1、一、概率的难点分析及解决策略初中数学中概率学习的难点之一：分析推测事件发生的可能性的大小解决策略：（1）事件发生的不确定性和可能性在学生生活和经验积累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、无意识的，现在开始力求精确，尽可能用数字说话，学生原有的知识经验难以支撑，为认知同化造成困难（2）学生判断事件发生的可能性大小，还离不开自己的生活经验，往往带有感情色彩，错误的经验与现实结论的冲突，排斥着新观念、新知识的建立，也会成为学生认知顺应的障碍解决策略：（1）充分利用学生的生活经验和认知基础，用学生身边的感兴趣的鲜活生动的问题情境作为教学素材，不惜时间让学生亲身经历，引导学生自己总结、分析，试着用自己的
2、语言表述，逼近定义，这样引出新概念容易被学生原认知结构所同化（2）有针对性的提供一些带有情感色彩的问题，让学生在交流、讨论甚至争议中澄清认识，体验客观事件发生的可能性与个人的愿望无关初中数学中概率学习的难点之二：对等可能的理解。学生在处理较为复杂的概率问题中，有时会忽视古典概率的使用条件：等可能。解决策略：教学时，只需要通过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件。二、统计的难点分析及解决策略初中数学中统计学习的难点之一：形成正确的统计观念。教师的教学放在重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核。因此导致学生没有经历统计过程，难以形成
3、正确的统计观念。解决方法：（ 1）使学生经历统计活动的全过程：要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中去：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进。在参与活动中学会统计方法，渗透统计思想。（ 2）使学生在现实情境中体会统计对决策的影响：在教学中结合生活实例展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中体会统计对决策的作用。初中数学中统计学习的难点之二：抽样的合理性，如何抽样更合理，学生存在很多困惑。解决方法：（1）在抽样方法的学习过程中，应该讲到随机取样，随机性的作用，保证这个样本具有代表性，这样的话才能正确的理解这个概
4、念，以及它和以往不同概念之间的差别。（2）应该让学生在具体情境中了解由于所取的样本不同，将会导致统计结论的差异。初中数学中统计学习的难点之三：统计量含义的理解。对统计量的含义的理解不够到位，这其中表现最突出的就是方差。解决方法：作为概念课的教学， “概念产生背景的合理性和应用性”是激发学生自主学习新概念的突破口。所以要设置合理的问题情境，使每一个概念来源于生活，反之应用于生活，学生才能有比较深刻的体会。教科书中有许多概率试验，有一些凭经验似乎完全可以直接判断，为什么还要做那么多试验？这个问题确实值得思考，要弄清楚这个问题，需要从概率内容特点和学生学习概率的认知规律去分析。第一、通过概率试验，有
5、助于学生体会随机现象的特点。在进行试验及对试验数据的分析中，学生将逐渐体会到随机现象的不确定性，以及大量重复试验所呈现的规律性。第二、通过概率试验，可以估计一些随机事件的概率。在实际生活中，大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得到的，此时人们可以通过做试验，将大量重复试验时的频率作为事件发生的概率的估计值，如抛瓶盖、抛图钉的问题。另外，一些随机事件虽有概率理论，但超出学生现有知识水平，也可通过试验获得事件概率的估计值。第三、通过概率试验，有助于学生澄清一些错误认识。在概率学习中，学生虽然有一些生活经验基础，但也有局限性和困惑，对后者不是靠训练就可改变的，必须结合学生的生活经验，让学生亲自动手操
6、作，将学生的感性经验向理性思考发展。如一枚均匀的硬币有正、反两面，因此随意掷出后任何一面朝上的概率都是1/2，假如你已经随意投掷了九次，结果都是正面朝上，那么第十次随意掷出后是正面朝上的概率大还是反面朝上的概率大？有的学生会认为，正面朝上的概率大，因为正面朝上出现的次数多，有的学生则认为，反面朝上的概率大，因为前面一直出现的是正面朝上，这次该轮到反面朝上了。也正是基于上述理由，概率知识的学习不能走纯粹计算的路子（实践也已证明） ，否则学生很难真正理解概率的意义。而生活中有大量可以用作理解概念的问题情境，教学就应当走试验的路子让学生通过对实际问题情境的感受去理解概率的含义。即使概率的定量化的学习
7、牵涉到数值计算，也绝不是一个简单的算术问题，而应对其中概率值有理解，这必须通过学生的亲身试验获取数据、处理数据等，才可能正确形成。活动试验模式是一种构建在“班级授课制”大背景之上的，以合作学习小组活动为基本形式，充分而合理地利用师生之间、生生之间的动手操作、合作交流来促进学生学习，发挥学生学习潜能的教学方式。该模式通过创设和谐民主的师生人际关系，倡导团结、互助的良好学习氛围，充分发挥学生的主体作用，提高学生整体参与热情，从而使每一个合作成员都能在自己的基础上共同达到学习目标。活动试验模式的基本操作过程大体是这样的：直觉猜想做试验算一算。在该基本操作过程中还可以实现：（1）合理分组、注重合作；（
8、 2）师生平等、融洽感情；（3）既有分工、又有协作；（4）提倡竞争、深化参与；（5）积极评价、互相学习。课例记一次课堂摸奖试验1试验背景（直觉猜想）初三概率中有一个这样的问题“抽奖有先后，对个人公平吗？”学生们在讨论了“当后抽人不知道前人抽出的结果”时，得出了“此种抽签方法是公平的”一致结论；而对于“当后抽人知道前人抽出的结果”时是否公平产生了争议。教师鼓动大家说：“我们不妨做一次试验，看看到底会怎么样”，同学们立即来了兴趣。2试验设计（做试验）为了使试验便于操作，大家商定做一个简单的模型， “3张彩票中有2张有奖，3个人依次从中任意摸出一张，摸出后让后人看到结果。 ”规定4人一组，前后桌就近
9、组合，第一个人先摸一张，摸出后不放回，让第二个人看到结果后，第二个人从其余的两张里再摸一张，第三个人无从选择，剩下的彩票是第三个人的，每次摸奖的顺序始终不变，第四个人负责记录结果，结果包括试验的总次数，第一个人，第二个人，第三个人的获奖次数，最后还要用计算器计算每个人的获奖频率，进行比较，获得相关结论。奖券的设计由各组自己定，但必须保证摸奖过程中的随机性，每组要求试验60次以上。3试验过程与结果分析在宣布好试验规则后，同学们开始了试验，过了一会儿，有一组同学发现他们摸到奖的机会差不多，就停止了摸奖而喊起来“后摸的人不知道也一样！”。教师：“为什么呢？”同学甲：“再摸下去也一样，为什么我也说不清
10、。 ”教师：“有一点道理，再深入想下去，怎么样去证明你的结论，先继续试验下去，再看看其他组怎么样。 ”最后在统计的过程中，发现一些组的数据有些问题，有的是不细心数错的，有的没有按照试验规则去做，有一组把试验设计成了3张中有一张有奖的，同学乙无奈地说： “老师，我们把摸奖设计成一个奖品了！”教师没有简单地对他们进行批评，而是引导他们怎么对这些数据进行修正，而使得和规则保持一致。教师：“能不能想一个办法弥补呢？把数据作废太可惜了！”同学丙：“ 把没有奖的当成有奖的就行了，就是用试验次数减去他们各自没有得奖的次数，就等于他们各自得奖的次数。 ”经过数据调整，大家得到九个组的有效数据，如表1（表中所得
11、频率数据皆为计算器算得，各个频率保留两位小数)）表1各个组摸奖的情况统计从表1中我们可以看出：第五组的第一个人，中奖的频率最大，频率约为0.83，第八组中的第一个人中奖的频率最小，频率约为0.51。第一组、第五组、第八组，个人之间的差距相对大一点，第六组和第四组每个人最接近。教师：“每个组的情况有所不同，是因为人的运气所致吗？”同学丁：“摸奖是随机的，会出现各种情况。 ”同学戊：“概率是在大量重复试验的基础上得到的，我们摸的次数太少了。 ”教师：“我们没有那么多时间，怎么办？”同学己：“把各个组的第一个人、第二个人、第三个人中奖的次数分别加起来，试验总次数就比较大了。结果应该就接近概率了。 ”
12、从表中可以看出，甲、乙、丙三个人中奖的频率很接近，众人拾柴火烟高，大家对这个结果欢欣鼓舞。那么我们为什么会感到不公平呢？主要是前面的人在摸出一张后，后面的人知道了结果，计算的是剩余的奖券中中奖的概率，没有考虑到整体的运算结果，是一种信息的透明产生的心理效应。在大型摸奖活动中，比如国家的体育彩票、福利彩票，采取最后摇奖，就避免了这种心理效应。4试验总结与评价试验器材的使用直接影响了试验的操作水平和兴趣。在摸奖活动中，大部分都是用纸做的卡片，还有用三个相同的硬币的，更让我惊奇的是有一组找了三个骰子！试验记录的方法多种多样，有画“、X ”表示是否中奖；有写“0 、1”表示中奖与否，有的用文字“有、没
13、有” ， “中、不中 ”， “正、反”的，还有用数字表示的。记录方法和试验效率直接有关，特别是和统计的速度相关。在相同时间内最高的一组试验次数是89，最低一组试验次数是43次。在试验过程中，大部分同学是很认真地参与其中，得到了锻炼，但也有的同学合作性不强，不和他人合作，自己在做其他的事情，或者在看热闹。有一组的组织很乱，数据没有利用价值，失去了试验的意义。通过这次摸奖活动，使大家看到数学不仅仅是做题，还可以做试验，合作中体现能力，活动中得到知识。教学案例教学目标：1让学生在具体情境中了解概率的意义，运用画树状图来计算简单事件发生的概率。2通过实验获得事件发生的频率，知道大量重复实验时频率可作为
14、事件发生概率的估计值。3通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。教学重点：让学生在具体情境中了解概率的意义，并运用画树状图来计算简单事件发生的概率。教学难点：让学生通过实验丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。教学流程一、创设情境，让学生在具体情境中体会概率的意义。请班上甲同学与已同学做掷硬币的游戏。游戏规则：任意掷一枚均匀的硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么已获胜；如果两次朝上的面不同，那么甲获胜。先让同学猜一猜，这游戏公平吗？二、合作交流，作出合理判断。活动一：掷硬币游戏。1与同桌做20次上面的掷硬币游戏，记录每次出现的情况。2汇总全班同学的记录，完成下表。可能出现的情
15、合况 计出现的次数占总次数的百分比3根据上面的数据，你认为这个游戏公平吗？随意掷出一枚均匀的硬币两次，硬币落地后会出现4种结果：（1）两次都为正面朝上，记作（正，正） 。（2）第一次为正面朝上，第二次为反面朝上，记作（正，反） 。（3）第一次为反面朝上，第二次为正面朝上，记作（反，正） 。（4）两次都为反面朝上，记作（反，反） 。每种结果出现的概率相等，都是1/4。在上面的游戏中，还有其他的方法帮助我们列出所有可能出现的结果吗？教师引导学生得出“树状图”表示所有可能出现的结果。 （图略）每种结果的概率都是1/4。活动二：穿衣游戏。（一名同学实验，其余同学小组讨论，得出答案。 ）某同学春节外出旅
16、游时带了3件上衣（棕色、蓝色、淡黄色各一件）和2条长裤（白色、蓝色各一条） 。问题：他任意拿出1件上衣和1条长裤穿上，正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率是多少？学生充分讨论，并出示参考解法。解：用 A、B、C 分别代表棕色、蓝色、淡黄色上衣；用 D、E分别代表白色、蓝色长裤。列出所有可能结果的“树状图” （图略）每种结果出现的概率都相等，因此，该同学拿出棕色上衣和蓝色长裤的概率是1/6。还有其他方法吗？三、小结。今天你们学到了什么？你们还想了解什么？下课后兴趣相同的同学可以组成小组继续研究，好吗？浅谈“统计与概率”内容的教学的经验与体会“统计与概率”内容的教学中，我最开始时只注重培养学生从统计图表
17、获取相关的信息；培养学生自己动手绘制相关图表的能力。我在实际教学中，常被一些问题困扰。面对这些困惑，我们在教学中，应遵循“突出过程，强调活动，全程体验”十二字原则，要让学生发现和感受统计的必要性，体会我们学习的数学是有用的数学；在教学概率时，应当让学生建立随机的观念，而不是知识本身。统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件可能性的刻画，来帮助人们做出合理的推断和预测。 “统计与概率”内容调整之前的统计与概率的教学，我们的教师只注重培养学生从统计图表获取相关的信息；培养学生自己动手绘制相关图表的能力。面对调整后的内容，我们在实际教
18、学中，常被一些问题困扰：学生在学习统计和概率的知识时，常表现出不知道为什么要统计，体会不到统开始D EAB C AB C（A、D） （B、D） （C、D） （A、E ）（B、E） （C、E）开始A CDBE D E（A、D） （A、E ）（B、D） （B、E） （C、D） （C、E）D E计的作用；无法正确理解可能性的大小；对必然现象与随机现象的理解常出现偏差；往往根据自己的经验与直觉来判断事情的发生与否；学生以为不太可能就是不可能、很有可能就是必然，以及可能发生与必然发生之间混淆面对困惑，我们该怎样开展我们的教学呢？首先，在教学中，应遵循“突出过程，强调活动，全程体验”十二字原则，要让学生发
19、现和感受统计的必要性，体会我们学习的数学是有用的数学。统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析（包括概率）的完整过程。在具体内容的处理上也应突出统计的基本过程，让学生经历数据的收集、整理、描述、分析、得出结论、利用结论进行合理预测和判断的统计过程。在整个统计过程中包含着大量的活动，因此教师在教学中要注意创设一个贴近学生生活的情境，让学生从内心感受有必要进行统计，学生感受到统计的必要性后，体验怎样去收集、整理数据，怎样用图、表去表述自己所收集到的数据，把有用的信息用数学语言表达出来，并用所学的知识去探索、推断未知的领域。在这些全部活动的过程体验当中培养学生的统计观念，学生也可以更容易地感受到数
20、学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的威力。1、让学生有统计的需要，体会统计的必要性，决定统计信息。的重案例：“学校为了丰富同学们的课外阅读面，打算购买一些大家喜欢的图书。应该买些什么图书，各买多少才合适呢？”为了回答这个问题，可以让学生讨论应该怎样解决。大家会想到做一个调查，这样就产生了统计的必要。但是要统计哪些数据以及调查的范围是什么呢？大家通过商量讨论，大致决定统计以下类别：童话类、寓言类、童谣类、科学发明类、科幻类、字谜类、小说类、人物传记、历史人物等。同时大家研究制定了以下问卷调查表。同学：我校图书室为了满足同学们的阅读需求，打算购进一批图书。为此，我们需了解你的阅读喜好，
21、请配合填写此问卷，谢谢！（说明：请在你喜欢的类别下划“” 。 “其他”请注明是什么类型。 ）学校年级学生喜欢的课外阅读类型调查问卷类别童话童谣寓言科学科幻字谜小说人物历史其他（ 发明传记故事）选择如果每一个统计知识的学习都能让学生充分参与，学生就能强烈地感受到生活中的很多实际问题需要统计才能解决，从而体验到学习统计知识要性。2、让学生经历和参与收集、整理数据的过程。收集和整理数据是统计的首要任务。如上例，要知道同学们都喜欢什么书？喜欢各种书的人数大致有多少？就必须要调查，同学们自己设计了调查问卷。为了收集到比较完整的数据，同学们可以向全校同学发放问卷。可以分班收集问卷、也可以全校统一设置信箱收
22、集问卷。同时大家还可以讨论这两种收集问卷的方式，各有什么优势。数据收集上来后，就要整理数据。在各班内，大家可以通过划“正”字的方法统计出全班喜欢各类书的人数。然后，各年级汇总，得到各年级喜欢各类书的人数。最后，全校汇总，得到全校同学喜欢各类书的人数。3、让学生分析统计结果，能够回答一些简单的问题，或做出简单的决策、预测。前面所举的例子，我们可以按照年龄段不同分析出不同年龄的学生喜欢读书的类型有什么共同特点；随着年龄的增长，同学们阅读书目的类型有什么变化；还可以分析出喜欢各种类型的书的人数与全校人数的百分比各是多少。根据对统计结果的分析，图书室有充分的理由拟定出购书计划。学生体会到了统计对决策的
23、作用。其次，概率的教学应当让学生建立随机的观念，而不是知识本身。把有关概率的知识编排在小学，这在建国以来的小学数学教学中是第一次出现。在教学中，根据小学生的认知水平，应该非形式地介绍概率（用“可能性”代替），而非严格的定义、单纯的计算。我们都知道抛掷一枚硬币，出现正面的可能性是1/2，但我们在教学中不可能让学生抛掷10次硬币，只出现5次正面，然后通过计算得出出现正面的可能性就是1/2， 究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的。当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的1/2左右。随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越
24、小，频率在1/2这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，1/2恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，1/2就是抛掷硬币时出现正面的概率。根据学生的认知发展规律，我们可以按照以下三个阶段来进行概率思想的教学： 1、引导学生体会事件的发生有些是确定的、有些是不确定的。让学生亲身体会客观世界不但存在确定的事件、也存在着不确定的事件，亲自体验问题的随机性。教学时，教师联系学生的生活实际，说一说，什么事情一定发生，什么事情不可能发生，什么事情可能发生、可能不发生，引导学生把头脑中原有的、朦胧的随机直觉转变为科学的随机思想。2、让学生体会事件发生的可能性大小之分。该阶段主要指导学生
25、学会使用“一定” 、 “不可能” 、 “有可能” 、 “经常” 、“偶尔”等词语来描述事件发生的可能性，不要求学生求出可能性的大小。比如， “从一只装有3个白球和1个黑球的袋子里摸一个球” ，只要求学生能够回答“摸到白球和摸到黑球的可能性一样吗” ， “摸到什么颜色的球可能性大些？”等问题。3、在进一步体会事件发生可能性含义的基础上，能预测一些简单事件发生的可能性。比如“从一只装有3个白球、3个黑球的袋子里摸出一个球，这6个球除了颜色外，完全相同。摸到白球和黑球的可能性各有多大？” 摸到一个白球的可能结果有3个，摸到一个黑球的可能结果也有3个，那么摸到白球和摸到黑球的可能性的大小都是1/2。统
26、计与概率作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，进而解决问题，直接为社会创造价值。学好这部分知识对学生今后的发展具有十分重要的积极作用。初中数学中概率与统计学习的难点及解决策略统计与概率属于“不确定性” 数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。但统计与概率在教学中会产生很多难点，这是由于统计与概率学研究的对象、研究的思路与方式、以及获得的研究结论的性质，都与过去学生所接触的具有“ 确定性 ”的代数、几何数学内容有根本的不同有关，具体从以下三个方面对比：1研究的对象不同由对“ 确定性 ”现象的研究变为
27、对 “不确定性” 现象的研究。对于不确定性的现象本身来讲，又有两种情况：抛掷一枚硬币，我们不能确定是国徽面还是币值面朝上，但可以确定 “非此即彼 ”，不存在 “亦此亦彼 ”的问题，即这是一种结果出现的偶然性（又叫随机性）问题。偶然性是与必然性相对应的。偶然性刻画的是认知对象出现（内外）条件方面的不确定性，而关于认知对象本身在类属和性态方面的定义是完全确定的。统计与概率研究的对象具有不确定性，但不确定性现象并不都是统计与概率研究的对象。比如 “两个人长得像 ”的现象也是不确定的，是更复杂的不确定性，把它称为模糊性。不确定性的随机性与模糊性是有区别的：随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明
28、确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明。统计与概率研究的是前者；后者是模糊数学研究的内容。2研究的思路与方式不同数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且是不完全归纳推理。因此，统计学研究所获得的结果不像以往学生学习所用演绎推理所获得的结果那样“确定无疑 ”。3所获得的结果不同统计学所得到并予以接受的结果主要是局部的、归纳性的；而以往在确定性数学的学习过程中，得到的经常是较为一般性的、演绎的结果。这些差异的存在，都会造成学生在学习统计与概率过程中的困难。下面就具体分析
29、一下这部分的难点及解决策略。一、 统计的难点与解决策略真实的数据能提供科学信息，帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可信。因此， “运用数据进行推断 ”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而“用样本推断总体 ”又是统计最核心的思想方法。那么统计内容学习的难点在哪里呢？（一） 形成“统计观念 ”1难点“观念 ”，不同于计算、画图等简单技能，是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉。具体地说，统计观念可以在以下几个方面得到体现：认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程
30、，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。而在学生对统计有怎样的印象的调查中，获得的信息大致有以下几类：（1）统计就是分类；（2）统计是计算；（3）统计就是做加法；（ 4）统计就是填统计表；（5）统计就是画统计图，或者是根据统计图回答问题等。因而，我们的教学出现了偏差：我们的教学重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核。因此在教学过程中，重点放在有关数据的计算上，学生没有经历统计过程，难以形成正确的统计观念。2解决策略学生的生活经验中，潜在地存在统计意识。我们教学的重点是帮助学生挖掘这种潜意识
31、，注重培养学生有意识的从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。并做好以下几点（1）要让学生经历统计活动的全过程 要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中去：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进。在参与活动中学会统计方法，渗透统计思想。从另一个角度看，数学的发展过程往往是：首先是提出问题，然后是收集与这个问题相关的信息并进行整理，再根据这些信息做出一些判断以解释或解决开始提出的问题。提出问题这点特别重要，要考虑学生的兴趣，使他乐于参与，而且应该有利于教师的学科寓教。我们可以开展丰富多彩的问题调
32、查活动，如调查初中生的最喜爱的课外活动、最爱看的书、最喜欢的人物、最喜欢的科目等等，也可以调查现阶段学生的理想等。此外，调查的问题还可以从报刊杂志、电视广播、网络等媒体寻找素材，但是要提示学生注意数据来源是否可靠、合理？利用合理的调查素材，使学生在运用统计知识的同时，将统计作为了解社会的一个重要手段，提高他们分析问题解决问题的能力，更好的认识现实社会，同时能理智的看待新闻媒介、广告等公布的数据，对现实世界中的许多事情形成自己的正确的看法。因此说，观念的建立需要人们亲身的经历。一定要注意让学生经历活动的全过程。不仅要收集数据、填写统计表，绘制统计图、计算数据，而且感受统计图表的作用，并从中得出相
33、关的结论。（2）使学生在现实情境中体会统计对决策的影响要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要的途径就是要在教学中结合生活实例展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中体会统计对决策的作用。如：统计商店一个月内几种商品的销售情况，并对这个商店的进货提出你的建议；提倡节能节水，请学生们对自家或学校的用水情况进行统计，并提出节水的合理化建议等活动，让学生对身边他们感兴趣的事情展开调查，并能够结合所得数据解释统计结果，根据结果进行简单的判断与预测，清晰的表达自己的观点，能够和同伴交流，在解决问题的过程中，认识统计的作用，逐步树立从统计的角度思考问题。（二） 抽样的合理性1难点统计是以
34、样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。所以样本的抽取是否具有代表性，在统计中至关重要。不同的抽样将产生不同的结论。那么如何抽样更合理，对此学生还存在很多困惑。2解决策略学生通过学习，了解了普查与抽查的区别，明确了抽查的必要性。但是由于我们希望得到的数据能正确反映实际的状况，所以抽出的样本要能代表这个全体。样本抽得好还是不好，是非常重要的问题。比如想了解某地区学生的学习成绩，抽出200 个学生，但他们都是实验班的学生；想了解赤峰市学生的每天的学习时间，找的都是重点校的学生，这样的样本代表性就差。有没有代表性，是样本的一个核心问题。怎么能做到
35、有代表性，那就是要做到随机抽取。随机取样要做得好还是很困难的一件事，它受时间、空间和具体的操作方式方法等诸多因素的影响，这一点我们老师要注意，要让学生了解，但在初中阶段没必要去深究。但是应该让学生在具体情境中了解由于所取的样本不同，将会导致统计结论的差异。（三）统计量含义的理解1难点初中生对统计量的计算不觉得困难，但是如果有较长的时间不使用，大部分学生就会出现遗忘的现象，更甭提灵活运用了，究其原因是对统计量的含义的理解不够到位。这其中表现最突出的就是方差了。例如，某市中考题第 7题： 10 名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高 ( 单位： cm) 如下表所示：队员1 队员2 队员3 队
36、员4 队员5甲队 177 176 175 172 175乙队 170 175 173 174 183题目要求比较两队的平均数及方差。对于平均数，由于学生小学就非常熟悉，而且这是一个生活中常用的概念，所以学生采用估值法或是直接计算等方法都很容易得到相等的结论，而对于方差的比较，有的学生想用方差公式计算，但忘了公式或代入公式后计算有误。实质上，只要明确方差的作用是刻画数据的波动状态，认真分析两组数据，就很容易得到乙队的数据波动较大，所以选 B 选项，根本不需要计算，省时、省力、还不容易出错。2解决策略在统计的教学中，重点不是要求学生背公式，熟练计算，而是要淡化统计量的计算技巧，突出统计量的特征和作
37、用。避免将这部分内容的学习变成单纯的统计量的计算。注意让学生弄清每个统计量的含义及作用。作为概念课的教学， “概念产生背景的合理性和应用性” 是激发学生自主学习新概念的突破口。所以要设置合理的问题情境，使每一个概念来源于生活，又应用于生活，学生才能有比较深刻的体会。二、概率的难点分析及解决策略（一）建立“随机观念 ”1难点随机现象是概率与统计部分重要的研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一个全新的观念。特别是学生缺乏随机现象的丰富体验，往往很难建立这一观念，造成概率学习中的困难。2解决策略对初中生而言，理解不确定的现象、不确定的事件，我们强调实际事件，强调是在相同条件下做重复实验，
38、但是实验的结果却不确定。在实验之前，你是无法预料结果是哪一个，这样的结果，我们叫做随机；这样的实验，我们一般叫做随机实验。关于结果，我们还要作进一步的区分：（1）你说火星上到底有没有人。这也没有任何随机性。要么就是有，要么就是没有。无非是我不知道。（2）一个硬币扔出后，用手盖上，问是正面向上，还是反面向上。由于这个实验已经做完了，它要么就是正面朝上，要么就是反面朝上。但是现在它没有任何随机性，只是用手盖上了你看不见。如果你的眼睛像 X 光一样，你就立刻能知道结果了。所以，像这样客观已经定下来了，只是我还不知道的这样的事情不能叫做随机事件。所以说，不知道的结果和随机的结果是有区别的两个概念。随机
39、事件是研究独特的或者是特殊的一类不确定性现象。它强调的是这类随机事件是可以重复实验的，重复出现的；强调的是结果是可以随机发生的。就象投硬币，或者是掷骰子都是这样的事件。所以使学生对随机现象有初步的理解，必须在大量的实验过程中，才能丰富学生对概率意义的理解，形成随机观念。（二）概率的抽象性1难点与过去的精确数学相比较，概率比较抽象，不像前面学的统计量那样，比如算术平均数，标准差，方差，有对应的公式，代入计算即可。概率是随机事件发生的可能性的度量。像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知。虽然学生具有一些生活经验，这些
40、经验是学生学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的。逐步消除错误的经验，建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。2解决策略对于概率的研究，在教学中多结合实例，让学生亲自经历随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。例如可以讨论下面掷币游戏的公平性：小红、小明在做掷硬币的游戏。任意掷一枚硬币两次，若两次朝上的面相同，则小明获胜；反之，小红获胜。这个游戏公平吗？教学时，可以让学生先猜测这个游戏的公平性，并说明自己的想法。学生在猜测时，可能会存在一个误解，认为小明获胜的机会比小红多。澄清误解的一个重要方法是使学生亲身经历实验，通过实验结果
41、修正自己的想法。同时学生在实验中发现，每次实验的结果事先都是无法预料的，每个小组收集的数据带有不确定性，但大量实验后，四种情况出现的频率却都稳定在同一个数值上。所以，教师要注重创设情境，让学生在解决实际问题的过程中逐步理解概率。（三） 概率与频率的关系1难点教学中，经常听到学生这样叙述：“实验次数越多，用频率估计概率越准确 ”。 这样的叙述严密吗？概率与频率之间到底是什么样的关系？学生理解起来很困难。2解决策略频率和概率是两个不同概念，频率与实验的次数有关 ,而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数，是随机事件自身的一个属性，它与实验次数无关。 虽然在概率计算中，我们一般用事件发生的频率去
42、代替概率，这与实际并不矛盾，就象测定一根木棒的长度一样，人人皆知木棒有其客观存在的“真实长度”，但用量具去测量，总会有误差，测得的数值总是稳定在木棒“真实长度”的附近，而得不到木棒的“真实长度”值。事实上，人们一般就用测量所得的近似值去代替“ 真实长度 ”，只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了。这里木棒的“真实长度 ”与测得数值之间的关系完全同概率与频率之间的关系一样。因此，频率既有随机性（每人每次实验都是变化的） ，又有规律性（也就是稳定性） ，即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就把频率稳定的中心值作为事件发生的概率。于是我们可以说“频率是概率的估计”、 “频率的稳定值就是概率
43、”，但不能说“频率的稳定值是概率估计值 ”。频率的稳定性是概率论的理论基础。对概率与频率关系的认识可以分三个层次进行教学。直观认识：概率描述事件发生的可能性大小，它是事件本身唯一确定的一个常数；频率反映在 n 次实验中，事件发生的频繁程度。一般地，如果一个事件的概率较大，频率也较大，概率较小，频率也较小。反之也对。具体实验：通过大量重复实验，借助图形表示频率的稳定性规律：随着实验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。但应该认识到频率的不确定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。精确刻画：以掷硬币为例，已知 “正面向上 ”的概率为0.5，掷两次硬币，可能频率是0.5 ，
44、用频率估计概率的误差为 0 ；而掷 100 次硬币，也可能频率为0.2，误差为 0.3。显然上面的叙述不严密，太绝对了。比较严格的叙述为：“当实验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小，实验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大 ”。三、对统计与概率教学的建议（一）突出核心思想，把握重点和难点对统计思想和概率意义的理解，是教学的重点，也是难点。不要把统计教学变成单纯的数据处理和计算技巧的讲解；不要把概率教学变成复杂的概率计算的训练；不要纠缠一些无关紧要的细节而干扰主题。现在的情况是，许多学生可以计算概率，但面对需要用概率和统计思想解决实际问题时，显的束手无策。这说明在教学中，过多
45、的关注了知识技能的学习，忽视思想方法的理解。教学中需要教师给学生提供丰富的素材，也可以让学生自己去收集与统计、概率相关的实际问题，然后运用所学的知识解决问题。（二）充分了解学情，明确教学目标由于对于这部分知识，学生具备一些基础，所以教学要针对学生的问题进行设计，而不能仅仅依据自己的主观臆断或凭经验。例如对于三种事件的教学，有的教师将时间均匀分配。这种课堂的效率比较低。关于什么叫必然事件，什么叫不可能事件，对于学生来说，应该是没有太大的困难的。重要的应讲清什么是随机事件。一定是在相同条件下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。可以设计一些问题来让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不
46、能重复实验的情形等等。根据初中学生的能力水平，可以突出统计和概率所研究的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样的特征。应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻画和描述上。教师要明白你想解决学生什么问题，学生哪一点是原来不懂的，这堂课我希望他能够懂些什么，这个目的要明确。这是教学中应遵循的规律。特别是这些新增内容，教师要在前期对学生的掌握情况作充分的调查，以增强教学的针对性。（三）必要的操作实验不可省概率的统计规律性本身就是通过实验发现的，用样本推断总体的方法，可以认为是实验科学。在初中阶段，由于课时以及学生认知水平的限制，我们不可能也没有必要用严密的方法揭示一些
47、稳定性规律，评价统计方法的优劣。设计恰当的实验，直观认识随机性规律、树立概率观点、理解统计思想是必要的，也是可行的。在一些具体问题中，可以通过实验纠正对概率判断上的错误观点，统一认识，消除争议。（四）重视反例和极端特例的作用在揭示数学概念的本质、探索数学定理成立的条件时，反例具有重要的作用。同样，在统计与概率的教学中，一些极端的特例有时会发挥意想不到的作用。例 从包含 100 个学生的总体中，随机抽取 10 名学生作为样本，估计全体学生的平均身高。分别采用不放回抽样和有放回抽样，哪种抽样方式下估计的更准确些？大多数人认为有放回抽样下估计的更准确，实际上恰恰相反。要想说服他们，我们不可能用数理统
48、计的一套理论作出判断。可以借助合适的例子加以说明。 以下两个极端特例都能说明问题。例 1 ：采用有放回抽样，有可能同一个体被重复抽到，也有可能 10 次都抽到同一名学生，此时样本的代表性非常差，估计很难准确。而不放回抽样不会发生这样的情况。例 2：假定样本容量为 100，采用不放回抽样，样本和总体完全相同，估计结果完全确定，没有任何误差。而采用放回抽样，很难遇到样本和总体完全相同的情况。此外，在教学中，可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币实验、布丰（ Buffon ）投针问题与几何概率等历史事实，统计与概率在密码学等方面的应用，这样可以使学生对人类把握随机现象的历程有一个了解，对于学生进一步学习与发展有一定的激励作用。
