1、1常考问题 8 等差数列、等比数列(建议用时：50 分钟)1设a n是公差为正数的等差数列，若 a1a 2a 315， a1a2a380，则a11a 12a 13_.解析 a 1a 2a 3153a 215a 25，a 1a2a380(a 2d)a 2(a2d)80，将 a25 代入，得 d3(舍去 d3)，从而 a11a 12a 133a 123(a 210d) 3(530)105.答案 1052(2013泰州期中)已知等比数列 an为递增数列，且 a3a 73，a 2a82，则_.a13a11解析 根据等比数列的性质建立方程组求解因 为数列a n是递增等比数列，所以a2a8a 3a72，又
2、 a3a 73，且 a3a 7，解得 a31， a72，所以 q42，故 q 2 .a13a11 2答案 23(2013南京二模)设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 ，则 _.S3S6 13 S6S7解析 设等差数列a n的公差为 d，则 a12d，所以 S3S6 3a1 3d6a1 15d 13 S6S7 6a1 15d7a1 21d.2735答案 27354数列a n为正项等比数列，若 a21，且 ana n1 6a n1 (nN *，n2)，则此数列的前4 项和 S4_.解析 设a n的公比为 q(q0) ，当 n2 时，a 2a 36a 1，从而 1q ，q2 或6qq3(舍去
3、) ，a1 ，代入可有 S4 .12 121 241 2 152答案 1525(2012南京学情调研)在等比数列 an中，若 a1 ，a 44，则12|a1|a 2| |a6|_.2解析 求出等比数列的通项公式，再求和由等比数列a n中，若 a1 ，a44，得公12比为2，所以 an (2) n1 ，|an| 2n1 ，所以12 12|a1|a 2| |a6| (12 222 5) .12 12 1 261 2 632答案 6326(2013新课标全国卷改编) 设等差数列a n的前 n 项和为Sn，S m1 2，S m0，S m1 3，则 m 等于_解析 a m2，a m1 3，故 d1，因为
4、 Sm0，故 ma1 d0，mm 12故 a1 ，m 12因为 ama m1 5，故 ama m1 2a 1(2m1) d(m1) 2m15，即 m5.答案 57在等差数列a n中，a 100，a 110，且 a11|a 10|，则a n的前 n 项和 Sn中最大的负数为前_项的和解析 因为 S1919a 100，而由 a11| a10|得 a11a 100，所以 S2010(a 11a 10)0，故Sn中最大的负数为前 19 项的和答案 198(2012江苏卷改编)各项均为正数的等比数列 an满足 a1a74，a 68，若函数 f(x)a 1xa 2x2a 3x3a 10x10 的导数为 f
5、(x)，则 f _.(12)解析 因为各项均为正数的等比数列a n满足 a1a74， a68，所以 a42，q2，故an2 n3 ，又 f(x)a 12a 2x3a 3x210a 10x9，所以f 2 2 2 22 32 2 102 2 2 2 .(12) 10112 554答案 5549已知公差不为零的等差数列a n的前 4 项和为 10，且 a2，a 3，a 7 成等比数列3(1)求通项公式 an；(2)设 bn2a n，求数列b n的前 n 项和 Sn.解 (1)由题意知Error!解得Error! 所以 an3n5( nN *)(2)b n2a n2 3n5 8n1 ， 数列b n是首
6、项为 ，公比为 8 的等比数列，所以 Sn14 14 .141 8n1 8 8n 12810(2013杭州模拟)已知数列 an是首项为 ，公比为 的等比数列，设133 133bn15log 3ant ，常数 tN *.(1)求证：b n为等差数列；(2)设数列c n满足 cna nbn，是否存在正整数 k，使 ck，c k1 ，c k2 按某种次序排列后成等比数列？若存在，求 k，t 的值；若不存在，请说明理由(1)证明 an3 ，b n1 b n15log 3 5，n3 (an 1an )b n是首项为 b1t5，公差为 5 的等差数列(2)解 c n(5nt) 3 ，n3则 ck(5kt)
7、3 ，k3令 5ktx(x0) ，则 ckx3 ，c k1 (x5)3 ，c k2 (x10)3 .k3 k 13 k 23若 c c k1 ck2 ，则2k2( x5)3 (x10)3 .(x3 k3) k 13 k 23化简得 2x215x 500，解得 x10；进而求得 k1，t5；若 c c kck2 ，2k 1同理可得(x5) 2x (x10)，显然无解；若 c c kck1 ，同理可得 (x10) 2x(x5) ，2k 213方程无整数根综上所述，存在 k1，t5 适合题意411(2013南通调研)已知数列 an成等比数列，且 an0.(1)若 a2a 18，a 3m.当 m48
8、时，求数列 an的通项公式；若数列 an是唯一的，求 m 的值；(2)若 a2ka 2k1 a k1 ( aka k1 a 1)8，kN *，求 a2k1 a 2k2 a 3k的最小值解 设公比为 q，则由题意，得 q0.(1)由 a2a 18，a 3m48 ，得Error!解之，得Error!或Error!所以数列a n的通项公式为an8(2 )(3 )n1 ，或 an8(2 )(3 )n1 .3 3 3 3要使满足条件的数列a n是唯一的，即关于 a1 与 q 的方程组 Error!有唯一正数解，即方程 8q2mqm0 有唯一解由 m 232m 0，a 3m0，所以 m32，此时 q2.经检验，当 m32 时，数列 an唯一，其通项公式是 an2 n2 .(2)由 a2ka 2k1 a k1 ( aka k1 a 1)8，得 a1(qk1)(q k1 q k2 1)8，且 q1.a2k1 a2k2 a 3ka 1q2k(qk1 q k2 1) 8 32，8q2kqk 1 (qk 1 1qk 1 2)当且仅当 qk1 ，即 q ，a 18( 1)时，1qk 1 k2 k2a2k1 a2k2 a 3k的最小值为 32.
