一题多解之导数专题分享.pdf

1、来自高中数学解题研究会 339444963 1 高中数学解题研究会是高考类最大的数学群 之一 ，群里名师云集，有全国各地教研员，优秀教师，高考命题专家和各大市的命题专家。希望有研究高考、解题、命题、教学等兴趣的高中数学教师和大学生加盟。群内有教辅资料编写，每日一题，每周一专题分享，群题记录等解题教学研究活动，学术研究氛围浓厚。 现将群内 一 部分 专题分享给大家， 请批评指正 。 本专题内容或是群友原创，或是群友搜集整理的，请勿做商业应用，否则会追究责任 . 第二周 一题多解之 导数专题分享 题目 1： 设函数 ,2)( xexf x 若 k 为整数，且当 0x 时， 01)()( xxfkx

2、 ，求k 的最大值 . 解法一 ： 1,xf x e故 1 1 0 ,1xxxex k f x x k e 设 221 ,1 1xxxx xe e xxeh x h xe e 又 2xg x e x 在 0, 上单调递增， 21 3 0 , 2 4 0 ,g e g e 故 gx在 1,2 上存在唯一零点 0,x 即 0 0 20xex 0 0 2,xex 所以 hx在 00,x 上单调递增，在 0,x 上单调递增，即 0minh x h x 0000002111 2 1xx xxxeex 0 1 2,3 ,x 则 m ax m in 2,k h x此处 x 表示取整函数，故 k 的最大值为

3、2 解法二 ： 1 0x k f x x g ( ) 1 1 0xx x k e x g ( ) 1 xx x k e ， g( ) 0x得 1xk 10k ， g( ) 0x ， g( ) g(0) 1 0x 1k ，当 01xk 时， g( ) 0x ， g( )x ； 当 1xk时， g( ) 0x ， g( )x . 1g ( ) g ( 1 ) 1kx k k e . 令 11 ( 1)kh k e k ， 110kh k e ， , 1 1h k h k h ，又 22 3 0 , 3 4 0e h e ， 2k 供题人：【高中数学解题研究会 339444963 河南郑州高峰】 来

4、自高中数学解题研究会 339444963 2 题目 2： 设函数 21xf x e x a x a ，其中 1a ，若存在唯一的整数 0x 使得 0 0fx ，则 a 的取值范围是 _. 解法一： 【导数、极限思想】 当 0a 时， 2 1xf x e x a ，当 12x 时， 0fx ， 且 x 时， 2 1 1 0xf x e x a x ，不符合题意；（如下图左） 当 01a时，令 0ft ，得 21ta e t， 且 00 2 0 1 0 1 0f e a a a ， 11 2 1 1 1 0f e a a e ，故在区间 0,1 之间，一定有 0fx ， 欲使 “存在唯一的整数 0

5、x 使得 0 0fx ”成立，只需 10f ，即 1 331 2 1 2 0 2f e a a a aee ，（如上图右） 综上所述，所求实数 a 的取值范围是 3,12e解法二 ：【分参、导数思想】由 2 1 0xf x e x a x a ，得 21xe x ax a ， 此不等式可以看作是曲线 21xg x e x在过点 (1,0) ，且斜率为的 a 直线 ( 1)y a x下方的部分在 x 轴上的投影只包含唯一整数 . ( ) (2 1)xg x e x，于是 gx在 12x 处取得极小值，且极小值为 2e， 如图所示 结合图象可 知，符合题意的唯一整数为 0. 设 ( 1, ( 1)

6、, (0 , 0 )B g C g ，则 a 的取值 范围为从直线 AB 的斜率到直线 AC 的斜率的左闭右开区间，即实数 a 的取值范围是3 1)2e， . 供题人：【高中数学解题研究会 339444963 湖北鹤峰柳金爱】 来自高中数学解题研究会 339444963 3 题 目 3： 将边长为 a m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2(S 梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积,则 S 的最小值是 _. 分析： 由题意，设出小正方形的边长，得出 S 关于 ,ax的关系式，利用关系式求最小值即可 . 设 剪成的 小正 三角形的 边长为 x ，则 22(

7、3 ) 4 ( 3 ) (0 )1 3 3( ) ( )22a x a xS x aa x a xx a a x . 解法一： 【 我们可以利用导数求函数最小值 】 2224 (3 )() 3 axSx ax ， 2 2 22 2 24 ( 2 6 ) ( ) ( 3 ) ( 2 )() ()3 x a a x a x xSx ax 2 2 22 2 2 2 2 24 ( 2 6 ) ( ) ( 3 ) ( 2 ) 4 2 ( 3 ) ( 3 )( ) ( )33x a a x a x x x a x aa x a x ( ) 0 , 0 , 3aS x x a x ， 当 (0, 3ax 时

8、， ( ) 0,Sx 递减； 当 , )3axa 时， ( ) 0,Sx 递增； 故当 3ax 时， S 的最小值是 3233 . 解法二 ：【 利用函数的方法求最小值 】 令 1 1 13 , (2 , 3 ) , ( , )32a x t t a a t a a ，则： 2224 4 1866833 1tStt tt 故当 13,83aaxt 时， S 的最小值是 3233 . 解法三 ：【 利用双换元法求最小值 】 令 1, 0a x t a x s ，得 2t s a ,32a x t s 则 22 2224 4 3 2 3333tstsSt s t s 故当 42 3t s a ，即

9、 3ax 时， S 的最小值是 3233 . 供题人：【高中数学解题研究会 339444963 湖北鹤峰柳金爱】 来自高中数学解题研究会 339444963 4 题目 4： 已知函数 ( ) ( )xf x e m x m R . （ 1） 求 ()fx的单调区间； （ 2） 若 1m ，且当 0x 时， ( ) ( ) 1t x f x x 恒成立，其中 ()fx 为函数 ()fx的导函数，求整数 t 的取值范围 . 解法一： 【分离常数法】 （ 1）易知 ( ) exf x m ，则当 0m 时， ( ) 0fx 恒成立， ()fx在 R 上单调递增；当 0m时，由 ( ) e 0xf x

10、 m 知 lnxm ，所以 ()fx在 (ln , )m 上单调递增； （ 2） 当 1m 时， () xf x e x，则 ( ) e 1xfx ，由 0x 知 1xe ，因此原不等式等价于 11xxtxe 恒成立，即min1()1xxtxe .令 1() 1xxg x xe ，则2( 2 )() ( 1)xxxe e xgx e . 令 ( ) 2xh x e x ，则 ( ) 1 0xh x e ，故 ()hx在 (0, ) 上单调递增，而2(1 ) e 3 0 , h ( 2 0 4 0he ，所以存在 0 (1,2)x ，使得 0( ) 0hx ，所以当 00 xx时， ( ) 0h

11、x ，当 0xx 时， ( ) 0hx ，因此 ()gx在 0(0, )x 单调递减，在 0( , )x 上单 调递增，故00m in 0 01( ) ( ) 1xxg x g x xe ，由 0( )hx 知 0 0 20xex ，即 0 0 2xex，所以000m i n 0 0 0 0011( ) ( ) 1xxxg x g x x x xex ，由 0 (1,2)x 知 min( ) (2,3)gx ，综上可知 2t ，故 max 2t . 解法二： 【先猜后证法】 （ 1）同解法一的解法； （ 2）当 1m 时， () xf x e x，则 ( ) e 1xfx ，原不等式等价于 (

12、 )( 1) 1xt x e x .当 1x 时， ( 1)( 1) 2te ，即 2 11t e ，而 2 121e ，所以 2t ，接下来证明 2t符合题意 . 只需证明 1 ( 2 ) ( 1 ) 0 ( 0 )xx x e x ，等价于对任意 0x ， ( 2) 3 0xex ，令来自高中数学解题研究会 339444963 5 ( ) ( 2) 3xh x e x ，则 ( ) ( 1)xh x e x ，因此 ()hx在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，故 m in( ) (1) 3 0h x h e ，所以 max 2t . 供题人：【高中数学解题研究会 339

13、444963 辽宁朝阳闫国发】 题目 5： （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三模拟考试理科数学第 21 题 已知函数 1( ) ln(1 )xf x xax 。 （ 1）设 a=1，讨论 ()fx的单调性； （ 2）若对任意 (0,1)x ， ( ) 2fx ，求实数 a 的取值范围。 解： （ ） 1a ， xxxxf ln11)( ，定义域为 ),1()1,0( 222 )1(1ln2)1(1)1(ln2)(x xxxxxxxxxf 设 xxxxg 21ln2)( ，则22)1()( xxxg 因为 0x ， 0)( xg ，所以 )(xg 在 ),0( 上是减函数，又 0)

14、1( g ，于是 )1,0(x ， 0)( xg ， 0)( xf ； ),1( x ， 0)( xg ， 0)( xf 所以 )(xf 的增区间为 )1,0( ，减区间为 ),1( （ ） 解法一： 【分类讨论】 由已知 0a ，因为 )1,0(x ，所以 0ln11 xxx （ 1）当 0a 时， 1( ) ln 0(1 )xf x xax不合题意 （ 2）当 0a 时， )1,0(x ，由 2)( xf ，可得 01 )1(2ln x xax 设 x xaxxh 1 )1(2ln)( ，则 )1,0(x ， 0)( xh 22)1( 1)42()( xx xaxxh 设 1)42()(

15、2 xaxxm ，方程 0)( xm 的判别式 )1(16 aa 来自高中数学解题研究会 339444963 6 若 1,0(a ， 0 ， 0)( xm ， 0)( xh ， )(xh 在 )1,0( 上是增函数， 又 0)1( h ，所以 )1,0(x ， 0)( xh 若 ),1( a ， 0 ， 01)0( m ， 0)1(4)1( am ，所以存在 )1,0(0x ，使得 0)( 0 xm ， 对任意 )1,( 0xx ， 0)( xm ， 0)( xh ， )(xh 在 )1,(0x 上是减函数，又 0)1( h ， 所以 )1,( 0xx ， 0)( xh 不合题意 综上，实数

16、a 的取值范围是 1,0( （ ） 解法二： 【分离参数 +洛必达法则】 对任意 (0,1)x ， ( ) 2fx 成立，即 1 ln 2(1 )x xax 成立， 因为 1 ln 01 x xx ，所以必须 0a ， 因此 1 ln 2(1 )x xax 成立，等价于 (1 )ln2 1 xxa x 成立 由洛必达法则可求得111lnlim lim 1xxx xx ， 从而1 (1 ) lnlim 21x xxx ， 由 (1)知， 1 ln1 x xx 在 )1,0( 上为增函数， 所以，对任意 (0,1)x ， (1 )ln2 1 xxa x 成立，只需 22a ，即 1a ， 又 0a

17、 ，所以 01a 供题人：【高中数学解题研究会 339444963 辽宁大连陈义】 来自高中数学解题研究会 339444963 7 题目 6： 2014年高考全国新课标 卷文数第 21题 已知函数 32( ) 3 2f x x x a x .曲线 ()y f x 在点 (0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 -2. (I) 求 a ； (II)证明：当 1k 时，曲线 ()y f x 与直线 2y kx只有一个交点 . 解法一： 【官方公布答案】 (I) 2( ) 3 6f x x x a ， (0)fa 曲线 ()y f x 在点 (0,2)处的切线方程为 2y ax 由题设得 2 2a

18、 ，所以 1a (II)由 (I)知， 32( ) 3 2f x x x x 设 32( ) ( ) 2 3 (1 ) 4g x f x k x x x k x 由题设知 10k 当 0x 时， 2( ) 3 6 1 0g x x x k ， ()gx单调递增， ( 1) 1 0gk ，(0) 4g ，所以 ( ) 0gx 在 ( ,0 有唯一实根 当 0x 时，令 32( ) 3 4h x x x ，则 ( ) ( ) (1 ) ( )g x h x k x h x 2( ) 3 6 3 ( 2 )h x x x x x ， ()hx 在 (0,2) 单调递减，在 (2, ) 单调递增，所以

19、 ( ) ( ) (2) 0g x h x h 所以 ( ) 0gx 在 (0, ) 没有实根 综上， ( ) 0gx 在 R 有唯一实根，即曲线 ()y f x 与直线 2y kx只有一个交点 . 解法二： (I) 1a （具体过程略） (II) 由（ I）知， 1a ，故 32( ) 3 2f x x x x 记 32( ) ( ) ( 2 ) 3 ( 1 ) 4g x f x k x x x k x ， 2( ) 3 6 (1 )xg x xk 3 6 1 2 (1 ) 2 4 1 2kk 来自高中数学解题研究会 339444963 8 （ 1） 当 20 k 即 时， 有 2 6( 0

20、) )3 (1g x kxx ，从而 ()gx在 R 上单调递增， 又 ( 1) 1 0gk ， (0) 4 0g ， 所以 ( ) 0gx 在 R 上 有唯一实根 （ 2） 当 210 k 即 时 ，由1 6( 3) 3 +30 kg x x ，2 6+3 3 3kx 由 21k ，可得 101x， 212x 易知 ()gx在 ()gx在区间 12( ) (, ,)xx和 上单调递增，在区间 12( , )xx 上单调递减 由 2222 6 (1 )3 0( xxg x k ， 可得 2 22163x xk ， 所以 3232 2 2 22 2 2 2 23222 2 22222( ) 3

21、(1 ) 43 (6 3 ) 42 3 4( 2 ) ( 2 2 )g x x x k xx x x x xxxx x x 由 212x ，可得 2( ) 0gx 又 ( 1) 1 0gk ， (0) 4 0g ， 由 ()gx的 图象易得 ( ) 0gx 在 R 上 有唯一实根 综上，当 1k 时， ( ) 0gx 在 R 有唯一实根，即曲线 ()y f x 与直线 2y kx只有一个交点 . 解法三： (I) 1a （具体过程略） (II)令 32( ) 2 3 (1 ) 4 0f x k x x x k x ，则 2 43 1 ( 0 )k x x xx 令 2 4( ) 3 1 ( 0

22、 )g x x x xx ，然后求导研究（具体过程略）， 来自高中数学解题研究会 339444963 9 定性画出 ()gx的图象，数形结合，就可求得 当 1k 时，曲线 ()y f x 与直线 2y kx只有一个交点 . 解法四： 【 只适用于选择题和解答题 】 (I) 1a （具体过程略） (II)易知直线 2y kx恒过点 (0, 2) ， 过点 (0, 2) 可求得函数 32( ) 3 2f x x x x 图象的切线的斜率为 1（具体过程略），数形结合，就可知 当 1k 时，曲线 ()y f x 与直线 2y kx只有一个交点 . 供题人：【高中数学解题研究会 339444963 辽

23、宁大连陈义】 来自高中数学解题研究会 339444963 10 题目 7：（ 天津卷理科第 14 题 ） 已知函数 2( ) 3f x x x， xR ,若方程 ( ) 1 0f x a x 恰有四个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 。 解法一： 21 0 3 = 1f x a x x x a x ，则 0a .在同一坐标系下作出函数2 3y x x与 1y a x的图像。 当 ( 1)y a x 与 2 3y x x 相切时（如图 1），由判别式可得 1a ，此时方程 10f x a x 恰有 3 个互异的实数根，则 01a 时有 4 个互异的实数根。 当直线 ( 1)y a x与函数

24、 2 3y x x 相切时（如图 2） ，同理可得 9a ，此时方程 10f x a x 恰有 3 个互异的实数根，则 9a 时有 4 个互异的实数根。 综上可知， 01a 或 9a . 解法二： 显然 0a ， 1x ，所以 2 310 1xxf x a x a x .令 1tx，则 4 5att .因为 4 ( , 4 4 , )t t ，所以 4 5 ( ,1 9 , )t t 。设 4( ) 5ttt ，作出函数图像（如图 3）。 方程 10f x a x 恰有 4 个互异的实数根， 等价于函数 4( ) 5ttt 的图像与直线 ya 恰有 4 个互异的交点。故 01a 或 9a 。

25、供题人：（高中数学解题研究会 339444963 四川泸州刁如金） xy3 1O图 1 xy13 O图 2 图 3 来自高中数学解题研究会 339444963 11 题目 8:把一个周长为 12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面 周长与高的比为 _ 解法一 :设圆柱高为 x，底面半径为 r ，则 62 xr ，圆柱体积 3226 1 2 3 6( ) (0 6 )24x x x xV x x 23 2 4 3 6 3 ( 2 ) ( 8 ) 44x x x xV 当 2x 时， V 最大此时底面周长为 64x ,所求比为 2 1. 解法二 : 2236 (6 ) 1

26、1 6 6 2 8( ) (6 ) (6 ) ( 2 ) ( )2 4 8 8 3x x x x x xV x x x x 当 62xx 即 2x 时取最大值 . 此时底面周长为 64x ,所求比为 2 1. 题目 9: (2012辽宁 )设 ( ) ln 1f x x x ，证明： (1)当 1x 时 , 3( ) ( 1)2f x x； (2)当 13x时， 9( 1)() 5xfx x . (1)证明 方法一 记 3( ) ln 1 ( 1 )2g x x x x ， 则当 1x 时 , 1 1 3( ) 022gx x x 又 (1) 0g ，所以有 ( ) 0gx ，即 3( ) (

27、 1)2f x x 方法二 当 1x 时， 21xx，故 122xx . 令 ( ) ln 1h x x x ，则 (1) 0h ， 1( ) 1 0hx x ， 故 ( ) 0hx ，即 ln 1xx. 由 得，当 1x 时， 3( ) ( 1)2f x x (2)证明 方法一 :记 9 ( 1)( ) ( ) 5xk x f x x ， 由 (1)得 来自高中数学解题研究会 339444963 12 221 1 5 4 2 5 4( ) ( 5 ) 2 ( 5 )2 xkx x x x xx 2222 5 4 ( 2 ) ( 5 ) 2 1 64 ( 5 ) 4 ( 5 )x x x xx

28、 x x x 令 2( ) ( 2 ) ( 5 ) 2 1 6G x x x x ，则当 13x时， ( ) ( 5 ) ( 2 7 ) 2 1 6 0G x x x ， 因此 ()Gx在 (1,3) 内是减函数 又由 (1) 0G ，得 ( ) 0Gx ，所以 ( ) 0kx . 因此 ()kx在 (1,3) 内是减函数 又 (1) 0k ，所以 ( ) 0kx . 于是当 13x时， 9( 1)() 5xfx x 方法二 :记 ( ) ( 5 ) ( ) 9 ( 1)h x x f x x ， 则当 13x时， 由 (1)得 ( ) ( ) ( ) ( 5 ) 9h x f x f x x

29、 3 1 1( 1 ) ( 5 ) ( ) 92 2xx x x 1 3 ( 1 ) ( 5 ) ( 2 ) 1 8 2 x x x x xx 11 3 ( 1 ) ( 5 ) ( 2 ) 1 8 2 2 2xx x x xx 21 ( 7 3 2 2 5 ) 04 xxx . 因此 ()hx 在 (1,3) 内单调递减 又 (1) 0h ，所以 ( ) 0hx ，即 9( 1)() 5xfx x . 供题人：【高中数学解题研究会 339444963 山西吕梁李有贵】 来自高中数学解题研究会 339444963 13 题目 10： 已知函数 ( ) sin 2 co s 2f x x a x的

30、图像关于 8x 对称，则实数 a 的值为 . 解法一： 【导数的应 用】 ( ) 2 c o s 2 2 s in 2f x x a x，由于三角函数图像对称轴处恰为极值点处，有 22( ) 2 ( ) 08 2 2fa ，所以 1a . 解法二： 【定义法】 由题意知 ( ) ( )88f x f x 对 xR 恒成立，化简得 (1 )sin 2 0ax，又 sin2 x 不恒为 0，所以 1a . 解法三： 【特殊值法】 只需在 8x 两边取 (0) ( )4ff，即可 供题人：【高中数学解题研究会 339444963 浙江萧山黄贤录】 题目 11： 设函数 ()fx的导函数为 ()fx

31、，对任意 xR 都有 ( ) ( )f x f x 成立， 则 A . 3 ln 2 2 ln 3ff B . 3 ln 2 2 ln 3ff C. 3 ln 2 2 ln 3 D . 3 ln2f 与 2 ln3f 的大小不确定 解法一： 设 ()()xfxgx e，则 2( ) ( ) ( ) ( )( ) 0xxxxf x e f x e f x f xgxee ， 即 ()gx在 R 上是减函数， (ln 2) g(ln3)g ，即ln 2 ln 3(ln 2) (ln 3)ffee， 即 (ln 2) (ln 3)23ff ， 3 ln 2 2 ln 3ff ，选 A . 解法二：

32、设 ( ) 1xf x e，则对任意 xR 都有 ( ) ( )f x f x 成立 ,有 l n 23 ( l n 2 ) 3 1 3 2 1 9fe ， ln 32 ( l n 3 ) 2 1 2 3 1 8fe ， 3 ln 2 2 ln 3ff ，选 A . 点评： 本题通过导数运算法则的逆用，构造函数解决与导数有关的不等式 . 延伸拓展： 常见的含有 xe 的函数的逆向构造类型： （ 1） 若 ( ) ( ) 0f x f x ，则构造函数 ( ) ( )xh x e f x ； （ 2） 若 ( ) ( ) 0f x f x ，则构造函数 ()()xfxhx e. 来自高中数学解题

33、研究会 339444963 14 题目 12： 已知函数 ln() 1xxfx x 和直 线 : ( 1)l y m x （ ）当曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线与直线 l 垂直时，求原点 O 到直线 l 的距离； （ ）若对于任意的 1, ), ( )x f x ( 1)mx 恒成立，求 m 的取值范围； （ ）求证： 421ln 2 1 . ( )41niinni N 解： （ ）21 ln() ( 1)xxfx x 1(1) 2f ，于是 2m ， 直线 l 的方程为 2 2 0xy ,原点 O 到直线 l 的距离为 255 （ ） 解法一： ln() 1xxfx

34、x ， 1, )x ， ()fx ( 1)mx ，即 lnx 1()mxx ， 设 1( ) ln ( )g x x m x x ，即 1, ), ( )x g x 0 ， 22211( ) (1 ) m x x mg x mx x x . 若 m 0 ，存在 x 使 ( ) 0gx， ()gx (1) 0g ，这与题设 ()gx0 矛盾 若 0m ，方程 2 0mx x m 的判别式 214m ， 当 0 ，即 m 12 时， ()gx 0 ， ()gx在 1, 上单调递减， ()gx (1) 0g ，即不等式成立 当 10 2m时，方程 2 0mx x m ，设两根为 12,xx（ 12x

35、x ）， 则 21 1 1 4 0 ,12 mx m， 22 1 1 4 1,2 mx m ， 当 21,xx ， ( ) 0gx， ()gx单调递增， ( ) (1) 0g x g与题设矛盾， 综上所述， m 的取值范围是 m 12 . 【点评】 解法一通过构造 “差函数 ”，对参数 m 分类讨论求解函数最值 解法二： 对于任意的 1, ), ( ) ( 1)x f x m x 恒成立， 即任意的 1, ),x 不等式 ln1xxx ( 1)mx 恒成立 . 当 1x 时，原不等式即 0 0 ，显然成立，所以 mR ； 当 1x 时，原不等式即 m 2ln1xxx，令 ()gx 2ln1xx

36、x（ 1)x ， 22221 1 ln()1x x xgxx （ 1x ）， 再令 22( ) 1 1 lnh x x x x ( 1)x ， 221 2 ln() x x xhx x （ 1x ），令 22( ) 1 2 lnk x x x x （ 1 ）， 来自高中数学解题研究会 339444963 15 ( ) 1 4 lnk x x x （ 1x ），显然 ( ) 1 4 ln 0k x x x 在 1, 恒成立，从而 ()kx在 1, 单调递减，所以 ( ) (1) 0k x k， 所以 ()hx 0 在 1, 恒成立，从而 ()hx 在 1, 单调递减，所以( ) (1) 0h x

37、 h，所以 g()x 0 在 1, 恒成立，从而 g()x 在 1, 单调递减， 而21 lnlim 1x xxx 21 lnlim 1x xxx 1 1 ln 1lim 22x xx ，由函数的连续性，所以 m 12 . 综合 ， m 的取值范围是 m 12 . 【点评】 解法二通过 “分离参数 ”，从而求解 ()gx的最大值使问题得以解决 . 解法三： 首先证明 lnx 1x （ x 1），设 ( ) ln 1g x x x （ x 1）， 11( ) 1 xgx xx 0 在 1, 恒成立，所以 ()gx在 1, 是减函数， 从而 ()gx (1) 0g 在 1, 恒成立，所以 lnx

38、1x （ x 1）成立 且 lnx 0 （ x 1），故而任意的 1, ),x 不等式 ln1xxx ( 1)mx 恒成立 . 只要 m 1xx （ x 1）即可，令 () 1xhx x （ x 1）， 由于 1( ) 1 1hx x （ x 1），显然 ()hx 在 1, 是减函数，所以 ()hx 1(1) 2h ， 故而 m 的取值范围是 m 12 . 【点评】 解法三通过利用 “对数经典不等式 ”，从而使问题的解决得以简化 . （ ）由（ ）知，当 1x 时， 12m 时， 11ln ( )2xxx成立 不妨令 21,( )kxkk N， 所以22 1 1 2 1 2 1 4()2 1

39、2 2 1 2 1 4 1k k k kk k k k ， 214 l n (2 1 ) l n (2 1 ) , ( )4 4 1kk k kk N22211( l n 3 l n 1 )4 4 1 112( l n 5 l n 3 )4 4 2 11 ( l n ( 2 1 ) l n ( 2 1 ) )4 4 1nnnn 累加可得 211 ln (2 1)4 4 1niin i ()n N 421ln 2 1 41niin i ()n N 【点评】 第三问利用第二问结论并特殊赋值，从而证明不等式 . 供题人：【高中数学解题研究会 339444963 陕西西安席成】 来自高中数学解题研究会

40、 339444963 16 1Cln()xgxx1e图（ 2 ）1yay=x( ) lnf x x x1exyO1e1Pe图（ 1）题目 13： 若过点 ,Paa 与曲线 lnf x x x 相切的直线有两条，则实数 a 的取值范围是( ) A. ,e B. e, C. 10,eD. 1, 【解 1】 求导易得函数 lny x x 的图像，点 ,Paa 在直线 yx 上，由图（ 1）知， 当 0a 时，存在一条切线，排除 A；当 0 ae时，不可能存在切线， 排除 C、 D；当 ae 时，存在两条切线，故选 B 【解 2】 设切点为 , lnQ t t t ，则切线斜率 k f t =1 lnt ，所以切线方程为 ln 1 lny t t t x t 把 ,Paa 代入得 ln 1 lna t t t a t ， 整理得 lna t t 显然 0a ，所以 1 lntat 设 lntgt t ， 则问题转化为直线 1y a 与函数 gt图象有两个不同交点由 21 lntgt t ， 可得 gt在 0,e 上递增， e, 上递减，故在 ex 处取得极大值 1e ， 如图（ 2），结合 gt的图象，可得 110ee aa ，故选 B 来自高中数学解题研究会