AB|= （ A 中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 4 精锐教育教学管理部）A8 B10 C6 D45、过抛物线 的焦点 F 作一直线交抛物线于
8、 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 得长分别是 、 ，2yax0 pq则 等于（ C ）1pqA B C D 2a12a4a4a解析：考虑特殊位置，令焦点弦 PQ 平行于 轴。x6、抛物线 （ ）上有 、 、 三点， 是它的焦点，若 、pxy20),(1yA),(2yB),(3yxFAF、 成等差数列，则（ A ）BFCA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成等差数列 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成等差数列 3, 23,C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成等差数列 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成等差数列
9、7、 是抛物线 的焦点弦，若 ，则 的中点到直线 的距离是_2 4AB012x498、若抛物线 的焦点弦长为 ，求焦点弦所在直线方程.xy45说明根据焦半径公式，焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示.解：抛物线的焦点为 .设焦点弦的两个端点分别为 、 .)0,1(F),(1yxA),(2yB由条件， ，所以 .52()(| 21 pxBA 321x如果直线 平行于 轴，那么 ，这与 矛盾，所以直线 不平行于 轴.y231xAy设焦点弦所在直线方程为 ，联立方程)(xk消去 ，得到 ，,4)1(2xyky022kx根据韦达定理， ，求出 ，于是焦点弦所在直线 的方程为 .3)(221kAB0
10、2yx9、过抛物线 的焦点 作抛物线的弦 ，当 时，求直线 倾斜角的大小。xy8FAB32答案： ，所以倾斜角为 或32k0315中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 5 精锐教育教学管理部10、已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，抛物线上一点 到焦点的距离是 ，求抛物线的方程、y)1,(mM3准线方程、焦点坐标以及 的值。m说明根据点 的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下，进而确定抛物线的方程形式.M解：设抛物线方程为 ，其准线方程为 .)0(2pyx 2py根据抛物线的定义，有 ，所以 .314抛物线的方程为 ，准线方程为 ，焦点坐标为 ，将点 的坐标代入方
11、程yx82y),0(F)1,(mM，算得yx82m直线与抛物线1、抛物线 上一点到直线 的距离最短的点的坐标是（ A ）2xy042yxA （1，1） B （ ） C D （2，4）1, )9,23(2、过点（0,1）作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有（ C ）xy2A1 条 B 2 条 C3 条 D0 条3、直线 交抛物线 于 、 两点，若 ，则 _1mxyxABOBAm4、抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 ，则焦点到 AB 的距离为 25、过 A（1，1） ，且与抛物线 有一个公共点的直线方程为 2y及 X=-1022yx6、在抛物线
12、中，以 为中心的弦所在的直线方程为_8)1.( 034yx7、已知直线 l 过点 A（4,0）且与抛物线 交于 P、Q 两点，若以 PQ 为直径的圆恒过原点)0(2:pxyCO，求抛物线 C 的方程。中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 6 精锐教育教学管理部8、给定直线 ： ，抛物线 C： 。l216yx2(0)yax（1）当抛物线 C 的焦点在直线 上时，确定抛物线 C 的方程。l（2）若ABC 的三个顶点都在（1）所确定的抛物线 C 上，且点 A 的纵坐标 ，ABC 的重心恰在抛8Ay物线 C 的焦点上，求直线 BC 的方程。答案：（1） xy32（2） 代
13、入 得 则 A(8,2),设 . 直线方程代入 ,.8Axy22A1,yx2,BABl xy32由韦达定理及重心坐标公式 求得 .03821y4,kb04:yxlBC9、已知动圆过定点 ，且与定直线 相切，点 在 上。(1,0)P:1lxCl（1）求动圆圆心的轨迹 的方程；M（2）设过点 且斜率为 的直线与曲线 相交于 、 两点，求线段 的长；3ABAB（3）问： 能否为正三角形？若能，求点 的坐标；若不能，说明理由。ABC解：（1）因为动圆 过定点 ，且与定直线 相切)0,1(P1:xl所以由抛物线定义知：圆心 的轨迹是以定点 为焦点，定直线 为准线的抛物线)0,(P1:xl所以 圆心 的轨
14、迹方程为 -4 分Mxy42（2）由题知，直线 的方程为 -6 分AB)1(3所以 解得： -8 分 -10 分xy4)1(32 2,(B316|AB（3）假设 能为正三角形，则设点 的坐标为 -11 分CC),1(y由题知 13 分316|AB中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 7 精锐教育教学管理部即： -14 分2222 )316(4)3()4yy由于上述方程无实数解，因此直线 上不存在这样的点 C。 -16 分l10、若抛物线 上两点 、 关于直线 对称，且 ，求 的值。2xy),(1yxA),(2yBmxy21xm答案： 3m11、若抛物线 上存在关于
15、直线 x+y=0 对称的两点，求 a 的范围。12axy解析：提示：设 A（m，n） ，B （-n ，-m）为抛物线 上关于 x+y=0 对称的两点，则12xy(2) 12an（1）-（2）得 （3）)0na（1）+（3）得 ，故判别式 ，又 a0 1(2m)1(42a 4a三、总结与反思中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 8 精锐教育教学管理部四、课后作业1、抛物线 的准线方程是（ C ）82xyA B Cy=2 Dy=4341x2、与椭圆 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ B ）20542yxA B C Dxy2 yx423、已知 A、B 是抛物线
16、 上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB 的垂心恰是此抛物)0(2py线的焦点，则直线 AB 的方程是（ C ）Ax=p B C D3px3px254、已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上的点 到焦点的距离为 5，则抛物线方程为（ D )3,(mP）A B C Dyx8242y42 yx825、已知抛物线 x2=4y，过焦点 F，倾斜角为 的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 的长为 （ A ）A.8 B.4 C.6 D.3 6、过点 M（2，4）作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有（ C ）A0 条 B 1 条 C2 条 D3 条7、直线
17、与抛物线 交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2，则 k 的值为（ ） kxy8（A） 或 2 （B） （C）2 （D）1 18、抛物线 y2=8x 的焦点为 F、P 在抛物线上，若| PF|=5，则 P 点的坐标为（ C ）A. (3，2 ) B.(3，-2 )6 6C.(3，2 )或(3，-2 ) D.(-3，2 )或(-3 ，-2 )6 69、设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若 则|FA|+|FB|+|FC|=（ B 0FCBA）(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 310、动圆 经过点 且与直线 ： 相切，则 的轨迹方程为 M0,3l3
18、xMxy1211、若点 M 到点 的距离比它到直线 的距离大 1，则点 M 的轨迹方程为 或1F0 40xy中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 9 精锐教育教学管理部12、抛物线 上的两点 A、B 到焦点的距离之和为 10，则线段 AB 中点到 y 轴的距离为 xy42413、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线 上的抛物线方程是 或1243yx xy162yx1214、等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px(p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB，则AOB 的面积为 24p15、抛物线 y=4x2 上的点到直线 y=4x5 的最近距离是 16、顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线，截直线 所得弦长为 ，求抛物线方程。012yx15答案： 或xy12x417、已知直线 与抛物线 交于 两点，mxyl： xy42BA、(1)若 ，求 的值；10AB(2)若 ，求 的值.O解：设 21,yxy，、(1) -1 分m42042mx-2 分212x， ， -2 分10AB1024m2， -1 分m中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：www.1smart.org 10 精锐教育教学管理部(2) ， -1 分OBA021yx，212mx-2 分x，0422， ，-2 分0m4or经检验 满足-1 分
