1、习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 1m的物体，另一边穿在质量为 2m的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 a下滑，求 1m， 2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1a，其对于 2则为牵连加速度，又知2m对绳子的相对加速度为 ，故 2对地加速度，由图(b)可知，为 1又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f在数值上等于绳的张力 T，由牛顿定律，有 11amg22amT联立、式，得 211212)()ma
2、gTfa讨论 (1)若 0a，则 21表示柱体与绳之间无相对滑动(2)若 g2，则 fT，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 1m, 2均作自由落体运动题 2-1 图2-2 一个质量为 P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v运动， 0的方向与斜面底边的水平线 AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解: 物体置于斜面上受到重力 mg，斜面支持力 N.建立坐标：取方向为 X轴，平行斜面与 X轴垂直方向为 Y轴.如图 2-2.题 2-2 图X方向： 0xFtvY方向： yymagsin0t时 2sin1tgy由、式消去 t，得 220ixv2-3 质量为 16 kg 的质点在 xOy
3、平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 xf6 N， yf-7 N，当 t0 时， 0， x-2 ms -1， yv0求当 t2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度解： 2sm8316fax7y(1) 20 1sm87216453dtavyyxx于是质点在 s2时的速度 145ji(2) m874134)167(2)42(1220ji jijtattvryx2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv( 为常数)作用， t=0 时质点的速度为 0v，证明(1) t时刻的速度为 vtke)(0；(2) 由 0 到 t的时间内经过的距离为x( km)1-tmke)(；(3)停止运动前
4、经过的距离为)(；(4)证明当 kmt时速度减至 0v的1，式中 m 为质点的质量答: (1) tvad分离变量，得 mtkvd即 t0mktevlnltmkev0(2) t tt mkmkevevx00)1(d(3)质点停止运动时速度为零，即 t，故有 00ktmk(4)当 t= km时，其速度为 evevkm0100即速度减至 0v的 e1.2-5 升降机内有两物体，质量分别为 1， 2，且 2 1用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 a 2g 上升时，求：(1) 1m和 2相对升降机的加速度(2)在地面上观察 1m， 2的加速度各为多少?解:
5、 分别以 , 为研究对象，其受力图如图(b)所示(1)设 2相对滑轮(即升降机)的加速度为 a，则 2对地加速度 2；因绳不可伸长，故 1对滑轮的加速度亦为 ，又 1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 1m在水平方向对地加速度亦为 a，由牛顿定律，有 )(22Tgam1题 2-5 图联立，解得 ga方向向下(2) 2m对地加速度为 方向向上1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 牵相绝 agga25422rctno6.1rt，左偏上2-6 一质量为 m的质点以与地的仰角 =30的初速 0v从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量解: 依题意作出示意图如题
6、2-6 图题 2-6 图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对 y轴对称性，故末速度与 x轴夹角亦为 o30，则动量的增量为vmp由矢量图知，动量增量大小为 0v，方向竖直向下2-7 一质量为 m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解: 由题知，小球落地时间为 s5.因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为 gtv5.01，小球上跳速度的大小亦为
7、gv5.02设向上为 y轴正向，则动量的增量 12mp方向竖直向上，大小 mp)(12碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒2-8 作用在质量为 10 kg 的物体上的力为 itF)0(N，式中 t的单位是 s，(1)求 4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量(2)为了使这力的冲量为 200 Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j6ms-1的物体,回答这两个问题解: (1)若物体原来静止，则 ititFp 10401 smkg56d)21(d,沿
8、 x轴正向， ipIv11s.若物体原来具有 61s初速，则 tt FvmFvmp0000 d)d(,于是 tpp12,同理， 1, 1I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t ttI020d)2(亦即 1解得 s10t，( s2t舍去)2-9 一质量为 m的质点在 xOy平面上运动，其位置矢量为 jtbitarsnco求质点的动量及 t0 到 2t 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量解: 质点的动量为 )cossi(jttmvp将 t
9、和 2t分别代入上式，得 jb1, iap2,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 )(1jbI 2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 0smv，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F=( bta)N( ,为常数)，其中 t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)(btaF,得 bat(2)子弹所受的冲量 t ttI021d将 bat代入，得 baI2(3)由动量定理可求得子弹的质量 00vm2-11 一炮弹质量为 ，以速率 v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆
10、炸后由于炸药使弹片增加的动能为 T，且一块的质量为另一块质量的 k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为 v+k2, v-T证明: 设一块为 1m，则另一块为 2，1m及 21于是得 ,2k又设 1的速度为 1v, 2的速度为 v，则有 2211vT21m联立、解得12)(kvv将代入，并整理得 21kmT于是有 v将其代入式，有 kT22又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 kmvv,21证毕2-12 设 N67jiF合(1) 当一质点从原点运动到 1643kjir时，求 F所作的功(2)如果质点到 r处时需 0.6s，试求平均功率(3)如果质点的质量为 1kg，试求动能的变化
11、解: (1)由题知， 合 为恒力， )1643()67(kjijirA合 J4521(2) w75.0tAP(3)由动能定理， Ek2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内 1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同解: 以木板上界面为坐标原点，向内为 y坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为题 2-13 图 kyf第一锤外力的功为 1Assfyf102dd式中 f是铁锤作用于钉上的力， 是木板作用于钉上的力，在 0t时， f设第二锤外力的功为 2，则同理，有 212dykykA由题意
12、，有 )(212mv即 212ky所以， 于是钉子第二次能进入的深度为 cm41.012y2-14 设已知一质点(质量为 m)在其保守力场中位矢为 r点的势能为 nPrkE/)(, 试求质点所受保守力的大小和方向解: 1d)(nkrEF方向与位矢 r的方向相反，即指向力心2-15 一根劲度系数为 1k的轻弹簧 A的下端，挂一根劲度系数为 2k的轻弹簧 B， 的下端一重物 C， 的质量为 M，如题 2-15 图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比解: 弹簧 BA、 及重物 受力如题 2-15 图所示平衡时，有题 2-15 图 MgFBA又 1xk2所以静止时两弹簧伸长量之比为 12k
13、x弹性势能之比为 12212kxEp2-16 (1)试计算月球和地球对 m物体的引力相抵消的一点 P，距月球表面的距离是多少?地球质量 5.981024 kg，地球中心到月球中心的距离 3.84108m，月球质量7.351022kg，月球半径 1.74106m(2)如果一个 1kg 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在 P点的势能为多少?解: (1)设在距月球中心为 r处 地 引月 引 F，由万有引力定律，有22rRmMGr地月经整理，得 r月地 月= 2241035.71098.5.8104.m1032.86则 P点处至月球表面的距离为 m6.).( 7月rh(2)质量为 k
14、g的物体在 P点的引力势能为rRMGrEP地月 7241721 1083.9506.83.5067. J22-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为 1m和2m的滑块组成如题 2-17 图所示装置，弹簧的劲度系数为 k，自然长度等于水平距离 BC，与桌面间的摩擦系数为 ，最初 1m静止于 A点， B C h，绳已拉直，现令滑块落下 1,求它下落到 B处时的速率解: 取 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有 )(21)(221 lkgvgh式中 l为弹簧在 A点时比原长的伸长量，则 hBCAl )(联立上述两式，得 212112mkgv题
15、2-17 图2-18 如题 2-18 图所示，一物体质量为 2kg，以初速度 0v3ms -1从斜面 A点处下滑，它与斜面的摩擦力为 8N，到达 B点后压缩弹簧 20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 37sin21mgvkxsfr 2ikxfr式中 m52.084s， 2.0x，再代入有关数据，解得 -1mN39k题 2-18 图再次运用功能原理，求木块弹回的高度 h2o137sinkxmgfr代入有关数据，得 4.1s,则木块弹回高度 84.0sioh题 2-19 图
16、2-19 质量为 M的大木块具有半径为 R的四分之一弧形槽，如题 2-19 图所示质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度解: 从 上下滑的过程中，机械能守恒，以 m， M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有 221VvgR又下滑过程，动量守恒，以 m, 为系统则在 脱离 瞬间，水平方向有0联立，以上两式，得 Mgv22-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有 221201mvv即 题 2-20 图(a) 题 2-2
17、0 图(b)又碰撞过程中，动量守恒，即有 210vmv亦即 由可作出矢量三角形如图(b)，又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以 0v为斜边，故知 1v与 2是互相垂直的2-21 一质量为 m的质点位于 ( 1,yx)处，速度为 jviyx, 质点受到一个沿 x负方向的力 f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩解: 由题知，质点的位矢为 jir1作用在质点上的力为 f所以，质点对原点的角动量为 vmrL0 )()(1jviiyxyxk作用在质点上的力的力矩为 kfifjifrM110 )(2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆它离太阳最近距离为 r8.7510 10
18、m 时的速率是 1v5.4610 4ms -1，它离太阳最远时的速率是 2v9.0810 2ms-1 这时它离太阳的距离 2r多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 21mvrm1026.5108.947522 2-23 物体质量为 3kg， t=0 时位于 ir, 1sjiv，如一恒力 N5jf作用在物体上,求 3 秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对 z轴角动量的变化解: (1) 301skg5djtjfp(2)解(一) 7340tvxjaty 5.26210
19、即 ir, ji5.0xv13560atvy即 ji1, ji2 kjivmrL7)6(3411 kjijivrL 5.4)()5.(22 112sg5.8k解(二) dtzM t tFrL00)(30 12smkg5.8d)4(5d5)316(2tktjti题 2-24 图2-24 平板中央开一小孔，质量为 m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为 1M的重物小球作匀速圆周运动，当半径为 0r时重物达到平衡今在 1的下方再挂一质量为2M的物体，如题 2-24 图试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径 r为多少?解: 在只挂重物时 1，小球作圆周运动的向心力为 gM1，即201rg挂上
20、 2后，则有 221)(mM重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒即 vr022联立、得 0212132101010)(rMgmrrg2-25 飞轮的质量 60kg，半径 R0.25m，绕其水平中心轴 O转动，转速为900revmin-1现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 F，可使飞轮减速已知闸杆的尺寸如题 2-25 图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算试求：(1)设 F100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?(2)如果在 2s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力 F?解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分
21、析图(如图(b)图中 N、 是正压力， rF、 是摩擦力， x和 y是杆在 A点转轴处所受支承力， R是轮的重力， P是轮在 O轴处所受支承力题 2-25 图（a）题 2-25 图(b)杆处于静止状态，所以对 A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有 FlNllF121210)( 对飞轮，按转动定律有 IRr/，式中负号表示 与角速度 方向相反 Nr l12又,mRIFlIFr12)(以 N10等代入上式，得 2srad340150.26)7(4.0由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 6.69t这段时间内飞轮的角位移为 rad21.53 )49(30214020t可知在这段时间里
22、，飞轮转了 转(2)10srad629，要求飞轮转速在 2ts内减少一半，可知 200rad152tt用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为 NlmRF172)75.0.(4.0216212-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 O转动设大小圆柱体的半径分别为 R和 r，质量分别为 M和 m绕在两柱体上的细绳分别与物体 1m和2m相连， 1和 2则挂在圆柱体的两侧，如题 2-26 图所示设 R0.20m, r0.10m，4 kg， M10 kg， 1 22 kg，且开始时 1， 2离地均为 h2m求：(1)柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力解: 设 1a,
23、 2和 分别为 1, 2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图 b)题 2-26(a)图 题 2-26(b)图(1) 1m, 2和柱体的运动方程如下： 22amgT11IrR2式中 arT 1221,而 MI由上式求得2 22221srad13.6 8.91001.40. grmRI(2)由式 893.622 gmrTN由式 17208911 R2-27 计算题 2-27 图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为 M，半径为 r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m50kg ， 2200 kg,M15 kg, r0.1 m解: 分别以 1, 滑轮
24、为研究对象，受力图如图(b)所示对 1, 2运用牛顿定律，有aTg221对滑轮运用转动定律，有 )(212Mrr又， a联立以上 4 个方程，得 221 sm6.721508.9mga题 2-27(a)图 题 2-27(b)图题 2-28 图2-28 如题 2-28 图所示，一匀质细杆质量为 m，长为 l，可绕过一端 O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下求：(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过 角时的角速度.解: (1)由转动定律，有)31(22mlg lg23(2)由机械能守恒定律，有 2)31(sin2llg lgsin3题 2-29 图2-29 如题 2-29 图所示，质量为
25、 M，长为 l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴 O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上现有一质量为 m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 30处(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 0v的值；(2)相撞时小球受到多大的冲量?解: (1)设小球的初速度为 0v，棒经小球碰撞后得到的初角速度为 ，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式： mvlIl0 22211v上两式中231MlI，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度 o0，按机械能守恒
26、定律可列式： )30cos1(22lgI由式得 2121)()cs( lgIl由式 mlIv0由式 I202所以22001)(mvlIv求得 glMlIl312(6)()20(2)相碰时小球受到的冲量为 0dmvtF由式求得 llIvt 310gM6)2(负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反题 2-30 图2-30 一个质量为 M、半径为 R并以角速度 转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为 m的碎片从轮的边缘上飞出，见题 2-30 图假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上(1)问它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能解: (1)碎片离盘瞬时的线速
27、度即是它上升的初速度 Rv0设碎片上升高度 h时的速度为 ，则有 gh22令 0v，可求出上升最大高度为 201vH(2)圆盘的转动惯量21MRI，碎片抛出后圆盘的转动惯量21mRMI，碎片脱离前，盘的角动量为 ，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即 RmvI0式中 为破盘的角速度于是 R022)1()( 2M得 (角速度不变)圆盘余下部分的角动量为)21(2mRM转动动能为题 2-31 图 22)1(mRMEk2-31 一质量为 m、半径为 R 的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动另一质量为 0的子弹以速度 0v
28、射入轮缘(如题 2-31 图所示方向)(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?(2)用 , 和 表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比解: (1)射入的过程对 O轴的角动量守恒 200)(sinRmvR mv)(sin0(2) 022020sin1)(sin)(20 vmEk 2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题 2-32 图所示，弹簧的劲度系数为 2.0 Nm-1；定滑轮的转动惯量是 0.5kgm2，半径为 0.30m ，问当 6.0 kg 质量的物体落下 0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的
29、过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有 22211khImvgh又 R/故有 I2)(122sm0. 5.03.63.)489.题 2-32 图 题 2-33 图2-33 空心圆环可绕竖直轴 AC自由转动，如题 2-33 图所示，其转动惯量为 0I，环半径为R，初始角速度为 0质量为 m的小球，原来静置于 A点，由于微小的干扰，小球向下滑动设圆环内壁是光滑的，问小球滑到 B点与 C点时，小球相对于环的速率各为多少?解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至 B点时，有)(200RI该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为 v，以 点为重力势能零点，则有 22020 1)(11BmImgI联立、两式，得 20RIvB(2)当小球滑至 C点时， 0Ic c故由机械能守恒，有 21)(cmvg gRvc2请读者求出上述两种情况下，小球对地速度
