1、AGE 夯实基础 提高能力数列复习指导（2004 年 9 月 13 日刊登在数字世界报高中版）江苏省天一中学 何志奇从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个从定义为正整数集（或它的有限子集1， 2，n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，因此用函数的知识来研究数列是十分重要的思想方法。数列：既与函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理、极限有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征。试题形成了综合性强、立意新、角度宽、难度大的特点，故而在解题中务必注重基础、凸现能力。1注重基础、凸现能力例 1：在等比数列a n中，已知 a1+a2+a3=8，a 4+a5+a6=4，则数列前 15 项的和
2、 S15为（ ）A、 B、 C、5 D、1523分析：该题如果运用方程的思想，求数列a n的首项 a1 和公比 q 之后再求 S15，则运算量较大。若灵活地将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S 15 又刚好是新数列前 5 项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解，灵活地运用基础知识达到目的。解析：设 b1=a1+a2+a3=8；b 2=a4+a5+a6=4；，b 5=a13+a14+a15则 b1，b 2，b 3，b 4，b 5 构成一个等比数列，其首项为 8，公比为 21故 S15=S5=b 1+b2+b3+b4+b5= 选（A ）1小结：客观题中的数列问题除考查基础知
3、识的掌握情况外，还注意考查学生思维的灵活性，故平时应做到小题巧解，小题活解。练习 1：若无穷等比数列a n的前 n 项和为 Sn，多项和为 S，且 S=Sn+2an，则a n的公比为（ ）A、 B、 C、 D、32323131答：（B）练习 2：等比数列a n中，a 1=512，公比 q= ，用 n 表示它的前 n 项之积：2 n=a1a2an，则 1， 2，中最大的是（ ）A、 11 B、 10 C、 9 D、 8答：（C）2巧用性质 解决问题例 2：数列a n，b n满足 a1=1，a2=（0） ，b n=anan+1，且b n是公比为AGE q（q0）的等比数列，设 cn=a2n1 +a
4、2n（nN* ）（1）求c n的通项公式；（2）设 ，求数列d n的最大项和最小项的值 .2,lg2.19qCdn分析：根据b n是等比数列，可列出通项 bn，从而得到 anan+1，即有数列a n的递推关系，然后再研究数列a n。解析：（1）b n为等比数列，公比为 qaaqbnnn 2121,从 而即故数列 a1，a 3，a 5，a 2n1 和数列 a2，a 4，a 6，a 2n 都为等比数列，且公比都是 q。故 a2n1 =a1qn 1=qn1 ，a 2n=a2qn1 =q n1C n=a2n1 +a2n=qn1 +q n1 =（+1）q n1 （nN* ）（2）=2 19.21，q=
5、nnn 2.012.9*)(2.01.1lgl2.0)1(NndCnnn即故从上式可知，当 n20.20，即 n21（n N* ）时，d n 随 n 增大而减小，故有1d nd 21=1+ =2.25 （1）.1当 n20.20，即 n20（nN* ）时，d n 也随 n 增大而减小，故有1d nd 20=1+ =4 （2）2.综合（1） 、 （2）两式知，对任意 nN* ，有 d20d nd 21d n的最大项 d21=2.25，最小项 d20=4小结：（1）数列an是奇数项和偶数项分别成等比的数列，但a n并不一定成等比，若要写出 an 的通项应是一分段函数kqk2,112AGE （2）在
6、求 的最大项和最小项时用的是函数 的2.01nd 2.01)(xf性质函数 f（x）的图象关于点（20.2 ，1）成中心对称。当 x 小于 20.2 而趋向于 20.2 时， f（x）趋向于，当 x 大于 20.2 而趋向于 20.2 时，f （ x）趋向于+，故d20d nd 21，即 d21 最大，d 20 最小，数列是特殊的函数。练习 3：已知函数 f（x）=log ax（a0，且 a1） ，若数列 2，f(a 1)，f(a 2)，f(a n)，2n+4（n0，且 nN）成等差数列。（1）求数列a n的通项 an；（2）若数列a n的前 n 项和为 Sn，当 0a1 时，求 ；nSlim
7、（3）令 bn=anf（a n） ，当 a1 时，试比较 bn 与 bn1 的大小.答：（1）an=a2n+2； （2） ； （3）b n+1b n243结合解几 探索分析例 3：已知数列x n的各项为不等于 1 的正数，其前 n 项和为 Sn，点 Pn 的坐标为（x n，S n） ，若所有这样的点（P n=（n=1，2，）都在斜率为 k 的同一直线上（常数k0，1）（1）求证：数列x n是等比数列；（2）设 （2a23a+1）满足 ，其中 a 为常数，nxylog 12,sytyts且 1a ，而 s，tN*，且 st ，试判断，是否存在自然数 M，使当 nM 时，5xn1 恒成立？若存在，
8、求出相应的 M，若不存在，请说明理由。分析：（1）根据（S n+1S n）：（ Xn+1X n）=k 探求正比；（2）考虑数列 ny1解析：（1）略 （2）由 知 2a23a+1（0， 1）易知5,1a n1常数，由已知可得 是首项为正数，公差为2 的递减的等差数列，故一定存在一个ny1自然数 M，使 0 且 0y1yAGE 01,*20)1()(2MnytsNttsMt时当即 2a 23a+1 （0，1） 当 nM 时，x n=（2a 23a+1） 1ny故存在自然数 M=s+t，使当 nM 时 xn1小结：本题是探索性命题，是高考中较常见题型，也是高考命题的一种趋向，像这类问题的思考方法是
9、根据条件分析探索到符合结论的 M。练习 M：是否存在直线 L，使 L 与抛物线 y2=x，y 2= 从下列上顺次交于点7xP1、P 2、P 3、P 4；而且这些点的纵坐标 y1，y 2，y 3，y 4 组成等差数列？如存在，求出直线L 的方程；如不存在，请说明理由。答：存在直线 L：x=9 符合条件4联系实际 灵活处理例 5：家用电器一件，现价 2000 元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，购买为一个月付款一次，共付 12 次，购买后一年还清，月利率为 0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？（1.008 12=1.1）分析：本题由教材的数列应用问题改编，而数学的实际应用是高考的必
10、然趋，分期付款问题，关键是计算多期付款到最后一次付款时新生的利息，并注意到多期所付款以及新生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。解析：设每期付款 x 元，则第 1 期付款后还欠款 2000（1+0.008）x=20001.008x第 2 期付款后还铁款2000（ 1+0.008）x1.008x=20001.008 21.008xx，第 12 期付款后欠款应为 0，所以有20001.00812（1.008 11+1.00810+1）x=0)(46.17508.1.2元x即每期付款 175.46 元小结：分期付款问题，实质上是一个可转化为等比数列求和的实际问题，关键
11、是建立等量或不等量关系式。AGE 练习 6：从社会经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规则，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游51业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业投入每年会比上年增加 。41（1）设 n 年内（本年设为第一年）总投入为 an 万元，总收入为 bn 万元，写出an，b n 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？答：（1） 145160,5410nnnn ba（2）n5，至少经过 5 年旅游业总之，以数列为载体，渗透函数思想、方程思想，数列结合，分类讨论等数学思想和方法，而由于非等差（比）数列的问题常常转化为等比（差）数列的问题，导致了等比（差）数列的性质的灵活运用，使考生的探索能力、解决问题的能力得到提高。
