1、2.6 带余除法2.6.1 相关概念在整数范围内，整数 a 除以整数 b（b0） ，若有 abqr ， （即 a=bq+r） ，0r b 。当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除；当 r0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的商。2.6.2 余数的性质被除数=除数商余数，除数=（被除数余数）商，商=（被除数余数）除数。余数小于除数。2.6.3 同余定理（1）如果 a，b 除以 c 的余数相同，就称 a、b 对于除数 c 来说是同余的，且有 a 与 b的差能被 c 整除。 （a 、b、c 均为正整数）例如， 17 与 11 除以 3 的余数
2、都是 2，所以 17-11能被 3 整除。（2）a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a，b 分别除以 c 的余数之和（或这个和除以 c 的余数） 。例如，23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以（23+16）除以 5 的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以 c 的余数。例如，23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以（23+19）除以 5 的余数等于（3+4）除以 5 的余数。（3）a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a，b 分别除以 c 的余数之积（或这个积除以 c的余数） 。例如，23，16 除以 5 的余数分别是 3
3、和 1，所以（2316）除以 5 的余数等于31=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以 c 的余数。例如，23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以（2319）除以 5 的余数等于（34）除以 5 的余数。性质（2） （3）都可以推广到多个自然数的情形。2.6.4 典型例题例 1 5122 除以一个两位数得到的余数是 66，求这个两位数。分析与解：由性质（2）知，除数商=被除数- 余数。5122-66=5056，5056 应是除数的整数倍。将 5056 分解质因数，得到5056=2679。由性质（1）知，除数应大于 66，再由除数是两位数，得到除数在 6799
4、之间，符合题意的 5056 的约数只有 79，所以这个两位数是 79。例 2 被除数、除数、商与余数之和是 2143，已知商是 33，余数是 52，求被除数和除数。解：因为被除数=除数 商+余数 =除数33+52，被除数=2143-除数-商- 余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以 除数33+52=2058-除数，所以 除数=（2058-52 ）34=59 ，被除数=2058-59=1999。例 3 甲、乙两数的和是 1088，甲数除以乙数商 11 余 32，求甲、乙两数。解：因为 甲=乙11+32，所以 甲+乙=乙11+32+乙= 乙12+32=1088，所以 乙=（1088
5、-32 ）12=88，甲=1088-乙=1000。例 4 有一个整数，用它去除 70，110，160 得到的三个余数之和是 50。求这个数。分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为 503=162，所以三个余数中至少有一个大于 16，推知除数大于 16。由三个余数之和是 50 知，除数不应大于 70，所以除数在 1770 之间。由题意知（7+110+160）-50=290 应能被这个数整除。将 290 分解质因数，得到290=2529，290 在 1770 之间的约数有 29 和 58。因为 11058=15250，所以 58 不合题意。所求整数是 29。例 5 求 47829635
6、1 除以 17 的余数。分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5） ，可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数。478，296，351 除以 17 的余数分别为 2，7 和 11， （2711）17=91 。所求余数是 1。例 6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘 36 人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的 11 人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍 36 张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余
7、11 人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36 余 11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余 36-11=25（人） ，即乙代表团的人数（简称乙数）除以 36 余 25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数乙数”张照片，因为每个胶卷拍 36 张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数 乙数” 除以 36 的余数。因为甲数除以 36 余 11，乙数除以 36 余 25，所以“甲数乙数”除以 36 的余数等于1125 除以 36 的余数。 （1125）36=723 ，即最后一个胶卷拍了 23 张，还可拍 36-23=13（张） 。例 7 9437569
8、与 8057127 的乘积被 9 除，余数是_。讲析：一个数被 9 除的余数与这个数各位数字之和被 9 除的余数是一样的。9437569 各位数字之和除以 9 余 7；8057127 各位数字之和除以 9 余 3。73=21，219=2 3。所以，9437569 与 8057127 的乘积被 9 除，余数是 3。例 8 在 1、2、3、4、1993、1994 这 1994 个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被 26 整除，那么这样的数最多能选出_个。讲析：可将 1、2、3、1994 这 1994 个数，分别除以 26。然后，按所得的余数分类。要使两个数的和是 26 的倍数，则必
9、须使这两个数分别除以 26 以后，所得的余数之和等于 26。但本题要求的是任意两个数的和都是 26 的倍数，故 26 的倍数符合要求。这样的数有199426=76（个）余 18（个） 。但被 26 除余 13 的数，每两个数的和也能被 26 整除，而余数为 13 的数共有 77 个。所以，最多能选出 77 个。例 9 一个整数，除 300、262、205，得到相同的余数（余数不为 0） 。这个整数是_。讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300262）和（262205）的最大公约数。不难求出它们的最大公约数为 19，即这
10、个整数是 19。例 10 小张在计算有余数的除法时，把被除数 113 错写成 131，结果商比原来多 3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？讲析：被除数增加了 131-113=18，余数相同，但结果的商是 3，所以，除数应该是183=6。又因为 1136 的余数是 5，所以该题的余数也是 5。例 11 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最
11、初至少有_个桃子。讲析：因为第一只猴子把桃 5 等分后，还余 1 个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的 4 等份再分成 5 等份，且每次余 1 个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4 个桃子，则连续五次可以分成 5 等份了。加进 4 个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需 5 等份后，拿走一份。因为 4 与 5 互质，每次的 4 份能分成 5 等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成 5 等份。这样，这堆桃子就能连续五次被 5 整除了。所以，这堆桃子至少有55555-4=3121（个） 。例 12 在 1、2、3、30 这 30 个自然数中，最多能取出_个数，使取出的
12、这些数中，任意两个不同的数的和都不是 7 的倍数。讲析：我们可将 1 到 30 这 30 个自然数分别除以 7，然后按余数分类。余数是 0：7、14、21、28余数是 1：1、8、15、22、29余数是 2：2、9、16、23、30余数是 3：3、10、17、24余数是 4：4、11、18、25余数是 5：5、12、19、26余数是 6：6、13、20、27要使两数之和不是 7 的倍数，必须使这两个数分别除以 7 所得的余数之和不等于 7。所以，可以取余数是 1、2、3 的数，不取余数是 4、5、6 的数。而余数为 0 的数只取一个。故最多可以取 15 个数。例 13 一个数除以 3 余 2，
13、除以 5 余 3，除以 7 余 2。求满足条件的最小自然数。分析与解：这道例题就是孙子算经中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。满足“除以 3 余 2”的数，有 2，5，8，11，14，17，在上面的数中再找满足“除以 5 余 3”的数，可以找到 8，8 是同时满足“除以 3 余 2”、“除以 5 余 3”两个条件的数，容易知道，8 再加上 3 与 5 的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有8，23，38，53，68，在上面的数中再找满足“除以 7 余 2”的数，可
14、以找到 23，23 是同时满足“除以 3 余 2”、“除以 5 余 3”、 “除以 7 余 2”三个条件的数。23 再加上或减去 3，5，7 的公倍数，仍然满足这三个条件，3，5，7=105 ，因为 23105，所以满足这三个条件的最小自然数是 23。在例 1 中，若找到的数大于3，5，7 ，则应当用找到的数减去 3，5，7的倍数，使得差小于3 ，5，7，这个差即为所求的最小自然数。例 14 求满足除以 5 余 1，除以 7 余 3，除以 8 余 5 的最小的自然数。分析与解：与例 1 类似，先求出满足“除以 5 余 1”的数，有6，11，16，21，26，31，36，在上面的数中，再找满足“
15、除以 7 余 3”的数，可以找到 31。同时满足“除以 5 余 1”、 “除以 7 余 3”的数，彼此之间相差 57=35 的倍数，有 31，66 ，101，136，171，206，在上面的数中，再找满足“除以 8 余 5”的数，可以找到 101。因为 1015 ，7，8=280，所以所求的最小自然数是 101。在例 1、例 2 中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。例 15 在 10000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余
16、3，除以 11 余 4 的数有几个？解：满足“除以 3 余 2”的数有 5，8，11，14，17，20，23，再满足“除以 7 余 3”的数有 17，38，59，80，101，再满足“除以 11 余 4”的数有 59。因为阳3，7，11=231，所以符合题意的数是以 59 为首项，公差是 231 的等差数列。（10000-59）231=438，所以在 10000 以内符合题意的数共有 44 个。例 16 求满足除以 6 余 3，除以 8 余 5，除以 9 余 6 的最小自然数。分析与解：如果给所求的自然数加 3，所得数能同时被 6，8，9 整除，所以这个自然数是6，8，9-3=72-3=69。
17、带余除法（五年级奥数题及答案）来源：奥数网整理 文章作者： 2010-08-17 10:09:26标签：五年级 奥数答案带余除法 69、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，即 15 和 19 被 2 除余数相同（余数都是 1）。但是 19-15 能被 2 整除.由此我们可以得到带余除法69、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，即 15 和 19 被 2 除余数相同（余数都是 1）。但是 19-15 能被 2 整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a 和 b，均被自然数 m 除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被 m 整除。反之，如果两个整数之差恰被 m 整除，那么这两个整数被 m 除的余数一定相同。解答：三个整数被 N 除余数相同，N（90-69），即 N21，N（125-90），即 N35，N 是 21 和 35 的公约数。要求 N 的最大值，N 是 21 和 35 的最大公约数。21 和 35 的最大公约数是 7，N 最大是 7。
