1、2.1 四公理三推论讲义一、基本概念：知识点一： 常用空间几何体棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质： （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 。棱锥的性质： （1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形 （2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方 正棱锥的定义：如果一个棱
2、锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质： 各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。 知识点二：四公理三推论公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理 3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
3、公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 知识点三：空间两直线的位置关系空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：过平面内一点与面外一点的直线，与面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为 (0，90 两异面直线间距离: 公垂线段 (有且只有一条) 知识点四：直线和平面的位置关系直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所
4、成的锐角。 规定：直线与平面垂直时，所成的角为直角；直线与平面平行或在平面内，所成角为 0 角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 0，90 知识点五：两个平面的位置关系两个平面的位置关系：平行、相交。 二面角 （1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。（2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 （0，180 （3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 （4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。 （5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角
5、叫做二面角的平面角。 （6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系） 二、典型例题：例 1下列四个结论：两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。两条直线没有公共点，则这两条直线平行。两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（ ）A B C D01232垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A平行 B相交 C异面 D以上都有可能3 互不重合的三个平面最多可以把空间分成
6、（ ）个部分 A B C D45784三个平面把空间分成 部分时，它们的交线有（ ） 条 条 条 条或 条123125下列说法不正确的是（ ）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B同一平面的两条垂线一定共面；C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.6设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：,mn,若 ， ，则 若 ， ， ，则/nm/m若 ， ，则 若 ， ，则/ /其中正确命题的序号是 ( )A和 B和 C和 D和答案：A D D C D A 7.已知 是两条异面直线， ，那
7、么 与 的位置关系_ 。,ab/cacb8下列命题中：（1 ） 、平行于同一直线的两个平面平行；（2 ） 、平行于同一平面的两个平面平行；（3 ） 、垂直于同一直线的两直线平行；（4 ） 、垂直于同一平面的两直线平行 .其中正确的个数有_。9点 到平面 的距离分别为 和 ，则线段 的中点 到 平面的,AB4cm6ABM距离为_答案：7. 异面或相交； 8. （2） （4 ） ； 9. 5cm 或 1cm。10.已知直线 ，且直线 与 都相交，求证：直线 共面。/bca,bc,abc证明： ， 不妨设 共面于平面 ，设AB，即 ，所以三线共面。,AB异面直线所成的角：11.在空间四边形 PABC
8、 中，F、G 分别是 AB、PC 的中点，若 PB=8，AC=6 ，FG=5，求 AC 与PB 所成的角。12.在正方体 中，E、F 、G 、H 分别为 、AB、 、 的中点，1DCBA1A1BC求异面直线 EF 与 GH 所成的角。13.在正方体 中，求 AC 与 所成的角的大小。11B答案：11、 ； 12、 ； 13、 。90690平面与平面所成的角：14. 在空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=a，对角线 AC=a，BD= ，求二面角 Aa2BDC 的大小。15. 在距形 ABCD 中，AB=3，AD=4，PA 平面 ABCD，PA= ,则求二面角 A-BD-P 的大53
9、4小。16. 在正方体 中，求二面角 的大小。1DCBADAB1答案：14、 ；15 、 ；16 、 。90345高考真题：1.【2012 高考四川 6】下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】A. 两直线可能平行，相交，异面故 A 不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D. 这两个平面平行或相交.2. 【2012 高考浙江 5】 设 是直线，a， 是两个不同的平面lA
10、. 若 a ， ，则 a B. 若 a， ，则 al lC. 若 a， a，则 D. 若 a, a，则 l l【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的， a， ，则 a如选项A： a， 时，a 或 a；选项 C：若 a ， a， 或 ；选项l llD：若若 a , a， 或 ll3. （2010 浙江理数）设 ， m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（A）若 l， ，则 l （B）若 l， lm/，则 （C ）若 /， ，则 / （D）若 /， ，则 l/解析：选 B。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理。4. （2010 山东文数）在空间，下列命题
11、正确的是A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行答案：D5. （2010 湖北文数）用 a、 b、 c表示三条不同的直线， y表示平面，给出下列命题：若 a b， c，则 ；若 ， b c，则 a ；若 y， ，则 ；若 a y， ，则 b.A. B. C. D.6.（2010 山东理数）在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行（C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D7.【2012 高考四川文】如图，在正方体 中， 、 分别是 、1ACMNCD的中点，则异面直线 与 所成的角的大小是_。11MNNMB 1A1 C1D1BD CA 【解析】连接 ，则 ,又 ，易知1MDN1DA1，所以 与 所成角的大小是 ；1N面1AN2
